Alors nous avons établi une équation de propagation non linéaire dans le domaine temporel qui est tout à fait générale, qui prend en compte une polarisation non linéaire d'origine quelconque. Cette équation différentielle on pourra la résoudre de manière analytique mais le plus souvent on devrait avoir recours à des méthodes numériques et je voudrais vous présenter ici l'une de ces méthodes qui s'appelle la méthode du pas fractionné ou split step en anglais. Donc c'est une méthode qui est utile en méthode non linéaire mais elle peut également être utilisée dans d'autres domaines de la physique par exemple en mécanique quantique, c'est une méthode qui peut être utilisée pour résoudre l’équation de Schrödinger. Pour comprendre le principe de cette méthode de résolution, revenons à l'équation de propagation donc qu'on a établi dans la video précédente où on avait dans le membre de gauche la partie linéaire de l' équation de propagation et puis dans le membre de droite le terme source non linéaire. Alors ce qu'on va faire déjà c'est qu'on va écrire cette équation en écrivant dans le membre de gauche la dérivée de A par rapport à z ce qui est finalement la grandeur qu'il va falloir intégrer. Et puis vous avez dans le membre de droite finalement deux termes un premier terme ici qui regroupe tous les effets dispersifs, donc ce que j'entends par dispersif, c'est à la fois dispersif et diffractif. Vous avez ici le fait que Le vecteur d'onde n'est pas une fonction linéaire de la fréquence qui va donner lieu à un étalement dans le domaine temporel de l'impulsion. Et puis ici le fait qu'on a ce phénomène de diffraction qui fait que vous aurez un étalement du profil transverse du faisceau donc en raison de ce phénomène de diffraction. Donc l'ensemble de cet opérateur différentiel je vais l'appeler D chapeau. Donc qui voudra dire dispersif ou diffractif comme vous voudrez Donc un opérateur D chapeau qui sera un opérateur linéaire agissant sur l'enveloppe A de R et de T. Et puis j'ai ici un deuxième terme qui lui est plus compiqué parce qu'il est non linéaire donc je vais l'écrire de manière formelle sous la forme d'un opérateur N chapeau agissant sur A de R et de T Alors cet opérateur N chapeau c'est un opérateur qui est non linéaire qui va dépendre de manière non linéaire de l'enveloppe ici puisque la polarisation évidemment sera un terme non linéaire. Donc c'est, il faut bien distinguer l'action de D sur A qui est une opération linéaire et ici un opérateur non linéaire. Et donc finalement mon équation différentielle je vais pouvoir l'écrire sous la forme DA sur DZ égal D plus N agissant sur A Alors on a ici un dilemme parce que la partie dispersive comme vous le savez est très facile à résoudre dans l'espace des fréquences. Tandis que la partie non linéaire il sera plus aisé de l'écrire dans le domaine temporel puisque comme je l'ai déjà dit la polarisation P de T pourra s'écrire par exemple comme epsilon zéro khi trois A deux T au cube. Donc on aurait envie d'être dans le domaine temporel pour la partie droite de l'équation ici et dans le domaine des fréquences des fréquences à la fois Oméga et des vecteurs donc kx ky pour la partie gauche de l'équation. Et évidemment on ne peut pas faire les deux à la fois et c'est à ça que va nous servir la méthode du pas fractionné. Considérons donc le cas de la contribution dispersive à l'équation de propagation c'est-à-dire qu'on va écrire que DA sur Dz est simplement égal à l'action de l'opérateur différentiel D sur A de x, y, z et t. Donc j'ai réécris ici l'expression de cet opérateur différentiel et naturellement la bonne façon de résoudre cette équation differentielle c'est de passer dans l'espace de Fourier où on aura les dérivées par rapport au temps qui s'écriront simplement sous la forme de Oméga deux ou Oméga trois et le laplacien transverse qui va s'écrire avec KX carré et KY carré. On voit ici au passage l'analogie spacio-temporelle dont on a parlé la semaine dernière dans la même équation où on a la fois le terme Oméga deux pour le domaine spectral et