Nous avons vu dans la vidéo précédente une équation de propagation générale dans le cas d'une impulsion brève ou même ultra brève. Cette équation différentielle s'écrit dans l'espace des fréquences et peut être résolue sur un ordinateur par exemple, par des méthodes numériques. Cependant, l'inconvénient de travailler dans l'espace des fréquences, c'est que le terme le source, le terme non-linéaire, cette polarisation non-linéaire P de t, va s'écrire plus simplement dans le domaine temporel, par exemple si cette polarisation non-linéaire provient d'un terme d'ordre trois, vous savez que pour un milieu non résonnant, on pourra écrire P de t sous la forme epsilon zéro khi trois fois E de t au cube. Donc dans le domaine temporel ce sera simple d'écrire la polarisation non-linéaire, par contre cette même polarisation P de t élevé au cube dans le domaine des fréquences, ce sera beaucoup plus compliqué puisque élevé au cube dans le domaine temporel, ça revient à écrire un double produit de convolution dans l'espace des fréquences. On voit qu'il serait utile d'avoir une équation de propagation non-linéaire mais qui serait écrire entièrement dans le domaine temporel et c'est ce qu'on va faire dans cette vidéo. On va partir naturellement de l'équation de propagation que nous avons établie dans le cadre de l'approximation de l'onde lentement variable, slowly evolving wave approximation en anglais, qui correspond à cet acronyme ici, et on va faire quelques approximations qui vont nous permettre de revenir dans le domaine temporel. Si on regarde cette équation, elle comporte dans le membre de droite évidemment le terme source non-linéaire, et dans le membre de gauche on a ici la dépendance en oméga du vecteur d'onde, ça c'est ce qui va être responsable des effets de dispersion qu'on a vu la semaine dernière dans le cadre de la propagation linéaire d'une impulsion brève, et puis on a aussi ici un terme avec le laplacien transverse, qui va lui prendre en compte les effets de diffraction du faisceau lumineux, avec en plus ici un terme k de oméga qui va correspondre simplement au fait que la diffraction du faisceau lumineux va dépendre de sa longueur d'onde : un faisceau va diffracter d'autant plus que sa longueur d'onde est grande. La première approximation qu'on va faire, c'est qu'on va supposer que l'effet de diffraction qu'on va supposer être faible pourra être simplement considéré à la fréquence centrale du milieu. Je vais remplacer ici k de oméga par k zéro, le vecteur d'onde à la fréquence centrale oméga zéro de mon impulsion lumineuse. De la même manière, ici, dans le terme source correspondant à l'effet non-linéaire, l'indice de réfraction ici, je vais simplement le remplacer par n zéro, l'indice de réfraction à la fréquence centrale du milieu, je vais négliger la dispersion du rayonnement associé au terme non-linéaire. Par contre je vais évidemment garder ici la dispersion du vecteur d'onde qui va avoir un rôle beaucoup plus important. Pour ce terme précisément, k de oméga qu'on a ici, on va effectuer un développement limité, le même qu'on avait fait la semaine dernière, c'est-à-dire que je vais écrire que le vecteur d'onde k de oméga je peux l'écrire sous la forme k zéro, le vecteur d'onde à la fréquence centrale, plus oméga moins oméga zéro multiplié par k prime zéro, je vous rappelle qu'on avait vu que k prime zéro, c'était l'inverse de la vitesse de groupe, plus un demi de oméga moins oméga zéro au carré multiplié par k zéro seconde, donc k zéro seconde ce sera la variation de l'inverse de la vitesse de groupe avec la fréquence, donc ça correspond à ce qu'on appelle la dispersion de vitesse de groupe. J'ai oublié, ici, le carré, oméga moins oméga zéro au carré. Et puis, pour montrer ce qui peut se passer si on prenait en compte les termes supérieurs, on va également