[SON]
[AUDIO_VIDE] Bonjour.
Dans cette quatrième séance du cours un,
nous allons regarder le cas très particulier d'une probabilité uniforme,
sur un espace d'état oméga ayant un nombre fini d'éléments.
En effet, dans ce cas-là, oméga peut s'écrire comme la réunion des singletons
composés d'éléments de oméga, c'est-à-dire que, oméga va s'écrire comme l'union,
sur petit oméga dans grand oméga, des singletons petit oméga.
L'intérêt ici, c'est que ces ensembles singletons sont disjoints deux à deux,
si les éléments sont distincts, et nous allons pouvoir ainsi écrire la probabilité
de grand oméga, comme la probabilité de la réunion de ces singletons disjoints,
et par la propriété d'additivité, que nous avons vue dans la séance trois,
en déduire que la probabilité de oméga, est égale à la somme, sur petit oméga,
dans grand oméga, des probabilités de singletons petit oméga.
Comme, par définition, la probabilité de grand oméga est égale à 1,
nous voyons ainsi que la somme des probabilités des singletons petit oméga,
est toujours égale à 1,
dès lors que la somme est prise sur tous les éléments petit oméga de grand oméga.
Ici c'est une somme finie, puisque nous avons supposé que grand oméga était fini.
Maintenant, ce que nous allons introduire,
c'est ce qu'on appelle la probabilité uniforme sur oméga, c'est une notion assez
naturelle et qui vient immédiatement à l'esprit quand on prend des exemples
concrets de probabilités sur des espaces finis, en fait naturellement, on
a tendance à penser sans hypothèse extraordinaire ou exceptionnelle,
que les probabilités de chacun des singletons de oméga sont toutes égales.
Exemple : si on lance une pièce, a priori,
on a tendance à penser que la probabilité d'obtenir face et la probabilité
d'obtenir pile sont égales, à savoir égales à un demi ; ou si on pense à un dé,
si on n'a pas d'informations qui font penser que le dé est truqué, on va penser
que la probabilité de tomber sur chacune des faces du dé est égale à un sixième.
C'est exactement cette propriété-là qu'on
va appeler le fait d'être une probabilité uniforme sur oméga.
Donc, on va supposer que tous ces nombres là, probabilités d'un singleton,
sont égaux, et comme leur somme est égale à 1, eh bien chacun de
ces nombres doit dans ce cas là, être égal à 1, sur le cardinal de oméga,
c'est-à-dire le nombre d'éléments de l'espace d'état grand oméga.