À propos de ce cours : Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Créé par : École Polytechnique
Enseigné par : Sylvie Méléard, Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Enseigné par : Jean-René Chazottes, Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Enseigné par : Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
| Engagement | 2-3 hours/week |
| Langue | French |
| Comment réussir | Réussissez tous les devoirs notés pour terminer le cours. |
| Notes des utilisateurs |
Programme de cours
SEMAINE 1
L'ESPACE DE PROBABILITÉ (1/3)
L'espace de probabilité est l'objet du Cours 1 qui s'étale sur trois semaines. Après une introduction générale, cette semaine est consacrée à la notion d'expérience aléatoire et d'événement aléatoire, puis à la définition d'une probabilité sur un espace d'état fini.
8 vidéos, 4 lectures
- Vidéo: Séance 2 : EXPÉRIENCES ALÉATOIRES - ÉVÉNEMENTS ALÉATOIRES
- Vidéo: Séance supplémentaire : RAPPELS DE THÉORIE DES ENSEMBLES
- Vidéo: Séance 3 : PROBABILITÉ SUR UN ESPACE D'ÉTAT FINI
- Reading: Le « paradoxe » du chevalier de Méré (*)
- Reading: Le jeu du Blackjack (*)
- Reading: La formule d'inclusion-exclusion (**)
- Reading: Distribution aléatoire du courrier (**)
- Vidéo: Le « paradoxe » du Chevalier de Méré
- Vidéo: Le jeu du Blackjack
- Vidéo: La formule d'inclusion-exclusion
- Vidéo: Distribution aléatoire du courrier
Noté: QCM de la semaine
SEMAINE 2
L'ESPACE DE PROBABILITÉ (2/3)
Nous poursuivons le Cours 1 avec l'étude des lois de probabilités uniformes sur des espaces d'état finis. Puis nous abordons la définition générale d'une probabilité avec notamment la notion de « tribu ».
8 vidéos, 3 lectures
- Vidéo: Séance 4 (2/2) : PROBABILITÉ UNIFORME SUR UN ESPACE D'ÉTAT FINI
- Vidéo: Séance Supplémentaire : RAPPELS DE COMBINATOIRE
- Vidéo: Séance 5 (1/2) : DÉFINITION GÉNÉRALE D'UNE PROBABILITÉ - TRIBU
- Vidéo: Séance 5 (2/2) : DÉFINITION GÉNÉRALE D'UNE PROBABILITÉ - TRIBU
- Reading: Le « paradoxe » des anniversaires (*)
- Reading: Deux manières de tirer sans remise (*)
- Reading: La statistique de Bose-Einstein (**)
- Vidéo: Le «paradoxe» des anniversaires
- Vidéo: Deux manières de tirer sans remise
- Vidéo: La statistique de Bose-Einstein
Noté: QCM de la semaine
SEMAINE 3
L'ESPACE DE PROBABILITÉ (3/3)
Nous achevons le Cours 1 cette semaine. Nous introduisons deux concepts centraux : le conditionnement et l'indépendance. Nous étudions ensuite un résultat très utilisé : le théorème de Borel-Cantelli. Enfin, nous introduisons un autre concept incontournable : celui de variable aléatoire.
11 vidéos, 6 lectures
- Vidéo: Séance 6 (2/3) : FORMULE DE BAYES
- Vidéo: Séance 6 (3/3) : INDÉPENDANCE
- Vidéo: Séance 7 : THÉORÈME DE BOREL-CANTELLI
- Vidéo: Séance 8 : VARIABLES ALÉATOIRES
- Reading: Sur la probabilité de réussite à un examen (*)
- Reading: Sur l'indépendance d'événements (*)
- Reading: Évaluation d'un test de dépistage (*)
- Reading: Recherche dans des tiroirs (**)
- Reading: Événements indépendants (**)
- Reading: Produit d'espaces de probabilité (**)
- Vidéo: Sur la probabilité de réussite à un examen
- Vidéo: Sur l'indépendance d'événements
- Vidéo: Évaluation d'un test de dépistage
- Vidéo: Recherche dans des tiroirs
- Vidéo: Événements indépendants
- Vidéo: Produit d'espaces de probabilité
Noté: QCM Semaine
SEMAINE 4
VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (1/2)
Nous commençons le Cours 2 qui dure deux semaines. Nous étudions les variables aléatoires "discrètes", c'est-à-dire des variables aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
9 vidéos, 5 lectures
- Vidéo: Séance 2 : ESPÉRANCE
- Vidéo: Séance 3 (1/2) : VARIANCE ET MOMENTS
- Vidéo: Séance 3 (2/2) : VARIANCE ET MOMENTS
- Reading: Clés (*)
- Reading: Interviews (*)
- Reading: Loi de Pascal (**)
- Reading: Tribu et loi d'une variable aléatoire (**)
- Reading: Jeu de trois dés (**)
- Vidéo: Clés
- Vidéo: Interviews
- Vidéo: Loi de Pascal
- Vidéo: Tribu et loi d'une variable aléatoire
- Vidéo: Jeu de trois dés
Noté: QCM Semaine
SEMAINE 5
VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (2/2)
Nous terminons le Cours 2 avec l'introduction d'un outil puissant : les fonctions génératrices. Nous étudions ensuite les couples de variables aléatoires et les variables aléatoires indépendantes.