garder le terme d'ordre trois, je vais prendre plus un sixième d'oméga moins oméga zéro au cube fois k zéro tierce. C'est un terme qui pourrait avoir une importance, par exemple quand on s'intéresse à la propagation dans des fibres optiques, ce terme pourra jouer un rôle. Et puis on pourra évidemment continuer avec le terme d'ordre quatre, d'ordre cinq, etc. Je vais utiliser ce développement limité et puis on va faire un changement de variable, le même que celui qu'on avait fait dans le cadre de la propagation linéaire, je vous rappelle qu'on avait écrit pour la propagation linéaire d'une impulsion brève, que le champ électrique c'était le produit d'une enveloppe par une porteuse, la porteuse contenait la dépendance en z, il y avait une porteuse spatiale et une porteuse temporelle La porteuse en z, c'était simplement le terme exponentiel i k zéro z, parce que je considère que mon faisceau c'est essentiellement un faisceau lumineux qui va se propager selon l'axe z et puis une porteuse temporelle, j'ai un terme en exponentielle moins i oméga zéro t, puisque je suppose que mon faisceau est centré à la fréquence oméga zéro que j'ai considérée ici. Puis on avait vu que l'enveloppe se propageait non pas à la vitesse de phase mais à la vitesse de groupe, ce qui justifie ici ce changement de variables, c'est-à-dire que je vais considérer t moins k prime zéro z, ou si vous préférez t moins z sur b g, ce qui nous permet de supposer que si on avait que les effets de propagation linéaire, cette fonction A de r et de t, si j'appelle cette variable t, sera toujours centrée en zéro pour son second paramètre, puisque par définition c'est le centre de l'impulsion dans le cas d'une propagation linéaire. Évidemment maintenant on va voir comment l'expression de A de r et de t va être modifiée en raison du terme source qu'on a ici. Ce qu'on va faire, c'est qu'on va écrire une équation différentielle sur l'enveloppe de l'impulsion A de r et de t. Comme cette équation est écrite ici dans l'espace des fréquences, voyons ce que devient cette expression dans l'espace des fréquences. Ça, en principe, vous devez pouvoir le comprendre grâce au cours sur la transformée de Fourier qu'on avait fait en deuxième semaine. En effet, qu'est-ce qu'on a ici dans ce terme? On a d'une part une translation dans l'espace des temps, puisqu'on a translaté notre champ ici d'une quantité k prime zéro z, et vous vous rappelez qu'une translation dans l'espace des temps ça revient à une phase linéaire dans l'espace des fréquences, avec une pente qui va être k prime zéro z, donc sous l'action de cette translation il va falloir que je multiplie ici dans l'espace des fréquences par exponentielle i k prime zéro z fois oméga, la fréquence, puis par ailleurs on a à l'inverse, de manière symétrique on a ici multiplié par exponentielle moins i oméga zéro t, c'est-à-dire qu'on a une phase temporelle qui est linéaire dans l'espace des temps, et ça on avait vu que ça correspondait à une translation dans l'espace des fréquences, donc le champ qu'on avait tout à l'heure qui était A de oméga exponentielle i k prime zéro z oméga, il faut le translater de oméga zéro ce qui vous explique pourquoi on a ici oméga moins oméga zéro à la place de oméga, et même chose ici, oméga moins oméga zéro à la place de oméga. Dans l'espace des fréquences, le champ E de r et de oméga va s'écrire tout simplement a de r et de oméga moins oméga zéro fois ce terme-là exponentielle i k zéro z plus k prime zéro z oméga moins oméga zéro. Il n'y a rien de surprenant là-dedans, évidemment l'enveloppe va être lentement variable par rapport à t, donc ça veut dire que dans l'espace des fréquences mon champ A de oméga va être centré sur la fréquence nulle. Donc ici, le deuxième paramètre de A, va être centré sur les valeurs nulles de la fréquence, or comme