[МУЗЫКА] Теперь давайте обсудим,
как еще могут выглядеть интегралы, для которых работает метод перевала.
Давайте сделаем подзаголовок.
Кратко я напишу: когда еще работает метод перевала?
[ШУМ]
[ШУМ] Первый случай,
который стоит упомянуть — это когда интеграл имеет обычный вид,
просто с какой-то подинтегральной функцией, без экспоненты.
Ведь, конечно, то, что мы написали — экспоненту,
а в ней функция, это условно, любую функцию можно так переписать.
Вот в этом случае мы тоже можем написать, что это интеграл, экспоненту ввести явно,
написав в показателе ln g(t), интеграл по dt.
То есть, конечно, любую функцию можно привести вот к такому виду,
где что-то стоит в экспоненте.
А тут проблема просто в том, что то, что стоит в экспоненте,
должно иметь резкий максимум, как мы уже с вами обсудили.
А если у нас какая-то обычная функция g, не слишком быстро меняющаяся,
то сделать так, чтобы логарифм ее имел резкий максимум, очень трудно.
Дело в том, что логарифм сам по себе — это функция очень медленная.
Иногда про него в шутку говорят, что это вообще не функция, а константа.
Поэтому, значит, в принципе надо иметь в виду, что такое может быть,
но для этого требуется некоторая особая быстрота изменения от функции g.
Но, в общем, если вы не видите экспоненты, это еще не значит,
что метод перевала не работает.
И мы чуть позже, кстати, обсудим пример, в котором есть часть неэкспоненциальная
и которая тем не менее хорошо берется методом перевала.
Теперь второй пример — тоже такой довольно прямолинейный и простой.
Это случай, когда у нас есть наша экспонента в степени f(t) dt,
но интеграл не по всей оси, а например от 0 до ∞.
Этот случай тоже довольно легко проанализировать — мы можем
обратиться вновь к нашей картинке.
Вот нарисована функция, которую мы интегрируем.
И ограничение интегрирования только на положительную ось означает,
что мы пренебрегаем вот этим вот хвостом функции.
И это будет справедливо тогда, когда вклад вот этого хвоста мал.
То есть для этого нужно, чтобы при отходе от точки
максимума до 0 у нас уже функция сильно затухла.
А это затухание определяется чем?
У нас в экспоненте стоит
f''(t0), и умножается она на Δt².
Вот давайте мы теперь возьмем вот такое вот Δt, возведем в квадрат.
[ШУМ] Точнее,
надо сказать, что Δt в нашем случае будет как раз равно t0.
То есть я сейчас вот о чем говорю — я говорю, что мы от максимума отошли до 0,
то есть на расстояние t0, и при этом тот показатель,
с помощью которого подавляется экспонента — это будет по порядку
величины f'' × t0².
Так вот, если эта величина
>> 1, то тогда у нас функция
уже сильно подавлена и вклад от хвоста будет мал.
Тогда вот для такого интеграла от 0 до ∞ будет работать
ровно та же самая формула перевала.
Хорошо, теперь третий
случай — это когда у нас есть предэкспонента.
То есть у нас есть интеграл,
будем сейчас считать, что он по всей вещественной оси.
Есть наша экспонента, к которой мы уже привыкли.
Но, кроме того, есть что-то перед экспонентой — g(t).
И вот такой интеграл будет работать,
если g(t) — это медленная функция.
В окрестности t0 она должна быть медленной,
то есть при t примерно равных t0.
Что это тогда означает?
Давайте мы на картинке попробуем нарисовать.
Значит, у нас есть вот этот вот наш гауссов колокол,
а на фоне его какая-то функция — вот я ее так условно нарисую.
Вот она как-то меняется.
Я нарисовал намеренно такое довольно медленное изменение.
Что мы можем сделать?
Мы можем тогда просто-напросто сказать,
что нам достаточно взять g в точке максимума, то есть в точке t0.
Тогда я напишу, что это примерно g(t0)
на тот интеграл, с которым мы уже знаем, как обращаться.
Вот.
Что еще тут можно добавить, прокомментировать?
Можно сказать, что если мы захотим тем не менее проанализировать,
чем мы пренебрегли, то нам надо тогда g(t) разложить и сказать,
что g(t) это есть g(t0) — это то,
что мы учли — + g'(t0) × отклонение Δt.
Но обратите внимание, что, как уже случалось,
у нас есть наша подинтегральная функция, которая четная по Δt,
а здесь мы написали множитель, который не четный по Δt.
Поэтому вклад вот этого не возникнет из-за нечетности,
а тот вклад, который будет и которым мы пренебрегли — это вклад второго
порядка: + g'' (t0) / 2 × Δt².