9 vidéos, 6 lectures
- Vidéo: Séance 5 (1/2) : COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES, VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES
- Vidéo: Séance 5 (2/2) : COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES, VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES
- Reading: Enfants d'une famille (*)
- Reading: Indépendance et espace produit (*)
- Reading: Accidents dans une usine (**)
- Reading: Expression d'espérance (**)
- Reading: Canards et chasseurs (**)
- Reading: Somme aléatoire de dés (***)
- Vidéo: Enfants d'une famille
- Vidéo: Indépendance - espace produit
- Vidéo: Accidents dans une usine
- Vidéo: Expression d'espérance
- Vidéo: Canards et chasseurs
- Vidéo: Somme aléatoire de dés
Noté: QCM Semaine
SEMAINE 6
VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (1/3)
Le Cours 3, qui s'étend sur trois semaines, est consacré aux variables aléatoires qui prennent leurs valeurs dans les réels. Une nouvelle rubrique fait son apparition : « Méthodes de simulations et expériences numériques interactives ». Chaque séance du type « Illustration & expérimentation : ... » est accompagnée d'une expérience numérique interactive que vous pouvez manipuler (« A vous de jouer ! »).
12 vidéos, 4 lectures
- Vidéo: Séance 2 : LOI D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE RÉELLE À DENSITÉ
- Vidéo: Séance 3 (1/3) : VARIABLE ALÉATOIRE DE LOI UNIFORME et SIMULATION
- Vidéo: Séance 3 (2/3) : VARIABLES ALÉATOIRES DE LOIS EXPONENTIELLE OU GAMMA3
- Vidéo: Séance 3 (3/3) : VARIABLE ALÉATOIRE DE LOI NORMALE
- Vidéo: INTRODUCTION ET SIMULATION DES LOIS DISCRÈTES
- Vidéo: INVERSION DE LA FONCTION DE RÉPARTITION
- Vidéo: ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : MÉTHODE D'INVERSION DE LA FONCTION DE RÉPARTITION
- Ungraded Plugin: Simulation d’une variable aléatoire par inversion de sa fonction de répartition
- Reading: Variable aléatoire déterministe (*)
- Reading: Queue de gaussienne (**)
- Reading: Domination stochastique (**)
- Reading: Image d'une variable aléatoire par sa fonction de répartition (**)
- Vidéo: Variable aléatoire déterministe
- Vidéo: Queue de gaussienne
- Vidéo: Domination stochastique
- Vidéo: Image d'une variable aléatoire par sa fonction de répartition
Noté: QCM de la semaine
SEMAINE 7
VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (2/3)
La notion abordée cette semaine est celle d'espérance d'un variable aléatoire.
8 vidéos, 6 lectures
- Vidéo: Séance 5 : CALCUL D'ESPÉRANCES
- Reading: Espérance et projection orthogonale (*)
- Reading: Pièce au mur (*)
- Reading: Vitesse sur autoroute (*)
- Reading: Colère exponentielle (*)
- Reading: Loi semi-circulaire de Wigner (**)
- Reading: Intégration par parties (***)
- Vidéo: Espérance et projection orthogonale
- Vidéo: Pièce au mur
- Vidéo: Vitesse sur autoroute
- Vidéo: Colère exponentielle
- Vidéo: Loi semi-circulaire de Wigner
- Vidéo: Intégration par parties
Noté: QCM de la semaine
SEMAINE 8
VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (3/3)
Nous terminons cette semaine le Cours 3 avec, d'une part, un résultat important permettant de calculer la loi d'une variable aléatoire et, d'autre part, des inégalités très utiles.
8 vidéos, 5 lectures
- Vidéo: Séance 7 (1/2) : INÉGALITÉS FONDAMENTALES
- Vidéo: Séance 7 (2/2) : INÉGALITÉS FONDAMENTALES
- Reading: Loi lognormale, homographie gaussienne (*)
- Reading: Calculs de lois (**)
- Reading: Entropies probabilistes (***)
- Reading: Normes Lp et inégalités (***)
- Reading: Concentration de la loi de Poisson
- Vidéo: Loi lognormale, homographie gaussienne
- Vidéo: Calculs de lois
- Vidéo: Entropies probabilistes
- Vidéo: Normes Lp et inégalités
- Vidéo: Concentration de la loi de Poisson
Noté: QCM de la semaine
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