[МУЗЫКА] Пример,
который мы с вами только что рассматривали, весьма поучителен.
И давайте ещё немножко проговорим про функцию, которую мы только что изучали.
Рассмотрим следующую функцию, которую я определю как следующий предел.
δ от x равняется предел, когда a стремится к нулю один
поделить на π a поделить на a квадрат плюс x квадрат.
Вот это самая функция и называется δ-функцией Дирака.
Дельта-функция Дирака.
[СКРИП] В
строгом математическом смысле она является не обычной функцией, а обобщённой.
Но если думать про неё как предел, то с ней можно работать, и, в частности,
вот то, что мы с вами только что обсуждали, означает следующее условие,
следующее соотношение, которым эта функция удовлетворяет.
Рассмотрим интеграл от минус до плюс бесконечности dx δ от x на f от x.
Такой интеграл равняется f от нуля.
В частности, отсюда следует следующее простое соотношение,
что интеграл от самой функции
Дирака от минус до плюс бесконечности равен единице.
Функция Дирака устроена любопытным образом,
обратите внимание, что значение этой функции в точке x,
равное нулю, равняется бесконечности, как видно из этого предела.
Если мы положим x, равное нулю, то получем предел от один поделить на a,
и это бесконечность.
В то же самое время значение этой функции во всех остальных точках,
когда x не равен нулю, равно нулю, потому что, если x не равен нулю,
то тогда выигрывает числитель всегда.
И берём предел от a при a, стремящемся к нулю, и это ноль.
Давайте попробуем доказать вот это соотношение.
Делается оно, доказательство, совершенно элементарно.
Напишем, что интеграл от минус до плюс бесконечности
dx δ от x f от x это есть предел,
когда a стремится к нулю, один на π интеграл
от минус до плюс бесконечности dx a a в
квадрате плюс x в квадрате f от x.
Сделаем замену переменных, мы её уже делали, x равно ay.
Тогда получим предел, когда a стремится к нулю,
один на π интеграл от минус до плюс бесконечности
dy поделить на один плюс y в квадрате f на ay.
И теперь возьмём предел при a, стремящемся к нулю.
Соответственно, при этом пределе аргумент этой функции перейдёт в ноль,
а оставшийся интеграл, мы его уже сегодня обсуждали,
это стандартный интеграл, он равен π.
И в итоге мы получим тот ответ,
который и должны, что значение этого интеграла равно f от нуля.
Ещё имеется следующее полезное соотношение для δ-функции Дирака,
а именно, предположим, что у нас есть некая функция g от x,
которая в точке x ноль обращается в ноль.
Тогда δ от g от
x равняется один поделить
на модуль производной функции g в точке x,
равное нулю, на δ-функцию от x минус x ноль.
При этом считается, что x ноль — это ноль первого порядка функции g.
δ-функция Дирака весьма часто встречается
в различных физических задачах и имеет, на самом деле, разные представления.
Одно из них мы сегодня обсудили в виде предела вот такой,
как говорят, функции типа Лоренца.
Но, вообще говоря, можно придумать ещё несколько представлений в виде предела для
δ-функции Дирака.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]