Donc, dans la dernière partie de ce premier cours, nous allons découvrir les fonctions de classe C infini à support compact qui vont constituer la bride de base pour construire la théorie des distributions. Et nous allons notamment découvrir comment on en construit, et à quoi elles servent. Alors, d'abord, pour construire de telles fonctions, des fonctions de classe C infini à support compact, on va commencer par considérer la fonction grand E de R dans R qui est définie par les formules suivantes : E de x égal zéro, si x est positif ou nul, et E de x égal exponentielle de un sur x pour x strictement négatif. Alors, il est évident que pour x négatif, et pour n supérieur ou égal à un, si on considère la dérivée n-ième de E, cette dérivée n-ième se met sous la forme E n de x, égale Pn de un sur x, E de x, où Pn est une fonction polynôme qui est définie par les relations de récurrence Pn de X égale moins X carré facteur deux, Pn moins un de x plus P prime n moins un de X, et la récurrence est initialisée par le fait que P zéro de X est le polynôme unité. Polynôme P zéro de X égal à un. Alors, le support de E est évidemment R moins, et de plus, E est de classe C inifini sur R, car les dérivées de tous ordres se raccordent en zéro. Puisque on voit que la limite de En de x, pour x tendant vers zéro par valeur négative, est égale à zéro pour tout n supérieur ou égal à un. Car pour x tendant vers zéro par valeur négative, l'exponentielle de un sur x écrase toutes les fonctions polynômes en un sur x. Donc, on a construit, ainsi, une fonction de classe C infini sur R à support dans R moins. Et voici le graphe de cette fonction au voisinage de zéro, avec un zoom sur le raccord C infinie, et près de zéro, à droite de l'écran. Une fois qu'on a construit cette fonction grand E qui est classe C infini à support dans R moins, il est très simple de construire des fonctions de classe C infini à support compact dans RN. Alors, on va construire, par exemple, une fonction de classe C infini sur RN, à support contenu dans la boule unité de RN, de la manière suivante. Si je note norme de x, racine carrée de x un au carré, plus et cetera, plus xN au carré, à savoir, la norme euclidienne, pour la structure euclidienne canonique de RN. Et bien, lorsque je considère la fonction grand H qui à x, associe E de norme de x au carré, moins un, cette fonction est de classe C infini sur RN comme composée de la fonction E qui est de classe C infini sur R. Et de la fonction qui, à x, associe norme de x au carré moins un qui est de classe C infini sur RN. Elle est à support dans la boule fermée de centre zéro, et de rayon un car E est à support dans R moins. Et on a construit, donc, ainsi, une fonction de classe C infini à support compact dans RN. Le compact, en l'occurence, étant la boule fermée de centre zéro et de rayon un. Alors, dans toute la suite, étant donné oméga, un ouvert de RN, on notera toujours C infini, indice C de oméga, l'ensemble des fonctions de classe C infini sur oméga, à support compact dans RN, support qui est inclus dans oméga. Alors, maintenant qu'on a construit des exemples de fonctions de classe C infini à support compact, on va essayer de comprendre comment ces fonctions de classe C infini à support compact servent pour notre objectif. À savoir, écrire qu'une fonction qui n'est même pas dérivable peut être solution d'une équation aux dérivées partielles. En effet, grâce aux fonctions de classe C infini au support compact, on va voir comment formuler le fait qu'une fonction de classe C un, est solution d'une EDP, mais sans jamais à avoir à écrire les dérivées partielles de f. C'est grâce à ce procédé, qu'on pourra ensuite écrire que une fonction est solution d'une équation à dérivée partielle, sans que cette fonction soit elle-même dérivable. Alors, on va voir comment on réalise cet objectif sur l'exemple de l'équation de transport. Soit donc, v, un réel différent de zéro, et une fonction petit f qui est de classe C un, sur R plus étoile, croix R, solution de l'équation de transport en dimension un. d rond f sur d rond t, plus v d rond f, sur d rond x égal à zéro, pour x dans R, et t strictement positif. Alors, l'idée clef, pour réaliser notre objectif, consiste à faire la manipulation suivante. Je prends