oméga est proche de oméga zéro, ce n'est pas étonnant que j'aie ici oméga moins oméga zéro. Remplaçons dans l'équation différentielle ici le champ électrique e de oméga par son expression, le produit de A de oméga par la porteuse ici, avec une exponentielle complexe. J'aurai tout d'abord la dérivée par rapport à z, qui sera la dérivée par rapport à z du champ E, j'aurai d'abord la dérivée par rapport à z de A, que je viens d'écrire ici, puis je dois y ajouter la dérivée par rapport à z de ce terme-là Mais quand je dérive ce terme, je vais avoir un terme en i k zéro qui va sortir, mais n'oublions pas que je vais ensuite soustraire moins i k de oméga, et donc je vais soustraire moins i k zéro donc le terme en i k zéro va évidemment s'éliminer avec le k zéro qui est ici. De la même manière, quand je vais faire sortir de l'exponentielle le terme en i k prime zéro oméga moins oméga zéro, il va s'éliminer avec le terme en moins i oméga moins oméga zéro k prime zéro. Finalement le premier terme qui va rester, ce sera quand je vais soustraire ici i k de oméga, ce sera le terme quadratique. J'aurai moins i sur deux, oméga moins oméga au carré fois k zéro seconde. Simplement je vais évidemment faire un changement de variable puisque je m'intéresse à la grandeur A de r et de oméga moins oméga zéro, et donc oméga moins oméga zéro c'est ce que je vais dorénavant appeler oméga. Ici j'aurai oméga deux fois k zéro seconde. Donc moins i sur deux, k zéro seconde oméga deux. Ensuite j'ai le terme cubique qui va s'écrire moins i sur six k zéro tierce oméga trois. Enfin, le dernier terme ici du membre de gauche, moins i sur deux k zéro laplacien transverse. Le tout va agir sur le champ A de r et de oméga et puis j'aurai en facteur cette exponentielle complexe, mais que je vais faire passer dans le membre de droite. Ça ce sera égal à le terme source, que je vais écrire i oméga, alors il ne faut pas oublier que oméga c'est la vraie fréquence, donc avec mon changement de variable oméga ce sera oméga zéro plus oméga divisé par deux epsilon zéro, n zéro c, et la polarisation non linéaire prise en r et à nouveau en oméga zéro plus oméga, donc la vraie fréquence à laquelle est définie cette polarisation. Et puis enfin, il reste à reporter cette exponentielle dans le membre de droite, donc je change le signe de l'exponentielle. Donc j'ai exponentielle de moins i multiplié par k zéro z plus k prime zéro oméga moins oméga zéro, c'est ce que j'ai appelé oméga, z. On aboutit donc à cette équation différentielle portant sur l'enveloppe a de r et d'oméga. Donc, on est toujours dans l'espace des fréquences, et il nous reste, pour terminer, à revenir dans l'espace des temps. Alors, ça ne va pas être très difficile puisque vous vous rappelez que, quand on passe de l'espace des fréquences à l'espace des temps, il y a une façon très simple de remplacer les dérivées. Vous vous rappelez que la dérivée par rapport au temps c'est ce qui correspond à moins i oméga. De la même manière, une dérivée seconde par rapport au temps, ça va correspondre à moins i oméga au carré, c'est-à-dire à moins oméga deux. Et enfin, une dérivée troisième par rapport au temps, eh bien, ça va correspondre à moins i oméga au cube, c'est-à-dire à i oméga trois. Donc, je reconnais, ici, le terme en oméga deux, qui va me faire l'opposé de la dérivée seconde de a par rapport au temps, et puis, ici, le terme en i oméga trois va me faire la dérivée troisième de a par rapport au temps. Donc, pour réécrire cette équation différentielle dans le domaine des temps, en faisant une transformée de Fourier, eh bien, il suffit d'écrire l'équation de propagation non linéaire que vous avez ici. Vous reconnaissez tous les termes que vous avez en haut, ici, le moins i oméga deux qui me donne i d deux a sur d t deux, et le terme moins i oméga trois, qui