Alors dans la deuxième partie de ce cours,

nous allons définir la dérivation des distributions.

Evidemment, c’est vraiment le cœur de la

théorie puisque le calcul des distributions, comme nous

l’avons dit, c’est un calcul différentiel généralisé qui

va permettre de dériver systématiquement toutes les fonctions

et même toutes les distributions sans jamais avoir à

vérifier que les objets que l’on dérive sont dérivables.

Tous les objets, toutes les distributions, auront des

dérivées de manière naturelle, comme on va le voir.

Plus généralement, on va chercher à définir,

sur les distributions, les mêmes opérations que

sur les fonctions, au-delà de la dérivation,

il y aura bien sûr l’addition, la multiplication

dans certaines conditions, le changement de variables, plus d'autres

opérations que nous découvrirons dans la suite de ce cours.

Dans le cadre de l’analyse des fonctions, toutes ces

opérations ont des propriétés de continuité qui sont bien connues.

Et ces propriétés de continuité sont évidemment essentielles en analyse.

Et donc, avant de définir les opérations sur les distributions

qui sont analogues aux opérations connues dans le cadre des fonctions, il

est naturel de commencer par définir la convergence des suites de distributions.

Et cette notion de convergence des suites de

distributions, en réalite, c’est la notion de convergence

la plus simple que l'on puisse imaginer, puisqu’il

s’agit tout simplement de la notion de convergence simple.

En effet,

soit oméga ouvert de R N. On dit qu’une suite Tn de distributions

sur oméga converge vers T distributions sur oméga si pour

tout phi fonction de classe C infini à super

compact dans oméga, Tn appliqué à phi est une

suite de nombres qui converge lorsque N tend vers l'infini vers

la distribution T appliquée à phi.

C'est donc bien la notion de convergence simple de la

suite de distributions vue comme des formes linéaires donc des fonctions

évaluées sur des fonctions tests phi qui sont vues comme des points.

La convergence ponctuelle de suite de formes linéaires sur C infini à support

compact dans oméga. Donc dans la suite, on notera la

convergence au sens des distributions de la manière

naturelle, Tn converge vers T dans D prime de oméga lorsque N tend vers l'infini.

Donnons quelques exemples de suites convergentes

au sens des distributions et le premier

exemple c'est la convergence vers une masse de Dirac en un point x zéro.

Alors soit fn suite de fonctions mesurables sur un ouvert oméga de R N.

et nous allons supposer que cette suite de fonctions vérifie les trois propriétés

suivantes: D'une part, fn est positive ou nulle presque partout sur oméga,

Ensuite fn est à support dans la boule

fermée de centre x zéro et de rayon R N incluse dans oméga, R N assez petit.

Et enfin nous supposerons que l'intégral de fn de

x dx tend vers 1 lorsque R tend vers l'infini.

Alors si la suite Rn,

la suite des rayons des boules centrées en x zéro

si la suite des Rn tend vers zéro, la suite des distributions T indice

fn, la suite des distributions définies par la fonction

localement intégrable fn converge vers la masse

de Dirac au point x zéro au sens des distributions

dans oméga. Voici un exemple un petit peu

plus sophistiqué qui conduit à la notion de valeurs principales de Cauchy.

Dans ce deuxième exemple on va partir de la fonction

définie sur R étoile qui à x associe 1 sur x.

Alors on sait bien que cette fonction n'est pas localement intégrable sur

R parce qu'elle n'est pas intégrable sur un compact qui serait voisinage de zéro.

Mais on sait définir une distribution à partir de cette fonction

x donne 1 sur x, bien que cette fonction ne soit pas localement intégrable.

Cette distribution s'appelle la valeur principale de 1 sur x

et elle est définie par la formule suivante: Pour tout phi

de classe C infini à support compact dans R on définit

vp de 1 sur x appliqué à phi comme étant

l'intégral de zéro à l'infini de phi de x moins phi de moins x

divisé par x, dx. Proposition

: d'une part la distribution valeur principale

de 1 sur x est une distribution d'ordre 1 sur R mais d'autre part,

on peut obtenir cette distribution comme limite d'une suite

très naturelle de fonctions localement intégrables sur R.

