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Pour terminer le cours de cette semaine,
je voudrais parler d'un aspect qui n'est pas strictement lié à la propagation du
faisceau lumineux mais qui concerne plutôt la réponse du milieu lui-même et c'est un
résultat qui est suffisamment général pour qu'on le traite avant de
décliner les effets non-linéaires selon l'ordre de la non-linéarité.
Et cet aspect, c'est l'importance de la symétrie du matériau sur la
réponse non-linéaire de ce matériau.
Considérons un milieu matériel, représenté ici par cet assemblé de
molécules diatomiques, représenté dans un repère X-Y.
Considérons le champ électrique E appliqué à
ce milieu et la polarisation induite P dans le milieu.
Je m'intéressais au terme d'ordre N de la polarisation non-linéaire que j'ai écrite
ici sous sa forme la plus générale avec la susceptibilité non-linéaire d'ordre N,
qui est un tenseur d'ordre N plus 1,
ce qui veut dire que j'ai N plus 1 indice ici, le premier correspond à la composante
cartésienne pour la polarisation et puis les N autres indices correspondent aux N
composantes cartésiennes considérées pour le champ électrique.
Je vais m'intéresser à une symétrie ponctuelle par rapport à l'origine ici de
mon repère pour le champ électrique, et je vais changer X en moins X,
Y en moins Y, et Z en moins Z, Z étant évidemment perpendiculaire à l'écran.
Ça correspond à ce nouveau repaire qui est ici et naturellement les composantes
cartésiennes de E et de P vont changer de signe Ça veut dire que j'aurai
un signe moins sur la polarisation ici et un signe moins
sur chacun des champs électriques de N champ électrique,
l'ensemble de ce facteur ici va être multiplié par moins 1 à la puissance N.
Pour que cette égalité reste valable, il va évidemment falloir
que je modifie le signe de khi n, vous voyez que pour que ça marche il va
falloir que je multiplie khi n par moins à la puissance N plus 1 puisque en effet
dans ce cas-là j'aurai dans le membre de droite moins 1 à la puissance 2N plus 1,
c'est-à-dire moins 1, qui est bien ce que j'ai dans le membre de gauche.
Dans cette opération de symétrie, vous voyez que dans ce nouveau repaire j'ai
un tenseur susceptibilité non-linéaire qui a de nouveaux coefficients et
qui doivent être tous multipliés par moins 1 à la puissance N plus 1,
ce qui n'est pas très étonnant puisque j'ai un nouveau repaire, donc un
nouveau coefficient, de la même manière si j'avais changé l'orientation des axes X,
Y, Z j'aurais évidemment eu un tenseur qui n'aurait pas eu les mêmes coefficients,
donc rien de surprenant à cela.
Considérons maintenant le cas d'un milieu centro-symétrique,
c'est-à-dire un milieu qui admet un centre d'inversion.
En l'occurrence, je vais supposer qu'au lieu d'avoir des atomes différents qui
portent des charges partielles différentes,
je vais avoir des atomes qui sont tous identiques.
Vous voyez que l'origine de mon repère constitue évidemment un centre
d'inversion, cet atome-là est l'image de celui-ci, par cette opération de symétrie.
Donc, si mon milieu est centro-symétrique, évidemment la susceptibilité
dans ce nouveau repaire doit être égale à la susceptibilité dans le repaire
initial puisque j'ai le même milieu, les mêmes atomes aux mêmes coordonnées.
Obligatoirement, pour un milieu centro-symétrique,
je devrai avoir que khi n, la susceptibilité dans l'ancien repaire,
est égal à moins 1 puissance N plus 1 khi n,
c'est-à-dire la susceptibilité dans le nouveau repaire.
Si N est impair, je vais avoir ici moins 1 à la puissance d'un nombre pair,
donc j'aurai 1, et je vais arriver à l'équation khi n égal chi n,
donc je n'aurai pas appris grand-chose.
Par contre, si je m'intéresse à une susceptibilité d'ordre pair,
j'aurai ici un nombre pair plus 1, donc j'aurai un signe moins.
Vous voyez que si je traduis cette équation dans le cas où N est égal à 2P,
un nombre pair ou P est entier, je vais trouver que
khi 2 P est égal à moins khi 2 P.
Et ça, évidemment,
ça implique que le terme correspondant à la susceptibilité est égal à zéro.
On voit donc que dans un milieu centro-symétrique, tous les termes de
susceptibilité d'ordre pair, comme khi 2, khi 4, seront nécessairement égaux à zéro.
Donc considérons deux exemples,
deux milieux matériels, j'ai pris ici le chlorure de sodium.
Vous voyez que dans cette structure de chlorure de sodium, j'ai effectivement une
structure centro-symétrique, si je prends un atome de sodium ici,
j'ai deux atomes de chlore de chaque côté selon cet axe, deux atomes de chlore de
chaque côté selon cet axe, et deux atomes de chlore de chaque côté selon l'axe
vertical, donc n'importe quel atome de sodium constitue un centre d'inversion de
la structure, et donc le NaCl n'aura pas de réponse non-linéaire d'ordre 2,
ni d'ordre 4, ni de n'importe quel ordre pair.
Par contre, si je prends un autre milieu,
comme l’arséniure de gallium, qui a une structure cristalline différente,
on pourra avoir une réponse non-linéaire d'ordre 2.
En fait, l'arséniure de gallium est l'un des matériaux qui présente la plus
forte réponse non-linéaire d'ordre 2 et on peut voir effectivement qu'il n'y a pas de
centre d'inversion, si je prends ici un atome qui doit probablement être un
atome de gallium, vous voyez que j'ai un atome d'arsenic de ce côté-là,
mais en face je n'ai pas d'autre atome d'arsenic puisque j'ai ici mon atome de
gallium qui est au centre d'un tétraèdre, comme dans la molécule de méthane.
Je ne vais pas avoir de centre d'inversion dans ce cas-là,
et je pourrai avoir une réponse non-linéaire d'ordre 2.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