Вот этим мы действительно пренебрегли,
и условие малости этого вклада — это и есть условие медленности функций g(t).
Эти несколько примеров были такие довольно тривиальные,
а вот более содержательный пример следующий.
Давайте мы рассмотрим функцию, которая интеграл, которая зависит от параметра.
Вот параметр x, который входит следующим образом: у нас есть интеграл по всей оси,
а в экспоненте стоит некоторая новая функция,
которую я обозначу f с тильдой (t).
И она умножается на наш параметр x, интегрирование ведется по t.
Дело в том, что если у
функции f с тильдой есть хоть какой-то максимум, то он не обязан быть резким.
Если мы будем смотреть x, который очень большой,
стремится к бесконечности,
то тогда большой x сделает резким любой максимум у функции f с тильдой.
То есть в данном случае для применимости метода перевала нам достаточно,
чтобы функция f с тильдой имела хоть какой-то максимум.
Большой x сделает его резким.
Давайте в этом убедимся, давайте мы просто посмотрим условие применимости
и запишем их с учетом того, что в данном случае стоит в экспоненте.
Мы будем смотреть даже не однопараметрический случай,
а просто вот даже самые общие формулы.
Давайте напишем первую из них — нам надо взять производную третьего порядка.
И наша функция f в данном случае, f(t) —
это есть x × f с тильдой (t).
Вот для такой функции мы все и должны написать.
Тогда мы пишем что?
Мы пишем из числителя возникнет x², из знаменателя возникнет x³.
Вот здесь квадрат, здесь куб.
x входит сюда и сюда, поэтому будет 1 / x, а остальная структура
будет ровно такая же, как и была, только будет стоять везде f с тильдой.
Давайте я короче напишу, не записывая
аргумент — тут и так все понятно, я надеюсь.
|f''|, значит, сверху в квадрате, снизу в кубе.
Вот это вот должно быть << 1.
А второе условие: из числителя вылезает x,
из знаменателя x², поэтому опять же множитель — 1 / x.
А остальное все — то же самое, только с тильдой: f с тильдой четвертая
производная и вторая производная в квадрате.
Вот это должно быть много меньше 1.
Таким образом, смотрите, что получается.
Независимо от того, какой порядок имеет вот эта вот комбинация с тильдой,
наличие множителя 1 / x при x, стремящемся к ∞, сделает эту величину маленькой.
Вот и стоит за словами о том, что большой параметр x делает резким любой максимум.
Насколько большим должен быть x — вот тут я написал,
что x стремится к ∞, но можно сформулировать условие точнее.
Вот оно, собственно, следует отсюда: если мы x перенесем в правую сторону,
мы увидим, больше чего должен быть x, чтобы метод перевала стал работать.
И тогда будет работать обычная формула метода перевала.
Давайте мы ее запишем.
Просто там надо будет все записать через величину с тильдой.
Значит, I ≈ √2π,
внизу будет стоять x × |f''|
с тильдой два штриха (t0).
И в экспоненте будет x f с тильдой (t0).
И, наконец, последний — пятый случай,
который я хотел бы упомянуть, когда метод перевала может работать.
Это случай, когда есть несколько максимумов.
[ШУМ] Не
один-единственный максимум t0,
а t1, t2 и так далее.
Тогда надо просто брать сумму по этим максимумам.
Давайте нарисуем картинку.
Значит, это ситуация, когда у нас есть несколько точек,
и я рисую поведение,
скажем, f (t) вблизи этих точек.
Вот есть точка t1, t2 и так далее,
и вот у меня есть здесь максимум, и я заменил поведение функции на параболу.
Здесь максимум — я тоже заменил поведение функции на параболу.
Надо только, чтобы эти максимумы были достаточно далеко друг от друга,
то есть чтобы они отстояли друг от друга на величину,
больше чем вот эта вот ширина Δt.
То есть если это максимумы, которые достаточно далеко друг от друга,
далеко разнесены, то вблизи каждого
интегрирование можно распространить по всей оси.
Еще раз: интеграл сходится на масштабе Δt,
но если следующий максимум дальше, чем это Δt, то мы можем написать,
что интеграл по всей оси — это не сильно испортит результат.
Поэтому в этом случае наше I будет
просто = ∑ по i,
и для каждого i мы должны написать вот обычный результат метода перевала.
Здесь будет стоять √2π / f''(ti)
e в степени f(ti).
Вот такие примеры, когда еще может работать метод перевала,
но интеграл выглядит или имеет свойства немножечко отличающиеся от тех,
которые мы обсудили с самого начала.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