À savoir que pour toute suite épsilon n de

réels strictement positifs tendant vers zéro, si on considère la

suite de fonctions indicatrices de valeur absolue de x appartenant à

l'intervalle épsilon n plus l'infini divisée par x, cette suite de

fonctions localement intégrables sur R convergent au sens des distributions

dans R lorsque n tend vers l'infini vers la distribution valeur principale de

1 sur x.

C'est cette définition qui correspond à la notion de valeur principale d'une

intégrale qui avait été introduite par

Cauchy vers le milieu du dix-neuvième siècle.

Ici ce qui est fondamental bien

sûr c'est que la fonction x donne 1 sur x est impaire.

Et donc c'est la symétrie de la quantité

phi de x moins phi de moins x dans la définition de vp de

1 sur x qui permet de corriger la divergence en zéro de la fonction 1 sur x.

La démonstration de cette proposition sera traitée en exercice.

Maintenant que nous avons en main la

notion de convergence de suites de distributions,

nous pouvons définir la notion de dérivation des distributions, et cette

notion de dérivation des distributions correspond

vraiment au calcul, calcul de

l'idée clef de la définition des distributions que nous

avons fait à la fin du cours numéro 1. Voici la définition : soit

oméga ouvert de R N, et T une distribution sur oméga.

La distribution dérivée partielle de T par rapport la i-ème

variable, sera la distribution notée d rond i T qui sera

définie par la formule suivante: d rond i T appliqué a phi égal

moins T appliqué à d rond i phi où i égal 1, 2, et cetera,

jusqu'à N et pour tout phi de classe C infini à support compact sur oméga.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Alors on vérifie sans peine

que pour tout compact K inclus

dans oméga tout phi de classe C infini à support dans k.

Si on sait que T appliqué à phi en valeur absolue est inférieur ou égale à C K,

phi en norme pK, K, alors la dérivée partielle de T par

rapport à la i-ème variable évaluée sur phi en valeur absolue sera contrôlée

par définition par C K, la norme pKK de

D i phi, mais cette norme est évidemment inférieure

ou égale à la norme de phi d'indice pK plus 1 dans K, et

donc la valeur absolue de DiT évaluée sur phi sera contrôlée

par C K norme de phi d'indice pK plus

1 dans K. En particulier cette inégalité montre que

si T est une distribution d'ordre fini forcément l'ordre

de la dérivée partielle de T par rapport à

la i-ième variable sera inférieure ou égale à l'ordre de T plus 1.

Donc nous allons maintenant donner quelques exemples de calcul de

dérivées de distribution.

Evidemment le premier exemple que nous devons considérer c'est le cas des

fonctions de classe C1 parce que nous définissons une notion de dérivée de

distribution, les distributions elles-mêmes généralisent le

cas des fonctions et donc il faut

vérifier que la notion de dérivation

des distributions qui a été introduite coincide

bien avec la notion de dérivation des fonctions que nous connaissons déjà

lorsqu'on la restreint au cas des

distributions qui sont définies par des fonctions.

Nous allons faire ça dans le cadre des fonctions d'une seule variable.

Donc soient a et b deux réels avec a strictement

plus petit que b. Alors si je prends petit f une fonction

de classe C 1 sur l'intervalle ouvert a b si je considère la distribution

T indice f qui est définie par f puisque f étant de classe C 1 sur l'intervalle a

b, elle y est localement intégrable, eh bien,

la dérivée de la distribution définie par f,

la dérivée de la distribution T f n'est

rien d'autre que la distribution définie par la fonction

f prime.

Nouveau: comme f est de classe C 1 sur l'intervalle a b, f prime

est continu sur l'intervalle a b et

donc en particulier elle y est localement intégrable.

On vérifie donc ainsi que la dérivation au sens des distributions coïncide avec

la distri, avec la dérivation usuelle pour les fonctions de classe C 1.

