[МУЗЫКА] Теперь вернёмся к предыдущей части нашей лекции,
а именно, к замене переменных в интегралах.
Что мы получили?
Мы получили, что если мы интегрируем функцию в евклидовских
координатах и перешли к произвольным координатам y один y n,
то интеграл выглядит следующим образом,
[БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] где J,
напоминаю, это якобиан,
он же детерминант якобиевской матрицы.
Так вот, то, что мы сейчас получили,
означает то, что эту замену переменных можно переписать по-другому.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[СКРИП]
Ну и напомню то,
что x уже имеется ввиду выраженным через новые переменные y один y n.
То есть коэффициентом пересчёта в
мере объёма площади является
квадратный корень из детерминанты метрического тензора.
На самом деле, если немножечко подумать,
можно понять, что формула, записанная в таком вот виде,
применима к интегрированию и по кривым поверхностям.
Если мы знаем, как выглядит метрический тензор в координатах,
которые мы ввели на этой кривой поверхности,
тогда интегрирование по площади, скажем, нашей поверхности в функции,
заданной на этой поверхности, определено следующим образом.
Откуда это следует?
Давайте, самое простое представим себе, что наша поверхность
или гиперповерхность погружены в евклидовское пространство,
скажем, двумерная поверхность погружена в трёхмерное пространство.
Локально любая поверхность вблизи данной точки бесконечным овалом
является просто куском плоскости, обычной евклидовской плоскости.
И тогда эта формула приобретает совершенно прозрачный смысл.
Чтобы не писать самые общие формулы,
чтобы не писать всё время общие формулы, давайте рассмотрим пример
чуть более сложный, чем полярная координата, а именно,
рассмотрим сферические координаты в трёхмерном пространстве, как они задаются.
В трехмерном пространстве стартуем с наших евклидовских координат.
Это значит x один, x два,
x три, они же x, y, z.
Это евклидовские координаты, теперь введём сферические координаты.
Вот у нас точка, она задаётся расстоянием до центра,
углом с осью z или с осью x три, как у нас,
и углом проекции с осью x или с осью x один, как у нас.
Я намеренно не ввожу x, y, z в большую общность.
Из этой картинки следуют простые формулы пересчёта.
x три равняется r косинус θ.
x один будет r синус θ,
это длина проекции на плоскость x один x два,
и на косинус φ, это уже проекция на ось x один.
x два это будет r синус θ синус φ.
Ну теперь остаётся только вычислить метрический тензор,
и геометрия нашего пространства в
сферических координатах будет готова, вычисляем.
[СКРИП] Начнём
с исходного выражения и расписываем дифференциалы.
[СКРИП] dr
синус θ косинус φ плюс,
дифференциал уже идёт плюс.
Здесь немножко надо поработать, но ничего страшного.
Косинус θ косинус φ dθ плюс r
синус θ минус,
давайте здесь минус.
Зачеркну плюс, ставлю минус,
минус минус, зачеркиваю,
синус φ dφ
в квадрате плюс дифференциал x два
dr синус
θ синус φ
плюс r косинус
θ синус φ dθ плюс,
здесь уже плюс,
r синус θ косинус φ dφ в квадрате плюс.
Ну и аналогичное выражение,
происходящее от x два.
dr синус
θ синус
φ плюс
r косинус θ синус
φ dθ плюс, тут тоже плюс,
r синус θ
косинус φ dφ в квадрате плюс,
ну и окончательно dx три,
dr косинус θ минус
r синус θ dθ,
тоже всё в квадрате, равно.
Нужно раскрыть квадраты и всё собрать.
Давайте это делать как бы пристальным всматриванием.
Первое, нужно убедиться, что — я знаю ответ,
поэтому это и говорю — что все перекрёстные члены в этом квадрате,
в этом элементе длинные квадраты расстояния сокращаются перекрёстно,
то есть содержащие дифференциалы dr, dφ, dθ, dr,
dφ, dr, dθ, dφ, dθ.
Это легко проверить, давайте я это не буду делать.
Остаются только
квадраты dr, dφ и dθ.
И коэффициенты при этих квадратах мы сейчас соберём.
Давайте вот здесь я, значит, соберу.
Смотрите, dr в квадрате, какой коэффициент будет при нём?
Синус в квадрате θ косинус в квадрате φ синус в квадрате
θ синус в квадрате φ косинус в квадрате плюс синус в квадрате даст единицу,
то есть из этих двух слагаемых будет dr в квадрате синус
в квадрате θ плюс dr в квадрате косинус в квадрате θ.
Итого, получаем просто dr в квадрате
плюс три d θ в
квадрате r в квадрате
косинус в квадрате θ косинус в квадрате φ r в квадрате
косинус в квадрате θ синус в квадрате φ.
Косинус в квадрате φ плюс синус в квадрате φ даст единицу и будет из этих
двух слагаемых r в квадрате косинус в квадрате θ dθ в квадрате,
а здесь r в квадрате синус в квадрате θ dθ в квадрате,
синус в квадрате плюс косинус в квадрате — единица.
Итого, будет плюс r в квадрате dθ в квадрате плюс, вот теперь от dφ.
Здесь до конца
углы не пропадут, но ничего не страшного.
r в квадрате синус в квадрате θ косинус в квадрате φ плюс
r в квадрате синус в квадрате θ косинус в квадрате φ.
Синус в квадрате остаётся, то есть будет плюс r в квадрате,
синус в квадрате θ dφ в квадрате.
Так вот получился наш метрический тензор.
Точнее, пока ещё не метрический тензор,
а квадрат бесконечно малого расстояния.
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
