[МУЗЫКА] Теперь
мы рассмотрим второй пример применения того
же метода — выделение наиболее важной части области интегрирования в интеграле.
Для этого мы посмотрим на интеграл,
определенный следующим образом.
Это интеграл от 0 до x e в степени
t² /
√x² − t² dt.
Опять же мы рассмотрим этот интеграл
при малых и больших x.
Если x мал,
то вся экспонента вот здесь в главном
приближении мало отличается от 1,
и мы ее просто на 1 заменяем и после чего
тривиальным образом вычисляем интеграл
в этой области.
Он оказывается
равным — этот
I(x) ≈ π
/ 2.
Несколько похитрее обстоит дело
в обратном случае, когда x
>> 1.
Подинтегральное выражение при больших x быстро растет.
Вот это, здесь стоит функция e в степени t².
Понятно, что она быстро растет с увеличением t,
и если x велико, то очевидно,
что главный вклад в этот интеграл возникает
от окрестности точки x — от
окрестности точки, где t близко к своему максимальному значению.
Для аккуратного учета именно этой области удобно
ввести новую переменную — обозначим ее ξ,
которая равна x − t.
И через эту переменную запишем наш интеграл
в следующем виде: I(x) = —
интеграл по-прежнему
от 0 до x.
Под интегралом стоит экспонента
x² − 2x ×
ξ + ξ² в экспоненте.
А, кроме того, dξ /
√2xξ −
ξ².
Здесь, в подинтегральном выражении,
имеются сомножители e в степени x²,
которые от переменной интегрирования — она у нас теперь ξ — вообще не зависят,
и он может быть вынесен из-под интеграла.
Далее, от ξ зависят два других члена в экспоненте,
и, кроме того, то, что у нас стоит здесь в знаменателе.
Далее рассуждение следующее: x велико, поэтому главный
вклад в интеграл по ξ определяется областью,
когда вот этот член 2x × ξ меньше или порядка 1.
Когда он становится больше 1, то экспоненциальная функция быстро убывает.
Это означает, что переменная ξ меняется — фактически
нам интересно ее изменение в области от 0 до чего-то порядка 1 / x.
Вот мы это здесь запишем.
Нам нужно ξ меньше или порядка
1 / x.
В таком случае мы можем упростить подинтегральное
выражение и записать — да,
при этом еще полезно ввести новое обозначение,
вот такое: z = 2 x × ξ.
Введя это обозначение,
мы можем наш искомый интеграл привести
к виду:
e в степени x² у нас теперь снаружи.
Под интегралом от 0
до [ШУМ]
x e в
степени −2xξd
ξ / √2ξx — это
я еще сохранил здесь переменную x,
а на следующем шаге я перехожу к интегрированию по переменной z,
которая вот здесь определена.
Получаю: e в степени x²
/ 2x,
и теперь интеграл идет от 0
до 2x² e в степени −z
dz /
√z.
И, наконец,
последний шаг — мы видим, что у нас подинтегральное
выражение при больших значениях аргумента z быстро убывает.
Величина x у нас большая,
поэтому в этом интеграле верхний предел можно заменить на ∞,
сделав маленькую, экспоненциально маленькую ошибку.
И тогда этот интеграл с пределом
до ∞ — это уже знакомый нам из предыдущего отрывка
лекции гауссов интеграл.
Поэтому мы можем получить, написать сразу
ответ в виде: это ≈ e
в степени x² / 2x,
и еще √π.
По дороге
было проделано устно преобразование,
которое я сейчас еще напишу здесь отдельно на доске,
а именно я сказал, что можно заменить верхний предел на
бесконечность, после чего мы получаем
∫ e − z dz / √z.
И, сделав еще одну подстановку
— на этот раз подстановку
вида z = y²,
— мы получаем
отсюда интеграл
от 0 до ∞ e в степени
−y² — еще двойка
— d y.
А это как раз наш гауссов интеграл,
равный √π.
Таким образом, мы приходим вот к этому результату.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]