Comme cet exemple est fondamental, on va faire la

petite démonstration qui ne présente aucune difficulté.

En effet pour tout phi fonction de classe C infini à

support compact sur l'intervalle ouvert a b, on a par définition que

la dérivée de la distribution T f appliquée à phi est égale

à moins la distribution T f appliquée à la dérivée phi prime.

Et si on écrit

ce que ça vaut, ça vaut moins l'intégrale de a et b et de f de x phi

prime de x dx. Intégrons par parties cet intégrale.

L'intégrale lorsqu'on la calcule par parties fait intervenir

moins le produit f phi évalué entre les bornes a et b,

plus l'intégrale de a à b de f prime

de x de phi de x dx.

Mais le terme tout intégré f phi évalué entre a et

b est identiquement nulle car phi comme elle est à support compact

dans l'intervalle ouvert a b, elle est identiquement nulle en a

et en b mais même au voisinage de a et de b.

Par conséquent, T f dérivé au sens des

distributions appliquées à phi est égale à l'intégralle

de a à b de f prime de x phi de x, dx chose qui par définition est égale

à la distribution définie par f prime appliquée à phi,

autrement dit, à T indice f prime appliqué à phi.

Alors maintenant que nous avons vérifié que sur les fonctions de classe C 1 la

notion de dérivée des distributions coïncide avec

la notion usuelle de dérivation, nous allons essayer

de dériver des fonctions plus générales et

par exemple des fonctions ayant des discontinuités.

Alors le premier exemple auquel on pense c'est la fonction dite de Heaviside

qui est la fonction indicatrice de R

plus dans n, c'est-à-dire la fonction discontinue

qui est définie par la formule: H de x égale 1 si x est

positif ou nul et H de x égale zéro si x est strictement négatif.

Alors cette fonction

H est évidemment localement intégrable sur

R, si j'identifie cette fonction localement intégrable

à la distribution T indice H qu'elle définit, eh bien je vois que H

prime donc ce que je devrais noter T H prime mais après l'identification c'est

H prime dérivé de la fonction H vue comme distribution au sens des distributions.

Cette dérivée

c'est la masse de Dirac en zéro au sens des distributions dans R.

On a ainsi notre premier calcul de dérivées au sens des distributions

d'une fonction qui n'est pas dérivable

puisqu'elle est discontinue, discontinue ici en zéro.

Alors faisons la démonstration.

À nouveau c'est une démonstration tout à fait élémentaire.

Soit phi de classe

C infini à support compact sur R, alors comme phi

est à support compact dans R, eh bien il existe un

réel grand R strictement positif assez grand tel que le support

de phi soit inclus dans l'ouvert moins grand R grand R.

Calculons maintenant la distribution H prime appliquée à phi.

Par définition, ce sera

la distribution définie par H appliquée à moins phi

prime, et maintenant la distribution définie par H appliquée à moins phi prime,

ça n'est rien d'autre que moins l'intégrale de zéro à R de phi prime de x,

dx que l'on calcule, qui vaut phi de zéro moins phi de R, mais

cela est égal à phi zéro parce que phi de R est

nul puisque phi est à support dans l'intervalle ouvert moins R, R, de sorte

que ce que l'on trouve c'est bien la masse de Dirac en zéro appliquée

à phi. Maintenant que nous avons défini

la notion de dérivée partielle d'ordre

1 pour une distribution quelconque sur oméga, nous allons itérer cette

opération et parler de dérivée partielle

d'ordre supérieur à 1 pour des distributions.

Alors nous allons commencer par un petit lemme,

qui est une propriété fondamentale de la dérivée

des distributions et qui est hérité de la

propriété analogue sur les fonctions de classe C infini.

Alors le lemme porte sur

la symétrie des dérivées secondes et dans le cadre des

fonctions de classe C 2, ce lemme porte le nom de lemme de

Schwarz. Alors pour toute distribution T sur un

ouvert oméga de R N, je peux considérer

d'une part la dérivée de T par rapport à la

j N variable, c'est une distribution que je peux dériver à nouveau par

rapport à la i N variable, et je peux considérer d'autre part la

dérivée de T par rapport à la i N variable qui est une

distribution et que je dérive à nouveau par rapport à la j N variable.