le terme en KX carré ou KY carré pour le domaine des fréquences spatiales. Et ce terme ici agit évidemment sur la grandeur A de kx ky Oméga donc dans l'espace de Fourier et au point z. Donc cette équation différentielle c'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant Dans le sens où ce facteur ici ne dépend pas de z. Et donc sa résolution est immédiate. La solution est évidemment une exponentielle le champ dans l'espace de Fourier au point z c'est le champ dans l'espace de Fourier en z zéro multiplié par ce facteur cet exponentiel complexe avec ici z moins z zéro, la distance de propagation. Et ce pré-facteur je vais appeler ça un opérateur. Donc on pourra appeler un propagateur ou un opérateur d'évolution que je vais noter U chapeau indice D. Donc D pour dispersion. Donc entre le point z zéro et le point z. Donc je vais l'écrire UD de z z zéro agissant sur le champ initial Donc vous voyez que pour ce qui concerne la contribution dispersive si on la prend seule en considération évidemment la résolution est immédiate et peut se formaliser sous l'action de cet opérateur agissant sur le champ à l'entrée du système Venons-en maintenant au principe de la méthode du pas fractionné. Comme on vient de le voir lorsqu'on a uniquement la dispersion et c'est ce qu'on avait vu la semaine dernière donc avec une équation du type DA sur Dz égal DA on peut résoudre l'équation différentielle et on a cet opérateur d'évolution ce propagateur UD de z et de Z zéro ce qui me permet de calculer A de z à partir de A de z zéro. De la même manière je vais faire l'hypothèse que si on avait que la non linéarité donc une équation du type DA sur Dz égal NA on saurait résoudre l'équation différentielle et on saurait exprimer A de z en fonction de A de z zéro à l'aide d'un opérateur non linéaire UN de z et z zéro, ça peut être plus compliqué dans ce cas-là parce que c'est un opérateur ici non linéaire. Mais je vais faire l'hypothèse qu'on sait le faire et vous verrez dans les prochaines semaines des exemples où on sait effectivement écrire cet opérateur. Et l'équation qu'il faut résoudre c'est évidemment le cas général où on aura à la fois un terme dispersif et un terme non linéaire. Alors dans un cas concret où on a un échantillon d'épaisseur L donc on cherche à résoudre la propagation d'un faisceau lumineux dans cet échantillon où on a à la fois les effets dispersifs et les effets non linéaires. La première question qu'on peut se poser c'est est-ce que l'opérateur d'évolution recherché ici, ce propagateur qu'on cherche, est-ce que on peut l'écrire tout simplement comme le produit de l'opérateur correspondant aux effets non linéaires et l'opérateur correspondant aux effets dispersifs ou plutôt en lisant de la droite vers la gauche puisque je vais appliquer ça à mon champ en entrée A de z zéro. Je vais d'abord appliquer l'ensemble des effets dispersifs sur l'ensemble de l'épaisseur de l'échantillon et puis ensuite l'ensemble des effets non linéaires. Ça revient a dire que mon échantillon serait comme représenté ici à un empilement de deux demi échantillons un premier où je n'aurais que les efffets dispersifs et le second où je n'aurais que les effets non linéaires. Evidemment il faudrait multiplier par deux l'expression des coefficients dispersifs ici pour qu'on ai t le même effet que sur une propagation sur une distance L et puis il faudrait multiplier par deux les paramètres correspondants à la non linéarité pour que ça fonctionne. Alors est-ce qu'on peut simplement se contenter d'écrire ça? Alors la réponse est évidemment non parce que les effets dispersifs et les effets non linéaires vont interagir de manière assez intime pendant la propagation. Pour vous en convaincre considérez par exemple une impulsion très brève qui rentrerait dans cet échantillon. Comme vous le savez les effets non linéaires sont d'autant plus intenses que le champ électrique est élevé ou que l'intensité donc temporelle est grande et donc si on a une impulsion très brève on aura des effets non linéaires très intenses. Mais si mon