Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Séance 4 (1/2) : PROBABILITÉ UNIFORME SUR UN ESPACE D'ÉTAT FINI
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
55 notes
À partir de la leçon
L'ESPACE DE PROBABILITÉ (2/3)
Nous poursuivons le Cours 1 avec l'étude des lois de probabilités uniformes sur des espaces d'état finis. Puis nous abordons la définition générale d'une probabilité avec notamment la notion de « tribu ».
Rencontrer les enseignants
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON]
[AUDIO_VIDE] Bonjour.
Dans cette quatrième séance du cours un,
nous allons regarder le cas très particulier d'une probabilité uniforme,
sur un espace d'état oméga ayant un nombre fini d'éléments.
En effet, dans ce cas-là, oméga peut s'écrire comme la réunion des singletons
composés d'éléments de oméga, c'est-à-dire que, oméga va s'écrire comme l'union,
sur petit oméga dans grand oméga, des singletons petit oméga.
L'intérêt ici, c'est que ces ensembles singletons sont disjoints deux à deux,
si les éléments sont distincts, et nous allons pouvoir ainsi écrire la probabilité
de grand oméga, comme la probabilité de la réunion de ces singletons disjoints,
et par la propriété d'additivité, que nous avons vue dans la séance trois,
en déduire que la probabilité de oméga, est égale à la somme, sur petit oméga,
dans grand oméga, des probabilités de singletons petit oméga.
Comme, par définition, la probabilité de grand oméga est égale à 1,
nous voyons ainsi que la somme des probabilités des singletons petit oméga,
est toujours égale à 1,
dès lors que la somme est prise sur tous les éléments petit oméga de grand oméga.
Ici c'est une somme finie, puisque nous avons supposé que grand oméga était fini.
Maintenant, ce que nous allons introduire,
c'est ce qu'on appelle la probabilité uniforme sur oméga, c'est une notion assez
naturelle et qui vient immédiatement à l'esprit quand on prend des exemples
concrets de probabilités sur des espaces finis, en fait naturellement, on
a tendance à penser sans hypothèse extraordinaire ou exceptionnelle,
que les probabilités de chacun des singletons de oméga sont toutes égales.
Exemple : si on lance une pièce, a priori,
on a tendance à penser que la probabilité d'obtenir face et la probabilité
d'obtenir pile sont égales, à savoir égales à un demi ; ou si on pense à un dé,
si on n'a pas d'informations qui font penser que le dé est truqué, on va penser
que la probabilité de tomber sur chacune des faces du dé est égale à un sixième.
C'est exactement cette propriété-là qu'on
va appeler le fait d'être une probabilité uniforme sur oméga.
Donc, on va supposer que tous ces nombres là, probabilités d'un singleton,
sont égaux, et comme leur somme est égale à 1, eh bien chacun de
ces nombres doit dans ce cas là, être égal à 1, sur le cardinal de oméga,
c'est-à-dire le nombre d'éléments de l'espace d'état grand oméga.
Donc, par définition, on dira que la probabilité P sur l'espace fini grand
oméga est uniforme, si la probabilité de chacun des singletons
petit oméga de grand oméga est égale à 1 sur cardinal de grand oméga.
Chaque singleton de grand oméga,
a donc la même chance d'être réalisé au cours de l'expérience aléatoire.
Donc, si l'on a cette propriété, maintenant,
si l'on veut calculer la probabilité d'un ensemble A quelconque de oméga,
on va considérer que A s'écrit là encore comme la réunion des singletons des
éléments qui composent A, et là encore, ces singletons sont disjoints, et en
appliquant la propriété d'additivité, l'on peut en déduire que, la probabilité de A,
est égale à la somme des probabilités des singletons des éléments qui composent A,
et donc, puisque chacune des probabilités d'un singleton omega vaut 1 sur cardinal
de oméga, et qu'on a cardinal de A nombres dans cette somme, on obtient finalement,
pour P de A, le quotient de cardinal de A, sur cardinal de grand oméga.
Donc on voit que dans ce cas là, et uniquement dans ce cas là,
la probabilité d'un ensemble A de oméga,
se réduit en fait à un calcul de dénombrement,
puisqu'il suffit pour connaître la probabilité de A, de calculer le
cardinal de grand oméga dans cette expérience aléatoire, et le cardinal de A.
Donc uniquement de calculer le nombre d'éléments dans
certaines parties de grand oméga.
