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Nous allons maintenant considérer le deuxième cas important qui va intervenir
lorsqu'on s'intéresse à la propagation en régime non-linéaire, c'est celui où on a,
non pas un ensemble discret de fréquences dans le milieu, mais un continuum de
fréquences, c'est-à-dire un spectre qui pourra avoir une certaine largeur, et
qui va correspondre au cas d'une impulsion brève ou d'une impulsion ultra-brève.
Et on va résoudre ce problème dans ce qu'on appelle l'approximation de
l'onde lentement variable, qui n'est autre que l'approximation paraxiale appliquée au
cas de la propagation non-linéaire.
Donc on va à nouveau partir évidemment de l'équation de
propagation avec dans le membre de droite le terme non-linéaire, et puis dans le
membre de gauche l'équation de propagation linéaire habituelle,
et on va effectuer un certain nombre d'approximations.
Tout d'abord, on va supposer que le milieu est isotrope, ce qui nous permettra de
négliger la double réfraction, et donc ce terme en gradient divergence E, ensuite,
on va faire l'approximation scalaire, c'est-à-dire qu'on va considérer que on
aura des faisceaux faiblement divergents, et donc qui vont tous se propager,
enfin que notre faisceau va se propager selon l'axe z,
et donc que le champ électrique, qui est transverse, sera dans le plan x y, et
par exemple, polarisé dans une direction x, et c'est ce qui nous permettra de
supposer uniquement la composante de ce champ selon, par exemple, l'axe x.
Donc dans la suite, j'aurai uniquement une grandeur scalaire : le champ réel E.
Ensuite on va évidemment utiliser le champ complexe qu'on avait déjà introduit dès
la deuxième semaine, en considérant uniquement les composants de
fréquences positives du champ réel E de t,
et donc tout ça nous permet d'arriver à cette équation de propagation, qui est à
peu près la même qu'en haut, simplement on a plus le terme de gradient divergence E,
et puis on travaille avec des grandeurs complexes.
Alors comme d'habitude, on a ici dans le membre de gauche l'équation de
propagation linéaire, mais où on a rajouté un terme source correspondant à
la réponse non-linéaire du milieu.
Pour la partie linéaire, on va supposer que la réponse du milieu est
caractérisée par son vecteur d'onde, k de oméga qui sera, comme d'habitude,
égal à racine carrée de un plus khi un de oméga,
donc qu'on écrira encore n de oméga fois oméga sur c.
Donc, on a cette équation de propagation, qu'on va écrire dans l'espace
des fréquences, donc en passant de l'espace direct où le champ dépend de t,
à l'espace de Fourier où le champ va dépendre de oméga,
par contre je ne touche pas à la variable r, et donc je vais directement avoir ici
dans l'espace de Fourier, le laplacien de E de r et de oméga,
ensuite, la dérivée seconde du champ
par rapport au temps ou la dérivée seconde de la polarisation par rapport au temps,
donc ça c'est quelque chose qu'on a vu déjà un certain nombre de fois, vous savez
donc qu'on va faire apparaître moins oméga deux sur c deux avec la susceptibilité,
et on aura finalement, en utilisant le vecteur d'onde du milieu on pourra écrire
cela sous la forme plus k de oméga au carré multiplié par E de
r et de oméga égal toujours à l'espace de Fourier
ici la dérivée seconde de p par rapport au temps va me donner un moins oméga deux,
donc j'aurai moins oméga deux sur epsilon zéro c deux fois la polarisation
non-linéaire p n l de r et de oméga.
Donc on retrouve évidemment ce qu'on a vu dans la vidéo précédente,
à gauche l'équation de Helmholtz, et puis ici,
le terme source, la seule différence c'est qu'au lieu d'avoir à faire à
des fréquences discrètes, et bien on a un ensemble continu de fréquences.
Bien, donc on arrive à cette équation de propagation, avec dans le membre de
gauche l'équation de Helmholtz, et dans le membre de droite le terme source lié
à la polarisation non-linéaire, et on va procéder comme dans la vidéo précédente,
en faisant l'approximation paraxiale, c'est-à-dire qu'on va
supposer qu'on a un faisceau lumineux qui se propage selon l'axe z,
avec une faible diverge, et on va introduire l'enveloppe u
de r du faisceau multiplié par une porteuse en exponentiel i k de oméga z.
