Dans cet exercice, on va vérifier que les deux formules données dans le cours pour la valeur principale, définissent en effet une distribution que l'on appellera, donc, la valeur principale de 1 sur x. Pour cela, je considère donc une fonction phi, qui est une fonction test, donc, une fonction C infini à support compact sur R, et je considère un réel positif grand R, tel que le support de phi soit inclus dans l'intervalle moins R, R. Alors, on peut écrire que, pour tout x de valeur absolue inférieur à R, phi de x moins phi de moins x, divisé par x, en valeur absolue, est inférieur à deux fois le sup de la dérivée de phi en valeur absolue sur l'intervalle donc x plus petit que R en valeur absolue, ceci est une conséquence de l'inégalité des accroissement finis appliqués entre x et zéro et entre moins x et zéro. Donc par l'inégalité des accroissements finis. Donc ceci étant vrai, on en déduit que l'intégrale qui définit la valeur principale d'1 sur x appliquée à la fonction test phi est bien définie, cette intégrale est bien convergente et on en déduit aussi la majoration suivante: valeur principale de 1 sur x appliquée à la fonction test phi, en valeur absolue, est égale à la valeur absolue de l'intégrale de zéro à R, de phi de x, moins phi de moins x, sur x, dx, est bien majorée par la longueur de l'intervalle qui est R, multiplié par le majorant précédent, donc on trouve 2 R sup de phi prime de x, pour x inférieur à R. Donc, valeur principale de 1 sur x, hé bien, une distribution d'ordre au plus 1, la linéarité étant une propriété évidente de la définition. Dans la deuxième partie de l'exercice, on nous demande de vérifier que la formule qui est donnée définit de façon équivalente la valeur principale de 1 sur x. C'est un calcul assez simple. L'intégrale, pour valeur absolue de x plus grand que epsilon de phi de x sur x, dx, est égale à l'intégrale, d'une part de epsilon à l'infini de phi de x sur x, et d'autre part, l'intégrale de moins l'infini à moins epsilon de phi de x prime sur x prime, dx prime. Dans la deuxième intégrale, je vais opérer le changement de variable x prime égale à moins x, et en échangeant les bornes, on fait apparaître un signe moins, et donc on obtient cette intégrale-là, avec la fonction phi de x moins phi de moins x sur x, dx, et d'après le calcul précédent, la majoration sur cette expression phi de x moins phi de moins x sur x, et le théorème de convergence dominée, on se rend compte que quand espsilon tend vers zéro, cette quantité converge vers l'intégrale de zéro à l'infini de phi de x moins phi de moins x sur x. Donc le fait que le support de phi soit compact est important dans l'application du théorème convergence dominée.
