Hola. Ya hemos estado definiendo características de segmentos, cuyas coordenadas de sus extremos se conozcan previamente. Ahora vamos a utilizar estas coordenadas para encontrar puntos que lo dividen en partes iguales. Se pueden considerar como puntos especiales a los puntos que lo dividen en una razón dada o el caso particular del punto medio. Para introducir esta parte, conviene hablar del término "razón". Una razón es el resultado de comparar 2 cantidades entre sí, o bien el cociente de dividir 2 términos, uno entre el que le precede. Cuando decimos que un vehículo viaja a una velocidad de 50 kilómetros por hora, existe una razón de kilómetros y de horas que se denota como un cociente, y 50 es un valor que se obtiene en esta relación. Si se tiene que recorrer una distancia de Z metros en un tiempo de 10 segundos, la razón que se tiene es de distancia y tiempo. En física sabemos que esto es la rapidez, la cual se expresa como velocidad V igual a Z entre t. Ejemplo: si en una frase se nos dice que existe una razón de tres cuartos, esto se representa matemáticamente como r igual a tres cuartos. En general, sean a y b 2 valores cualesquiera que pertenecen a los números reales, la razón de a a b se expresa como a entre b, o como a: b. Punto de división de un segmento de recta. Si C1 x1 y1 y C2 x2 y2 son los extremos de un segmento, y además C(x,y) es un punto que permite dividir a un segmento en una razón dada por el cociente de r igual a la distancia de C1 a C entre la distancia de C a C2. Se pueden determinar estas coordenadas como x igual a x1 más rx2 entre 1 más r, y y igual a y1 más r por y2 entre 1 más r, donde r es distinta de menos 1. Y en caso de que r sea negativa, el punto estaría en la prolongación del segmento en cualquiera de sus 2 sentidos, pero fuera de este. Ahora realicemos el siguiente ejemplo. Dados los extremos de un segmento E ( menos 1, 6) y F (3, menos 3), realiza el siguiente ejercicio. Inciso a: determina las coordenadas del punto G que divide este segmento en una razón r igual a tres cuartos. Inciso b: realiza la gráfica localizando los puntos E, F y G. Inciso c: obtén las longitudes de E a G y la longitud de G a F y realiza el cociente entre ellas para comprobar que se trata de una razón de tres cuartos. La solución para el inciso a se realiza de la siguiente manera. El punto E es la coordenada (menos 1, 6) y el punto F es la coordenada (3, menos 3). Asignaremos que (x1, y1) sea el punto E, y (x2, y2) sea el punto F. Ahora, para hallar las coordenadas de G (x, y), sustituimos en las fórmulas de x1 más rx2 entre 1 más r. Estos valores de x1 y x2 sería el cociente de menos 1 más tres cuartos por 3 entre 1 más tres cuartos, que simplificando nos da el valor de cinco séptimos. Lo mismo para la coordenada y: sustituir en la fórmula y1 más ry2 entre 1 más r igual a y1 que es 6 más tres cuartos por menos 3 entre 1 más tres cuartos, que simplificando nos da el valor de quince séptimos. Por tanto, la coordenada del punto que lo divide en una razón de tres cuartos es (cinco céntimos, quince séptimos). Para el ejercicio b, únicamente hay que trazar el segmento localizando las coordenadas del punto E, que son (menos 1, 6), y F que es (3, menos 3). Aproximadamente que pase por aquí. Localizamos también el punto que acabamos de encontrar de (cinco séptimos, quince séptimos), que aproximadamente nos da (0,71, 2,14). Entonces, lo estamos localizando a la derecha 0,71 y 2,14, aproximadamente ahí el punto G, y el punto F. Para el inciso c, lo que se necesitaría es poner que las coordenadas del punto E (menos 1, 6) sean (x1, y1), y que la coordenada del punto G es (cinco séptimos, quince séptimos) como (x2, y2). Sustituimos en la formula de la distancia de E a G como la raíz cuadrada de cinco séptimos menos menos 1 al cuadrado más quince séptimos menos 6 al cuadrado, que simplificando, nos puede dar la raíz cuadrada de doce séptimos al cuadrado, más menos veintisiete séptimos al cuadrado. Realizando este cálculo en una calculadora nos da el valor de 4,22. De la misma manera, haríamos la distancia de G a F, dando G, que es (cinco séptimos, quince séptimos) como la asignación de (x1, y1), y F que es el punto (3, menos 3) como (x2, y2). La sustitución en la fórmula para la distancia de G a F sería la raíz cuadrada de 3 menos cinco séptimos al cuadrado más menos 3 menos quince séptimos al cuadrado, que simplificando un poco, se obtendría la raíz cuadrada de dieciséis séptimos al cuadrado más menos treinta y seis séptimos al cuadrado. Realizando el cálculo en una calculadora obtendríamos el valor de 5,63 unidades. Ya tenemos estas 2 distancias, ahora lo que necesitamos realizar es el cociente de la distancia de E a G entre la distancia de G a F. Sustituimos 4,22 entre 5,63 que aproximadamente nos da 0,75, que equivale a tres cuartos, que sí se estaría comprobando una razón de tres cuartos a la que está dividido el segmento por el punto G.