une fonction phi de classe C infini à support compact sur R plus étoile, croix R quelconque, et je vais multiplier par phi, chaque membre de l'EDP satisfaite par f, et je vais intégrer les expressions ainsi obtenues sur R plus étoile croix R. Alors, d'abord, comme phi est une fonction de classe C infini à support compact, sur R plus étoile, croix R. Eh bien forcément, il existe un réel grand R, assez grand, plus grand que un, tel que le support de phi va être contenu dans le pavé ouvert, un sur R, R, produit cartésien avec moins R, R. Ainsi, eh bien on voit que l'intégrale sur zéro l'infini, de l'intégrale de moins l'infini à l'infini, de fi fois d rond f sur d rond t, plus v d rond f sur d rond x, dxdt. Quantité qui vaut zéro, parce que d rond t f, plus v d rond x f égal zéro, puisque f est solution de l'équation de transport. Cette intégrale est égale à la même intégrale sur le pavé ouvert. C'est-à-dire l'intégrale de un sur R à R, de l'intégrale de moins R à R, de phi, fois d rond f sur d rond t, plus v, d rond f, sur d rond x, de t et de x, dxdt. Maintenant, je vais séparer les deux termes de la somme mise en jeu dans l'équation de transport. Et dans le premier terme qui fait intervenir la dérivée en temps de f, je commence par intégrer en temps, en appliquant le théorème de Fubini. Donc, j'obtiens l'intégrale de moins R à R, de l'intégrale de un sur R, de phi de t et de x, d rond f sur d rond t, de t et de x, dt. Chose que j'intègre ensuite en x. Plus l'intégrale de un sur R à R, de l'intégrale de moins R à R, de phi de t et de x, v d rond f sur d rond x, de t et de x, dx, chose que j'intègre par rapport à la variable t. Puis, comme phi est nulle sur le bord du pavé, un sur R, croix moins R, R. Et bien, on peut trouver, en intégrant par parties, les intégrales internes, dans les deux expressions précédentes, que l'intégrale de un sur R à R de phi de t et de x, d rond f sur d rond t de t et de x, dt est égale à moins l'intégrale de un sur R à R, de f, d rond phi sur d rond t, de t et de x, dt. Les termes de bords disparaissent, puisque comme je viens de le dire, phi est nulle sur le bord du pavé un sur R, croix, moins R, R. Donc, en particulier, phi est nulle identiquement pour t, égal un sur R, et pour t égal grand R. De la même manière, l'intégrale de moins R à R, de phi v d rond f, sur d rond x, dx, est égale à moins l'intégrale de moins R à R, de f, v d rond phi, sur d rond x, dx, pour la même raison. Car phi est identiquement nulle sur x égale moins R, et x égale plus R. En revenant aux formules précédentes, on trouve donc, que pour tout phi de classe C infini de support compact sur R plus étoile, croix R, l'intégrale de zéro à l'infini, l'intégrale de moins l'infini à l'infini de f de t et de x, d rond phi sur d rond t, plus v d rond phi sur d rond x, dx dt est égale à moins l'intégrale de zéro à l'infini, l'intégrale de moins à l'infini, à l'inifini de phi de t,x, d rond f sur d rond t, plus v, d rond f sur d rond x, de t et de x, dx dt. Chose qui est égale à zéro, car dans l'intégrande j'ai le facteur d rond f sur d rond t, et plus v, d rond f sur d rond x qui est égal à zéro, puisque f est solution de l'équation de transport. Bien, réciproquement, si je prends une fonction f qui est de classe C un sur R plus étoile, croix R, et que je suppose que pour tout phi de classe C infini à support compact sur R plus étoile, croix R. On a somme de zéro à l'infini, et de somme de moins à l'infini à l'infini de f, d rond phi sur d rond t, plus v, d rond phi sur d rond x, intégrée en x et en t qui est égale à zéro. Alors, les mêmes intégrations par parties que ci-dessus montrent que si je considère la fonction S qui est définie comme étant d rond f sur d rond t, plus v, d rond f sur d rond x. Et bien, cette fonction est continue sur R plus étoile, croix R, puisque f est de classe C un sur ce domaine. Et d'autre part, elle vérifie, pour tout phi de classe C infini à support compact sur R plus étoile, croix R, l'identité somme de zéro à l'infini, de somme de moins l'infini à l'infini, de S de t et de x, phi de t et de x, dxdt, est égale à moins l'intégrale de zéro à l'infini, l'intégrale de moins l'infini à l'infini de f, d rond phi sur d rond t. Plus v d rond phi sur d rond x dxdt qui vaut