Donc c'est aussi comme ce qu'on avait fait la semaine dernière dans le cas de
l'approximation paraxiale pour la propagation d'un faisceau lumineux
monochromatique, simplement ici, c'est pas un faisceau monochromatique,
on a une dépendance en oméga, ce qui fait que la porteuse ici va dépendre de la
fréquence oméga, mais c'est la seule différence.
Donc comme précédemment, on pourra écrire le lapalcien de E en dérivant cette
expression-là, on va évidemment avoir des termes supplémentaires pour la
dérivée par rapport à z, donc des termes que vous connaissez bien,
et l'approximation paraxiale, comme vous le savez,
consiste à négliger la dérivée seconde de u par rapport à z,
et donc on va négliger ce terme non seulement par rapport à la dérivée
première, mais également par rapport au laplacien transverse de l'enveloppe u.
Donc, si je remplace dans l'équation de propagation,
j'obtiens une équation qui ressemble beaucoup à ce qu'on avait vu dans la
vidéo précédente pour des ondes monochromatiques, simplement, au lieu
d'avoir un ensemble discret d'équations différentielles, et bien j'ai un
continuum d'équations différentielles pour toutes les valeurs possibles de oméga.
L'intérêt évidemment, c'est qu'on a ici une équation différentielle du
premier ordre en z, et ce qu'on va faire, c'est qu'on va faire passer,
enfin, on va diviser l'équation par deux i k de oméga pour
avoir directement une équation qui porte sur d u sur d z, donc on
aura l'équation de propagation avec donc la dérivée première de u par rapport à z,
un terme qui fait intervenir le laplacien transverse mais également la dépendance en
fréquence ici, et puis à droite le terme source de l'équation de propagation.
On aboutit donc à cette équation de
propagation pour l'enveloppe u de r et de oméga associée au champ électrique.
C'est une équation qui est satisfaisante puisqu'on a une dérivée première par
rapport à z, c'était l'intérêt de l'approximation paraxiale.
L'inconvénient c'est que dans la définition de u,
on a ici une porteuse qui va dépendre de oméga,
ce qui va rendre l'exploitation de cette équation un peu compliquée.
Donc pour palier à ce problème, on va revenir à la variable originale,
à la variable E de r et de oméga, et pour ça il suffit simplement de remplacer ici u
par le produit E exponentiel moins i k z dans l'équation.
Donc je vais devoir calculer la dérivée première de u par rapport à z,
donc ça c'est très simple puisque u c'est un produit entre E de x y z oméga et
exponentiel moins i k z, donc quand je dérive ce produit j'ai un premier terme
qui est la dérivée de E par rapport à z, et puis un deuxième terme qui
va être la dérivée de exponentiel moins i k de oméga z qui va s'écrire moins i k
de oméga multiplié par E avec évidemment
en facteur exponentiel moins i k de oméga z.
Donc je n'ai plus qu'à remplacer dans cette équation d
u sur d z par sa valeur pour obtenir l'équation différentielle suivante : donc
d u sur d z, j'aurai les deux termes d sur d z moins i k de oméga, le laplacien je
le retrouve inchangé puisque je n'ai pas changé la dépendance en x et en y entre
ces deux expressions, j'aurai évidemment exponentiel moins i k de oméga z en
facteur mais que je peux simplifier avec le terme qui est ici, et donc finalement
on retrouve ici le terme source sans le facteur exponentiel moins i k de oméga z.
Donc voilà l'équation différentielle qu'on obtient finalement sur le
champ électrique E de r et de oméga dans l'espace des fréquences.
Alors cette équation différentielle,
c'est l'équation qu'on appelle l'équation de propagation non-linéaire dans le
cadre de l'approximation de l'onde lentement variable,
c'est ce qu'on appelle en anglais Slowly-Evolving Wave Approximation,
c'est une équation qui a été établie assez récemment en 1997, tout simplement
parce que contrairement à ce qu'on appelle l'approximation de l'enveloppe lentement
variable, elle ne fait pas d'hypothèse sur la durée de l'impulsion,
elle peut s'appliquer pour des impulsions très très brèves qui sont précisément les
impulsions qu'on a été capable de produire à la fin du vingtième siècle.
Donc cette équation elle va être évidemment très utile et,
en particulier, comme c'est une équation différentielle du premier ordre en z,
elle se prêtera bien à une résolution numérique où on pourra prendre en
compte la valeur exacte de k de oméga selon le matériau considéré, et on pourra
aussi prendre en compte les effets spatiaux avec le laplacien transverse.
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