me donne moins d trois a sur d t trois. Le Laplacien transverse, évidemment, n'est pas modifié, puisqu'il ne fait pas intervenir les coordonnées spectro temporelles, et puis, j'ai, à droite, ici, l'expression de la polarisation non linéaire. Alors là, c'est un petit peu plus compliqué, on avait, ici, ce pré facteur oméga zéro plus oméga, qui est en fait la vraie fréquence de dépendance de la polarisation non linéaire. Et donc, c'est pour ça qu'ici, j'ai le i oméga fois p qui va me donner moins d p sur d t, donc la dérivée première de la polarisation non linéaire par rapport au temps, et puis, il y a le facteur, ici, en exponentielle, moins i k zéro prime z oméga. Donc, c'est une phase linéaire par rapport au temps, et, à nouveau, vous vous rappelez qu'une phase linéaire par rapport au temps, ça correspond à une translation dans le temps, ce qui signifie que ce facteur t prime, que vous avez ici, en fait, cela représente t plus k prime zéro z. Donc, le t prime qui apparaît à la fois ici et là, c'est, en fait, le temps translaté de k prime zéro z, ce n'est pas très surprenant, puisque l'enveloppe ici, je vous rappelle qu'elle va être non nulle autour de t égal à zéro, c'est l'intérêt d'avoir considéré l'enveloppe de la pulsion, c'est une fonction qui va centrée en t égal à zéro, alors que la polarisation que vous avez ici, elle va se propager avec la pulsion, donc, pour avoir une valeur non nulle, il faudra prendre cette polarisation à l'instant t plus k prime zéro z, t sera voisin de zéro et donc, on va prendre la polarisation à un instant qui est de l'ordre du retard de groupe, c'est bien là qu'on attend que se trouve la polarisation non linéaire. Donc, voilà l'équation de propagation non linéaire, sous sa forme la plus générale, qui fait intervenir la dérivée première de la polarisation non linéaire par rapport au temps, de même que l'on avait vu que l'équation de propagation linéaire faisait intervenir la dérivée première de la polarisation linéaire par rapport au temps. Alors, ceci dit, on va assez souvent utiliser une version simplifiée de cette équation de propagation non linéaire, que je vous montre ici. Cette version simplifiée, elle consiste simplement à dire que, on va supposer que la largeur spectrale delta oméga est très petite par rapport à la fréquence centrale, donc, c'est aussi ce que l'on appelle l'approximation de l'enveloppe lentement variable. Donc, si la largeur spectrale est très petite devant oméga zéro, eh bien, vous voyez que, ici, le terme oméga zéro plus oméga, il va être finalement, assez proche de oméga zéro. Donc, ça, je vais pouvoir le remplacer, dans cette approximation, par oméga zéro. Ce qui veut dire que, ici, je n'aurai plus la dérivée de la polarisation par rapport au temps, mais simplement i oméga zéro fois la polarisation directement. Donc, cela revient à dire que si ma polarisation à une enveloppe qui varie suffisamment lentement, eh bien, l'essentiel de la dérivée de la polarisation par rapport au temps, c'est dû à la porteuse, en exponentielle moins i oméga zéro t, et donc, vous avez simplement ce facteur, i oméga zéro, qui provient de la dérivée de la porteuse par rapport au temps. Donc, c'est une expression de l'expression de propagation que l'on va souvent employer, avec un terme, ici, qui est un peu compliqué, mais qui veut simplement dire, l'exponentielle i oméga zéro t veut simplement dire qu'on s'affranchit de la porteuse éventuelle de la polarisation non linéaire, puisqu'on travaille ici sur l'enveloppe, et puis le terme, ici, correspond à l'évolution de la phase de la porteuse qu'on avait vu, mais donc, il n'y aura pas toujours de conséquences importantes quand on pourra négliger l'évolution de la phase de la porteuse. Voilà, donc voilà les deux équations de propagation non linéaire qu'on a dans le domaine temporel.