Donc je considère les deux distributions d rond i de d

rond j T et d rond j de d rond i T pour i et j quelconque allant

de 1 jusqu'à N.

Eh bien ces deux distributions sont toujours égales quels que soient i et j.

Sont égales, évidemment au sens des distributions dans oméga.

Alors faisons la démonstration qui ne présente aucune difficulté.

Pour toute fonction test phi de classe C infini à

support compact dans oméga, on sait d'après le lemme de

Schwarz du calcul différentiel classique que les

dérivées secondes croisées de phi sont symétriques.

Autrement dit, d rond i de d rond j phi est égal à d rond j

de d rond i phi précisément parce que phi est de classe C infini sur oméga.

En réalité il suffirait que phi soit de classe C 2 sur oméga.

Par conséquent,

lorsque je calcule d rond i de d rond j T

appliqué à la fonction test phi par définition,

c'est moins d rond j T appliqué à la fonction test d rond i

phi, qui par définition est donc égale à la distribution T

appliquée à la fonction test d rond j de d rond i phi.

Mais maintenant cette expression, d'après ce que l'on sait

de la symétrie des dérivées partielles croisées d'ordre 2 pour les

fonctions de classe C infini, d'après ce qu'on vient de

dire, cette expression, elle est symétrique en i et j.

Et donc, par conséquent, on trouve que d rond i

de d rond j T appliqué à phi, comme c'est symétrique

en i et en j, doit être égal à d rond j de d rond i T appliqué à phi,

ce qui achève la démonstration. Avec cette formule on définit par

récurrence les dérivées partielles successives de T sans avoir à se

préoccuper de l'ordre dans lequel on opère ces dérivations.

Et donc, pour tout T distribution sur oméga ouvert de R N

je vais pouvoir définir la distribution d rond alpha T où d rond alpha est un monôme

différentiel quelconque par la formule suivante : d rond alpha T appliqué à une

fonction test phi de classe C infini à support compact dans oméga quelconque,

sera égale à moins 1 à la puissance la longueur du monôme

différentiel d rond alpha, fois T appliqué

à d rond alpha phi.

Maintenant on peut commenter cette définition

en expliquant d'où vient le moins 1 à la puissance la longueur

du monôme de dérivation moins 1 à la puissance

valeur absolue de alpha ou longueur du multiindice alpha.

Comme on a vu dans le cas particulier des distributions qui sont définies

par des fonctions de classe C 1, la définition

de la notion de dérivée d'ordre 1 d'une distribution

correspond dans le cas des fonctions de classe C 1 à

l'intégration par parties. Pour commencer chaque fois que l'on

intégre par parties, lorsque on échange la dérivation en la

faisant passer de l'une des fonction sur l'autre, eh bien,

la formule met en jeu un signe moins. C'est pour ça que

chaque fois que l'on dérive une distribution,

lorsque le monôme différentiel passe sur la fonction

test, passe de la distribution à la fonction test, la formule

qui donne la définition de la dérivée

des distributions, formule qui imite l'intégration par parties,

met en jeu la multiplication par moins 1, met en jeu un changement de signe.

Et donc, lorsqu'on a un monôme différentiel de longueur

alpha, eh bien la définition de d rond alpha T

appliquée à phi, il est naturel qu'elle mette en

jeu la multiplication de T appliquée à d rond alpha

phi, par moins 1 puissance la longueur du monôme différentiel alpha.

Autrement dit, chaque fois qu'on a fait passer une dérivée

partielle d'ordre un de T sur phi, on a changé

le signe dans l'égalité, et c'est pour ça qu'à l'arrivée,

on a moins 1 à la puissance la longueur de alpha.

Alors, donnons quelques exemples de

dérivées d'ordre supérieur pour des distributions.