zéro par hypothèse. Or ceci entraîne que S est identiquement nulle sur R plus étoile croix R par le petit argument d’intégration bien classique et rappelé dans le lemme suivant. Alors voilà, si je prends un ouvert de Rn oméga, et si je considère une fonction S continue sur oméga dont l’intégrale sur oméga contre n'importe quelle fonction phi, de classe C infini à support compact dont oméga est nulle, et bien forcément S est identiquement nulle sur oméga. Alors voilà la démonstration, qui est très simple, si S n’était pas identiquement nulle sur oméga, il existerait un point x zéro de oméga tel que S de x zéro serait différent de zéro. Alors supposons pour fixer les idées que S de x zéro est strictement positif, par continuité de S il existerait donc un epsilon strictement positif tel que d'une part la boule fermée de centre x zéro et de rayon epsilon soit incluse dans oméga, puisque oméga est ouvert, et d'autre part par continuité de S, S resterait strictement positif sur la boule fermée de centre x zéro et de rayon epsilon. Bon, on a construit une fonction H de classe C infini sur Rn qui est à support compact dans la boule unité de Rn et qui est strictement positive sur cette boule unité. Donc par hypothèse si je considère la fonction H de x moins x zéro sur epsilon, c'est une fonction qui est de classe C infini sur Rn, qui sera à support compact dans la boule de centre x zéro et de rayon epsilon et par conséquent si j’intègre cette fonction contre S de x dx et bien je dois trouver zéro. Evidemment cette intégrale coïncide avec l’intégrale sur la boule de centre x zéro et de rayon epsilon, puisque H est nulle en dehors de ladite boule. Et par conséquent, je trouve que cette quantité, l’intégrale de H de x moins x zéro sur epsilon fois S de x dx sur la petite boule centrée un x zéro et de rayon epsilon est nulle, mais ceci contredit le fait que l'intégrante, à savoir H de x moins x zéro sur epsilon fois S de x, est strictement positive pour tout x appartenant à la boule de centre x zéro et de rayon epsilon par la construction de cette boule expliquée ci-dessus. Donc comme il y a une contradiction ça veut dire que l’hypothèse dont on est parti, à savoir que S de x zéro est non-nulle, n'est pas possible. Donc S est identiquement nulle sur oméga. Donc, si on résume ce à quoi on est abouti après cette démonstration, eh bien on arrive à la proposition suivante, à savoir que si on prend une fonction f qui est de classe C1 sur R plus étoile croix R, il y a équivalence entre le fait que cette fonction de classe C1 vérifie l’équation de transport d'R moins f sur d rond t plus v d rond R sur d rond x sur R plus étoile croix R d'une part, et d'autre part le fait que pour tout phi de classe C infini à support compact sur R plus étoile croix R, l’intégrale double sur zéro l'infini croix R de f fois d rond phi sur d rond t plus V d rond phi sur d rond x est égale à zéro. Cette seconde formulation sera appelée "formulation faible" de l'équation de transport et on observe qu'elle ne met en jeu aucune dérivée partielle de f. Contrairement à la formulation classique notée (T) de l’équation de transport, la formulation faible notée (TF) garde donc bien un sens pour une fonction f non dérivable, mais disons seulement localement intégrable sur R plus étoile croix R. L’idée clef permettant de parler de solution non dérivable de l’équation de transport, sans utiliser la formule explicite fournie par la méthode des caractéristiques, consiste donc à remplacer la fonction définie par l'expression différentielle d rond f sur d rond t plus v d rond f sur d rond x par la forme linéaire qui a une fonction phi de classe C infini à support compact sur R plus étoile croix R associe le nombre moins somme de zéro à l’infini de somme de moins l'infini à l'infini de f d rond fie sur d rond t plus v d rond phi sur d rond x dxdt et on voit que dans cette forme linéaire, ou dans l'expression qui la définit, toutes les dérivées portent sur la fonction phi, qui est supposée de classe C infini à support compact, et pas sur f. Cette idée, de remplacer cette fonction par la forme linéaire que nous venons d’écrire, est à la base du calcul des distributions, et c'est cette idée que nous allons mettre en oeuvre dans la suite de ce cours.