Alors en fait, la difficulté ici, c'est de bien décrire l'expérience aléatoire,
pour bien connaître l'espace oméga, et être capable de le dénombrer
; et en fait c'est cette difficulté, qui n'est pas si évidente à gérer,
qui a engendré au début de la construction de la théorie des probabilités,
de nombreux paradoxes, et vous en verrez certains dans une séance ultérieure.
Donc, pour illustrer cette possibilité,
de différentes expériences aléatoires construites sur le même problème concret,
je vais illustrer ça par un exemple qui se passe dans un tribunal, où,
comme vous le savez, on doit en particulier aux assises,
choisir de manière aléatoire des jurés.
Et la question, c'est comment choisir un échantillon de jurés
qui peut être représentatif de l'opinion de la population?
Donc, imaginez qu'on ait une population de taille N,
N a priori c'est un grand nombre.
Le jugement doit décider si un individu est coupable ou non-coupable.
Supposons que dans notre population de taille N,
N1 individus pensent que que ce suspect est coupable,
et donc N- N1 individus pensent qu'il n'est pas coupable.
Maintenant, le tribunal doit choisir un nombre n jurés, bien évidemment
n est inférieur ou égal à N, et même n est très petit devant N.
N c'est la taille de toute la population du pays considéré.
Et donc la question que l'on se pose est,
le calcul de la probabilité que parmi cet échantillon de n jurés choisis,
n1 jurés pensent que l'individu suspect, et jugé, est coupable.
Et donc, n- n1 pensent que l'individu est non-coupable.
Donc on va voir, on a plusieurs manières de construire le modèle,
et on va en fait en étudier deux ici.
Je vais vous présenter deux manières de choisir, en fait,
cet échantillon de jurés.
Dans le premier cas, on suppose qu'on choisisse simultanément les jurés.
C'est-à-dire qu'on va, par exemple, prendre l'annuaire,
ou une liste de tous les individus qui peuvent être jurés,
et en extraire instantanément une liste de n personnes.
Donc comment dans ce cas-là décrire l'espace oméga?
Eh bien dans ce cas, oméga va être l'ensemble de toutes les parties à n
éléments, n individus, choisi dans l'ensemble total,
la population de N individus.
Donc, dans ce cas-là, on connaît exactement le cardinal de oméga,
qui est le nombre de parties à n éléments dans N.
Et l'on va voir que dans ce cas, la probabilité que n1 individus
parmi les n jurés choisis, pensent que l'individu est coupable,
vaut cette quantité-là, que je vais expliquer par la suite, ici, donc, c'est
ce qu'on appelle une loi hypergéométrique, ou une probabilité hypergéométrique.
Donc ces coefficients-là sont les coefficients du binome,
et je vais tout de suite en redonner une définition.
Donc, dans ce choix simultané de jurés, on a dit que oméga
était égal à l'ensemble des parties à n
éléments parmi N
éléments, et dans ce cas,
on sait que le nombre, donc le cardinal de oméga,
va être égal à ce qu'on note N comme n le coefficient du binome,
qui compte donc le nombre de parties à n éléments dans N, et ça,
ça vaut : factorielle N sur factorielle n facteur de
N moins n, factorielle, je vous rappelle que n est très petit devant N.
Et, pour rappel aussi, factorielle N, c'est égal à,
pardon, je vais le mettre ici, factorielle N égal N (N- 1)...
facteur de (N- 2) ; (N- 3), jusqu'à fois 2, fois 1.
Bien.
Alors maintenant, si on regarde, donc, ça c'est le nombre de tous les cas possibles,
et on va regarder le nombre de cas favorables,
c'est-à-dire ceux qui nous permettent d'obtenir un échantillon avec n1 individus
qui pensent que le suspect est coupable, et n- n1 qui pensent le contraire.
Donc en fait, on va tirer n1 individus parmi les N1,
et donc on va choisir une partie à n1 éléments,
parmi une partie à N1 éléments, et on va choisir
une partie à n- n1 éléments, parmi N- N1 éléments.
Donc, le nombre de cas favorables c'est cette quantité-là, en fait pour écrire ça,
il y a de manière sous-jacente,
une hypothèse sur laquelle on reviendra ultérieurement, d'indépendance des
choix des individus qui pensent que le suspect est coupable ou non.