Pour tout p entier naturel strictement

positif, on vérifie sans peine que la dérivée p-ième de

la masse de Dirac au point x zéro de R au sens des distributions

dans R, c'est la distribution de Dirac d'ordre p en x zéro.

Autrement dit, dp sur dx p de delta en x zéro, c'est la distribution de Dirac

en x zéro d'ordre p dans D prime de R. On rappelle que cette distribution

de Dirac d'ordre p en x zéro, elle est définie par la formule

suivante: delta en x zéro d'ordre p appliqué a phi est égal

à moins 1 puissance p, phi dérivé p fois calculé en x zéro

pour toute fonction phi de classe C infini à support compact dans R.

Alors maintenant, nous avons la notion de dérivée

des distributions.

Nous avons la notion de convergence des suites de distributions, et nous allons

établir une propriété qui est vraie pour les distributions, qui est très simple

à vérifier pour les distributions, mais

qui évidemment, dans le cadre des fonctions,

est beaucoup moins agréable, qui n'est, qui n'est même pas vraie, en général.

Qui consiste à dire que si j'ai un ouvert

oméga de R N, et une suite de distributions

Tn sur oméga qui converge au sens des distributions

vers une distribution T dans D prime de oméga.

Alors, pour tout multiindice de longueur grand N, pour tout

monôme différentiel d rond alpha, eh bien, d rond alpha de Tn converge

vers d rond alpha de T dans D prime de oméga.

Démonstration.

À nouveau, il s'agit d'une démonstration très simple.

Pour toute fonction test de classe C infini à support compact

sur oméga, eh bien, on a d rond alpha de Tn

appliqué à phi, pour tout N qui est égal, par définition,

de la dérivation des distributions, à moins 1, à la puissance

longueur de alpha que multiplie la distribution Tn

évaluée sur d rond alpha phi. Or puisque Tn

converge vers T, Tn appliqué à d rond

alpha phi converge vers T appliqué à d rond alpha phi.

Ainsi, moins 1 puissance longueur de alpha, Tn appliqué à d rond alpha phi,

converge vers moins 1 puissance longueur de alpha, T appliqué

à d rond alpha phi. Mais cela, ce n'est rien d'autre que d

rond alpha de T appliqué à phi. Ce qui conclut la démonstration.

Alors, voyons maintenant ce que cette propriété de, de continuité

séquentielle de la dérivation des distributions implique lorsqu'on

l'applique au cas particulier des distributions qui sont définies par

des fonctions, et même, des fonctions régulières sur un ouvert oméga.

Donc, je prends fn, une suite de fonctions de classe C infini sur oméga,

et je suppose que pour tout compact K de oméga,

l'intégrale de valeur absolue de fn de x dx converge vers zéro.

Alors, pour tout multiindice

alpha à grand N composante, je peux regarder

la distribution d rond alpha fn, ou plus

exactement, la distribution qui est définie par la fonction continue,

et donc, localement intégrable sur oméga d rond alpha fn.

À savoir,

T indice d rond alpha fn, que j'identifie, donc,

à la fonction d rond alpha fn qui la définit.

Eh bien, T indice d rond alpha fn, comme on l'a vu dans le cas des fonctions

de classe C 1, plus généralement, de classe C infini sur oméga.

T indice d rond alpha fn, ça n'est rien d'autre

que d rond alpha de la distribution T de fn.

Or,

la condition que l'on a mise sur la suite fn, à savoir, que

l'intégrale de fn sur tout compact K en valeur absolue, converge vers zéro.

Cette condition entraîne que T indice fn converge

vers zéro au sens des distributions sur oméga.

Par continuité séquentielle des, de la dérivation au sens des distributions,

on en déduit que d rond alpha de la distribution T indice fn converge vers

zéro dans D prime de oméga. On a donc un énoncé qui est un petit

peu surprenant, puisque d rond alpha de fn s'identifie

donc à une distribution qui converge vers zéro au

sens des distributions sur oméga lorsque n tend vers l'infini.

