Сферические координаты

Loading...

En provenance du cours de National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 notes

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 notes

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

À partir de la leçon

Интегрирование в криволинейных координатах

Выражения, в которых интегрирование выполняется более чем по одной переменной, повсеместно встречаются в прикладных задачах. Такие многократные интегралы зачастую удобно вычислять в криволинейных координатах, которые отражают симметрию рассматриваемой системы или наложенных на нее граничных условий. В этом разделе Вы научитесь производить переход к криволинейным координатам под знаком интеграла. Вы узнаете, что такое метрический тензор, и поймете, как это понятие помогает находить площади и объемы фигур в произвольных системах координат. В частности, мы подробно обсудим тороидальные и сферически координаты. Большой упор в этом модуле делается на задачи для самостоятельного решения.

Замена системы координат на плоскости13:02

Замена координат в многократных интегралах. Матрица Якоби8:19

Метрический тензор12:20

Сферические координаты10:56

Элементы площади и объема13:16

Метрический тензор в тороидальных координатах6:24

Rencontrer les enseignants

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Теперь вернёмся к предыдущей части нашей лекции,

а именно, к замене переменных в интегралах.

Что мы получили?

Мы получили, что если мы интегрируем функцию в евклидовских

координатах и перешли к произвольным координатам y один y n,

то интеграл выглядит следующим образом,

[БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] где J,

напоминаю, это якобиан,

он же детерминант якобиевской матрицы.

Так вот, то, что мы сейчас получили,

означает то, что эту замену переменных можно переписать по-другому.

[БЕЗ_ЗВУКА]

[СКРИП]

Ну и напомню то,

что x уже имеется ввиду выраженным через новые переменные y один y n.

То есть коэффициентом пересчёта в

мере объёма площади является

квадратный корень из детерминанты метрического тензора.

На самом деле, если немножечко подумать,

можно понять, что формула, записанная в таком вот виде,

применима к интегрированию и по кривым поверхностям.

Если мы знаем, как выглядит метрический тензор в координатах,

которые мы ввели на этой кривой поверхности,

тогда интегрирование по площади, скажем, нашей поверхности в функции,

заданной на этой поверхности, определено следующим образом.

Откуда это следует?

Давайте, самое простое представим себе, что наша поверхность

или гиперповерхность погружены в евклидовское пространство,

скажем, двумерная поверхность погружена в трёхмерное пространство.

Локально любая поверхность вблизи данной точки бесконечным овалом

является просто куском плоскости, обычной евклидовской плоскости.

И тогда эта формула приобретает совершенно прозрачный смысл.

Чтобы не писать самые общие формулы,

чтобы не писать всё время общие формулы, давайте рассмотрим пример

чуть более сложный, чем полярная координата, а именно,

рассмотрим сферические координаты в трёхмерном пространстве, как они задаются.

В трехмерном пространстве стартуем с наших евклидовских координат.

Это значит x один, x два,

x три, они же x, y, z.

Это евклидовские координаты, теперь введём сферические координаты.

Вот у нас точка, она задаётся расстоянием до центра,

углом с осью z или с осью x три, как у нас,

и углом проекции с осью x или с осью x один, как у нас.

Я намеренно не ввожу x, y, z в большую общность.

Из этой картинки следуют простые формулы пересчёта.

x три равняется r косинус θ.

x один будет r синус θ,

это длина проекции на плоскость x один x два,

и на косинус φ, это уже проекция на ось x один.

x два это будет r синус θ синус φ.

Ну теперь остаётся только вычислить метрический тензор,

и геометрия нашего пространства в

сферических координатах будет готова, вычисляем.

[СКРИП] Начнём

с исходного выражения и расписываем дифференциалы.

[СКРИП] dr

синус θ косинус φ плюс,

дифференциал уже идёт плюс.

Здесь немножко надо поработать, но ничего страшного.

Косинус θ косинус φ dθ плюс r

синус θ минус,

давайте здесь минус.

Зачеркну плюс, ставлю минус,

минус минус, зачеркиваю,

синус φ dφ

в квадрате плюс дифференциал x два

dr синус

θ синус φ

плюс r косинус

θ синус φ dθ плюс,

здесь уже плюс,

r синус θ косинус φ dφ в квадрате плюс.

Ну и аналогичное выражение,

происходящее от x два.

dr синус

θ синус

φ плюс

r косинус θ синус

φ dθ плюс, тут тоже плюс,

r синус θ

косинус φ dφ в квадрате плюс,

ну и окончательно dx три,

dr косинус θ минус

r синус θ dθ,

тоже всё в квадрате, равно.

Нужно раскрыть квадраты и всё собрать.

Давайте это делать как бы пристальным всматриванием.

Первое, нужно убедиться, что — я знаю ответ,

поэтому это и говорю — что все перекрёстные члены в этом квадрате,

в этом элементе длинные квадраты расстояния сокращаются перекрёстно,

то есть содержащие дифференциалы dr, dφ, dθ, dr,

dφ, dr, dθ, dφ, dθ.

Это легко проверить, давайте я это не буду делать.

Остаются только

квадраты dr, dφ и dθ.

И коэффициенты при этих квадратах мы сейчас соберём.

Давайте вот здесь я, значит, соберу.

Смотрите, dr в квадрате, какой коэффициент будет при нём?

Синус в квадрате θ косинус в квадрате φ синус в квадрате

θ синус в квадрате φ косинус в квадрате плюс синус в квадрате даст единицу,

то есть из этих двух слагаемых будет dr в квадрате синус

в квадрате θ плюс dr в квадрате косинус в квадрате θ.

Итого, получаем просто dr в квадрате

плюс три d θ в

квадрате r в квадрате

косинус в квадрате θ косинус в квадрате φ r в квадрате

косинус в квадрате θ синус в квадрате φ.

Косинус в квадрате φ плюс синус в квадрате φ даст единицу и будет из этих

двух слагаемых r в квадрате косинус в квадрате θ dθ в квадрате,

а здесь r в квадрате синус в квадрате θ dθ в квадрате,

синус в квадрате плюс косинус в квадрате — единица.

Итого, будет плюс r в квадрате dθ в квадрате плюс, вот теперь от dφ.

Здесь до конца

углы не пропадут, но ничего не страшного.

r в квадрате синус в квадрате θ косинус в квадрате φ плюс

r в квадрате синус в квадрате θ косинус в квадрате φ.

Синус в квадрате остаётся, то есть будет плюс r в квадрате,

синус в квадрате θ dφ в квадрате.

Так вот получился наш метрический тензор.

Точнее, пока ещё не метрический тензор,

а квадрат бесконечно малого расстояния.

Explorer notre catalogue

Rejoignez-nous gratuitement et obtenez des recommendations, des mises à jour et des offres personnalisées.

Coursera propose un accès universel à la meilleure formation au monde, en partenariat avec des universités et des organisations du plus haut niveau, pour proposer des cours en ligne.

© 2018 Coursera Inc. Tous droits réservés.

Télécharger dans l'App Store

Disponible sur Google Play