Дельта-функция Дирака - 3

Loading...

En provenance du cours de National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 notes

National Research University Higher School of Economics

Введение в математические методы физики

6 notes

Цель курса - дать слушателям начальные представления и навыки обращения с приближенными аналитическими вычислениями. Такие методы широко используются в практической работе физиков, но почти не излагаются в регулярных лекционных курсах, что препятствует включению студентов в исследовательский процесс. Большинство лекций также содержат в себе семинарскую часть с разбором задач. Важная часть курса – полноценные задачи для самостоятельного решения с целью закрепления практических навыков применения излагаемых методов вычислений. Предполагается, что слушатели знакомы с основами стандартных математических курсов: математического анализа, линейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений.

À partir de la leçon

Оценка интегралов от быстро меняющихся и быстро осциллирующих функций

В этом модуле Вы познакомитесь с методами приближенного и точного вычисления интегралов от быстро меняющихся функций. Такие функции могут иметь четко выраженные пики или же сильно колебаться от отрицательных значений к положительным. Вы научитесь аккуратно учитывать эти особенности при анализе интегралов. Кроме того, Вы научитесь работать с дельта-функцией Дирака, которая повсеместно возникает в приложениях. В конце модуля Вас ждет контрольный тест.

Интегральная экспонента6:27

Дельта-функция Дирака - 15:23

Дельта-функция Дирака - 26:24

Дельта-функция Дирака - 35:30

Rencontrer les enseignants

Фоминов Яков Викторович
Доцент
Факультета физики НИУ ВШЭ
Фейгельман Михаил Викторович
Главный научный сотрудник
Международная лаборатория физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ
Колоколов Игорь Валентинович
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Бурмистров Игорь Сергеевич
Профессор
Факультет физики НИУ ВШЭ
Скворцов Михаил Андреевич
Профессор
Сколковский институт науки и технологий

[МУЗЫКА] Пример,

который мы с вами только что рассматривали, весьма поучителен.

И давайте ещё немножко проговорим про функцию, которую мы только что изучали.

Рассмотрим следующую функцию, которую я определю как следующий предел.

δ от x равняется предел, когда a стремится к нулю один

поделить на π a поделить на a квадрат плюс x квадрат.

Вот это самая функция и называется δ-функцией Дирака.

Дельта-функция Дирака.

[СКРИП] В

строгом математическом смысле она является не обычной функцией, а обобщённой.

Но если думать про неё как предел, то с ней можно работать, и, в частности,

вот то, что мы с вами только что обсуждали, означает следующее условие,

следующее соотношение, которым эта функция удовлетворяет.

Рассмотрим интеграл от минус до плюс бесконечности dx δ от x на f от x.

Такой интеграл равняется f от нуля.

В частности, отсюда следует следующее простое соотношение,

что интеграл от самой функции

Дирака от минус до плюс бесконечности равен единице.

Функция Дирака устроена любопытным образом,

обратите внимание, что значение этой функции в точке x,

равное нулю, равняется бесконечности, как видно из этого предела.

Если мы положим x, равное нулю, то получем предел от один поделить на a,

и это бесконечность.

В то же самое время значение этой функции во всех остальных точках,

когда x не равен нулю, равно нулю, потому что, если x не равен нулю,

то тогда выигрывает числитель всегда.

И берём предел от a при a, стремящемся к нулю, и это ноль.

Давайте попробуем доказать вот это соотношение.

Делается оно, доказательство, совершенно элементарно.

Напишем, что интеграл от минус до плюс бесконечности

dx δ от x f от x это есть предел,

когда a стремится к нулю, один на π интеграл

от минус до плюс бесконечности dx a a в

квадрате плюс x в квадрате f от x.

Сделаем замену переменных, мы её уже делали, x равно ay.

Тогда получим предел, когда a стремится к нулю,

один на π интеграл от минус до плюс бесконечности

dy поделить на один плюс y в квадрате f на ay.

И теперь возьмём предел при a, стремящемся к нулю.

Соответственно, при этом пределе аргумент этой функции перейдёт в ноль,

а оставшийся интеграл, мы его уже сегодня обсуждали,

это стандартный интеграл, он равен π.

И в итоге мы получим тот ответ,

который и должны, что значение этого интеграла равно f от нуля.

Ещё имеется следующее полезное соотношение для δ-функции Дирака,

а именно, предположим, что у нас есть некая функция g от x,

которая в точке x ноль обращается в ноль.

Тогда δ от g от

x равняется один поделить

на модуль производной функции g в точке x,

равное нулю, на δ-функцию от x минус x ноль.

При этом считается, что x ноль — это ноль первого порядка функции g.

δ-функция Дирака весьма часто встречается

в различных физических задачах и имеет, на самом деле, разные представления.

Одно из них мы сегодня обсудили в виде предела вот такой,

как говорят, функции типа Лоренца.

Но, вообще говоря, можно придумать ещё несколько представлений в виде предела для

δ-функции Дирака.

[МУЗЫКА]

[МУЗЫКА]

Explorer notre catalogue

Rejoignez-nous gratuitement et obtenez des recommendations, des mises à jour et des offres personnalisées.

Coursera propose un accès universel à la meilleure formation au monde, en partenariat avec des universités et des organisations du plus haut niveau, pour proposer des cours en ligne.

© 2018 Coursera Inc. Tous droits réservés.

Télécharger dans l'App Store

Disponible sur Google Play