Bien qu'en général, en tant que fonction, d rond

alpha de fn ne converge même pas simplement sur oméga.

Alors, un exemple classique de cette situation, consiste à prendre oméga égal à

la droite réelle, et à considérer fn de x égal, par exemple, sinus de nx sur n.

Évidemment, on a là une suite de fonctions de classe C infini sur R.

Évidemment, fn de x est majorée en valeur absolue par 1 sur n.

Donc, si je l'intègre sur tout compact de la droite

réelle, j'obtiens une suite de nombres qui tend vers zéro.

Mais si je considère la suite des dérivées d'ordre 1,

f prime n de x, c'est égal à cosinus de nx.

Et on sait bien que c'est une suite

qui n'est simplement convergente sur aucun intervalle ouvert

non-vide de R. Donc, cet exemple montre que dans la

propriété de continuité séquentielle de la dérivation des

distributions, eh bien, on a obtenu une notion de convergence, pour les dérivées.

Convergence au sens des distributions qui est une notion de

convergence beaucoup plus lâche, beaucoup plus faible que la convergence simple

des fonctions.

Voyons maintenant un deuxième exemple qui va nous

ramener à nos préoccupations du cours numéro 1.

Et dans ce deuxième exemple, nous allons montrer que le formalisme du,

des distributions, du calcul différentiel des distributions, permet de

vérifier que la formule fournie par la méthode des caractéristiques,

formule qui, comme on l'a déjà dit, garde un sens lorsque la donnée initiale

pour la, pour l'équation de transport n'est pas une fonction dérivable.

Pourtant, cette formule, on a envie de dire qu'elle continue à

définir une solution en un sens généralisé de l'équation de transport.

Alors, voyons comment cela fonctionne, dans le cas des distributions.

Donc, soit f in, une fonction

continue sur R périodique, de période 1, pour simplifier les choses.

Et on sait, d'après le théorème de Weierstrass, qu'il existe une suite fn in

de polynômes trigonométriques sur R qui converge uniformément vers F in sur R.

Maintenant, je pose f de t et de x égal f in de

x moins tv, où v est un réel non nul. Et de la même manière,

je pose fn de t et de x égal fn in de x moins tv.

Alors comme fn in est une fonction de classe C 1, pour tout

n supérieur ou égal à un, eh bien, on sait bien que d rond

sur d rond t, plus v d rond sur d rond x de fn évaluée

au point tx vaut zéro, pour tout tx appartenant à R 2.

Eh bien, en passant à la

limite au sens des distributions dans cette égalité, on va

voir que la fonction f de t et de x qui,

a priori, est simplement une fonction continue, pas forcément dérivable, va

être une solution au sens des distributions de l'équation de transport.

Donc, on démontre ce résultat.

On sait que d rond t plus v d rond x de fn est égal à zéro.

Mais ça, ça s'identifie à la distribution t indice d rond t plus v d rond x de fn.

Chose qui est égale à d rond t plus v d rond x, de la distribution T indice fn.

Maintenant, la distribution T indice fn, elle

converge vers la distribution T indice f.

Donc, par continuité séquentielle de la dérivation au sens des distributions,

d rond t plus d rond x de T indice fn converge au sens

des distributions vers d rond t plus v d rond x de T de f.

Mais toutes ces distributions, lorsque n est supérieur ou égal à 1, valent zéro.

Donc, leur limite est nulle.

On a démontré ainsi que d rond t plus v d rond x de la distribution Tf égale à zéro.

Cet argument permet donc de vérifier sans le moindre calcul que pour toute fonction

f in continue sur R, et périodique de période 1, la

fonction qui est définie par la même formule que celle qu'on

trouve par la méthode des caractéristiques, à savoir, f de t

et de x égal à f in de x moins tv.

Bien que non dérivable, en général, pour une fonction continue, définit une

solution de l'équation de transport au sens des distributions sur R croix R.

À savoir que au sens des distributions, d rond

t plus v d rond x de la distribution Tf,

définie par f est égale à zéro dans D prime de R croix R.