impulsion brève commence par être dispersée sur toute cette distance, quand elle va arriver dans partie non linéaire ici l'impulsion sera beaucoup plus longue et donc les effets non linéaires qu'elle va induire seront beaucoup plus faibles que ce qu'elle aura induit en réalité si on prenait en compte les effets non linéaire dès l'entrée de l'échantillon. Donc on voit bien que ce modèle ne convient pas et que donc l'opérateur d'évolution recherché ne sera pas simplement le produit de ces deux opérateurs. Par contre ce qu'on peut réaliser c'est que si l'échantillon était très mince, dans ce cas-là la dispersion de l'impulsion dont on vient de parler pourrait être négligée et peut être cette approximation serait exacte et en effet on démontre mathématiquement que si on considère l'épaisseur L comme un empilement de petits échantillons d'épaisseur H donc se sera un pas d'intégration qu'on va supposer petit et tel que si on multiplie par N qui sera un nombre entier qu'on va évidemment supposer grand on retrouve l'épaisseur L de l'échantillon. Physiquement on se rend bien compte que dans ce cas-là ça va être correct de considérer que l'effet conjugué de la dispersion et de la non linéarité je vais pouvoir les prendre en compte de manière successive dans cet échantillon où donc j'aurais un sandwich de parties dispersives et de parties non linéaires. En d'autres termes l'opérateur d'évolution on pourra l'écrire sous la forme d'un produit où j'aurais l'évolution d'abord sur une tranche entre zéro et H avec que l'effet dispersif ensuite l'opérateur non linéaire où j'aurais une transmission sur la même épaisseur avec uniquement les effets non linéaires et puis après je recommence avec les effets dispersifs et ainsi de suite. On sent bien physiquement que si on fait tendre H vers zéro, on pourra rendre compte du propagateur de cette manière-là. Alors c'est quelque chose qu'on peut démonter mathématiquement et en fait on démontre mathématiquement que cette approximation est exacte à condition que H tende vers zéro et les termes qu'on néglige sont en fait des termes qui sont de l'ordre de grandeur de H au carré. On peut même en symétrisant la procédure c'est-à-dire en mettant une demi-épaisseur non linéaire ici au début de l'échantillon et puis seulement une demi-épaisseur non linéaire à la fin de l'échantillon on peut même avoir une approximation qui est valable jusqu'au troisième ordre. Donc c'est cette approximation qu'on va utiliser pour résoudre notre équation de propagation dans notre échantillon. On peut donc traduire le principe de cette méthode sous forme en algorithme. Donc va donc utiliser cette formule qu'on vient d'admettre. Et donc pour mettre en oeuvre l'algorithme c'est très simple. On va partir du champ A de xy en Z égal à zéro et en fonction du temps donc à l'entrée de l'échantillon. On va ensuite passer dans l'espace de Fourier donc par une transformée de Fourier. Enfin ce que j'appelle une transformée de Fourier, je vous rappelle que c'est une transformée de Fourier directe pour x et y et une transformée de Fourier inverse pour le temps mais peu importe c'est l'opérateur qui va me permettre de passer dans l'espace de Fourier. Donc là j'aurais une fonction qui va dépendre de kx ky et Oméga et je pourrais très facilement appliquer le propagateur donc lié à la dispersion. C'est cet exponentiel complexe qu'on avait vu tout à l'heure. Ensuite je reviens dans l'espace direct à la ligne transformée de Fourier inverse et je vais pouvoir appliquer le propagateur correspondant à la partie non linéaire. Donc à l'issue de cet ensemble d'opérations je me retrouve après une tranche H de l'échantillon je me retrouve ici et donc j'ai calculé l'expression du champ A de xy H et t. Et il va suffire ensuite d'itérer le processus donc en effecuant cette opération n fois pour chacune des tranches de l'échantillon pour obtenir finalement le champ en sortie de l'échantillon. Donc c'est la méthode du pas fractionné donc je répète split step en anglais que vous pourrez mettre en oeuvre a l'aide du langage Scilab.