Donc, la probabilité finale que l'on cherche, eh bien c'est le rapport de ces
quantités-là, et c'est ce qu'on avait écrit sur le transparent précédent,
à savoir : le produit de ces coefficients du binome,
divisé par le nombre de cas possible.
Donc, nous avons ainsi défini cette loi, hypergéométrie.
Alors nous allons maintenant, modéliser de manière différent de ce problème,
en supposant qu'on n'a pas choisi de manière simultanée tous les jurés,
mais qu'on a fait une démarche différente.
On a choisi d'abord un juré, puis un deuxième, puis un troisième etc.
et on fait ce choix n fois successivement, petit n fois.
Mais la grosse différence,
c'est que quand on fait ce choix, on peut choisir deux fois la même personne.
Imaginez, par exemple, des choix qui se font par des utilisations de
listes que peuvent avoir des gens dans des enquêtes téléphoniques ou autres,
et on peut avoir des répétitions des choix des individus.
Donc dans ce cas-là, le modèle est complètement différent.
Le modèle est différent, puisqu'ici, à chaque fois qu'on choisit un juré,
on a N possibilités, qui sont les N individus de la population.
Donc ici, l'espace oméga va être l'ensemble de toutes les suites
à n éléments et chaque élément de la suite, c'est un des N individus possibles.
Donc dans ce cas-là, on va voir que la probabilité d'obtenir, dans notre
échantillon de taille n, n 1 individus qui pensent que l'individu est coupable.
Cette probabilité est définie par une formule tout à fait différente.
Vous voyez qu'il y a cette forme-là, avec ici le coefficient du binôme de n
1 éléments parmi n fois cette quantité, N 1 puissance
n 1 facteur de (N- N 1) puissance n- n 1 divisé par N puissance n.
Donc cette loi de probabilité est extrêmement connue,
on la retrouvera très souvent et c'est ce qu'on appelle la loi binomiale.
Et en fait, on voit qu'elle est ici paramétrée par en fait,
les quantités N 1 sur N et n.
Donc nous allons maintenant voir comment trouver cette formule
et nous verrons ensuite, sur un exemple,
que ces deux probabilités sont effectivement distinctes, sauf en fait,
quand la population N devient très très grande, voire infinie.
Donc dans ce cas de choix d'ensemble des jurés, suivant un tirage avec remise,
nous allons calculer le cardinal de oméga et nous avons vu que
c'était le cardinal de l'ensemble de toutes les suites à n éléments,
où chaque élément de la suite est un des individus de la population de taille N.
Donc le cardinal de oméga va être égal à N puissance n.
Maintenant, ça, c'est le nombre de tous les cas possibles.
Maintenant, on va chercher le nombre de cas favorables
qui correspondent à l'expérience et donc dans ce tirage avec remise,
nous souhaitons obtenir un échantillon de taille n,
où n 1 individus pensent que le suspect est coupable.
Donc pour ce faire, nous allons décomposer le résultat en deux étapes.
Première étape donc, nous avons nos n, nos n résultats au tirage.
Première étape, nous voulons que parmi ces
n individus, n 1 pensent que le suspect est coupable.
Et nous allons placer ces individus-là,
par exemple ici, ici, ici, ici dans notre suite.
Nous avons autant de placements possibles que de choisir
une partie à n 1 éléments parmi n éléments.
Donc on a n n 1,
donc le nombre de parties à n 1 éléments par n éléments choix de ces places.
Maintenant qu'on a choisi les places, il faut que sur chaque place, on choisisse un
individu qui fait partie des individus qui pensent que le suspect est coupable.
On a N 1 individus dans la population qui pensent que le suspect est coupable et
ici, on doit en choisir n 1, donc on va avoir N 1 puissance
n 1 choix possibles pour ces différentes positions.
Maintenant, on va choisir les individus qui correspondent
aux autres positions ici, que je redessine ici,
et nous avons pour ça
N- N 1 individus possibles et nous devons avoir les placer à n- n 1 positions.
Donc finalement, le nombre de cas favorables sera égal au
coefficient du binôme n n 1 multiplié par N 1 puissance N 1
multiplié par N- N 1 puissance n- n 1.
Et cela va entraîner finalement que, dans ce cas de modèle-là de tirage avec remise,
la probabilité de l'échantillon qui nous intéresse est égal,
comme nous l'avons annoncé, à cette quantité, donc le nombre de cas favorables
que je réécris ici, divisé par le nombre de cas possibles.
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