Corrigé exercice 4

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En provenance du cours de École Polytechnique

Initiation à la théorie des distributions

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École Polytechnique

Initiation à la théorie des distributions

10 notes

Une fonction discontinue peut-elle être solution d'une équation différentielle? Comment définir rigoureusement la masse de Dirac (une "fonction" d'intégrale un, nulle partout sauf en un point) et ses dérivées? Peut-on définir une notion de "dérivée d'ordre fractionnaire"? Cette initiation aux distributions répond à ces questions - et à bien d'autres.

À partir de la leçon

Cours 2

Corrigé exercice 44:14

Corrigé exercice 56:15

Corrigé exercice 67:23

Corrigé exercice 73:21

Rencontrer les enseignants

Prof. François Golse
Professeur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques
Prof. Yvan Martel
Professeur à l'Ecole polytechnique
Département de mathématiques

Dans cet exercice, on va vérifier que les

deux formules données dans le cours pour la valeur

principale, définissent en effet une distribution que l'on

appellera, donc, la valeur principale de 1 sur x.

Pour cela, je considère donc une fonction phi, qui est une fonction test,

donc, une fonction C infini à support compact sur R, et je considère

un réel positif grand R, tel que le support de

phi soit inclus dans l'intervalle

moins R, R. Alors, on peut écrire

que, pour tout x de valeur absolue inférieur

à R, phi de x moins phi de moins

x, divisé par x, en valeur absolue, est

inférieur à deux fois le sup de la dérivée

de phi en valeur absolue sur l'intervalle

donc x plus petit que R en valeur absolue, ceci est une

conséquence de l'inégalité des accroissement finis

appliqués entre x et zéro et entre

moins x et zéro. Donc par l'inégalité

des accroissements finis.

Donc ceci étant vrai, on en déduit

que l'intégrale qui définit la valeur principale d'1

sur x appliquée à la fonction test phi est bien définie, cette intégrale est bien

convergente et on en déduit aussi la

majoration suivante: valeur principale de 1 sur x

appliquée à la fonction test phi, en valeur

absolue, est égale à la valeur absolue de

l'intégrale de zéro à R, de phi de x, moins phi de moins x,

sur x, dx, est bien majorée

par la longueur de l'intervalle qui est R, multiplié par le majorant

précédent, donc on trouve 2 R sup de phi prime de x,

pour x inférieur à R. Donc,

valeur principale de 1 sur x, hé bien,

une distribution d'ordre au plus

1, la linéarité étant une

propriété évidente de la définition.

Dans la deuxième partie de l'exercice, on nous demande de vérifier que la formule

qui est donnée définit de façon équivalente

la valeur principale de 1 sur x.

C'est un calcul assez simple.

L'intégrale, pour valeur absolue de x plus grand que epsilon

de phi de x sur x, dx, est égale à l'intégrale,

d'une part de epsilon à l'infini de phi de x sur x, et d'autre part, l'intégrale

de moins l'infini à moins epsilon de phi de x prime sur x prime, dx prime.

Dans la deuxième intégrale, je vais opérer le

changement de variable x prime égale à moins

x, et en échangeant les bornes, on fait

apparaître un signe moins, et donc on obtient

cette intégrale-là, avec la fonction phi de x moins phi de moins x sur x, dx, et

d'après le calcul précédent, la majoration sur cette expression phi de x moins phi

de moins x sur x, et le théorème de convergence dominée, on se rend compte que

quand espsilon tend vers zéro, cette quantité converge

vers l'intégrale de zéro à l'infini de phi

de x moins phi de moins x sur x. Donc le fait que le support de phi soit

compact est important dans l'application du théorème convergence dominée.

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