On considère dans cet exercice l'équation de Hoff qui a été vue, déjà, dans le cours numéro 1 et qui s'écrit d t u plus u d x u est égale à zéro, où d t u désigne la dérivée partielle de u par rapport au temps et d x u désigne la dérivée partielle de u par rapport à x. Je vais d'abord rappeler, pour cette équation, la définition de courbes caractéristiques. Donc, on appelle gamma, une courbe caractéristique. Voilà l'équation de gamma. Déjà, gamma de zéro est égal à y, où y est un point donné de R. Et, la dérivée de gamma, par rapport au temps, est égale à u deux t, de gamma de t. L'intérêt de, des courbes caractéristiques c’est que u est constant le long des courbes caractéristiques. En effet, si on dérive, par rapport au temps, u deux t et de gamma de t, on trouve, d'une part, la dérivée de u par rapport au temps, en t et gamma de t, plus, par dérivation composée, gamma prime de t multiplié par d x, u de t, de gamma de t. Et en remplaçant gamma prime de t par u de t, de gamma de t, on voit que l'on retrouve l'équation de u, c'est-à-dire que cette quantité est égale à zéro. Cela signifie que u est constant le long des courbes caractéristiques, et ça a une conséquence très importante, bien sûr, c'est que, on trouve, ici, u initial au point y. Cela signifie que les courbes caractéristiques sont des droites et que u est constant le long de droites. Ainsi, l'équation de ces courbes caractéristiques s'écrit gamma de t est égale à y, la condition initiale, le point de départ de la courbe caractéristique, plus t multiplié par u initial du point y. L'exercice consiste à, à considérer w gamma de t, qui est la dérivée de u par rapport à x le long d'une courbe caractéristique, le long de la courbe caractéristiques qu’est gamma. Donc on pose, w, gamma de t est égal à d x u, le long de la courbe caractéristique, donc en t, gamma de t. Et on nous demande de calculer l'équation de w gamma de t. Et donc on va calculer la dérivée de w gamma par rapport au temps. Donc c'est une dérivée, donc w ne dépend que du temps. Donc, dans ce calcul, il est très similaire au calcul précédent, on va d'abord dériver par rapport à la variable de temps. Donc, on va trouver d t, d x u plus, maintenant je dérive par rapport à la variable d'espace, on va trouver gamma prime de t, dérivée seconde de u par rapport à x, le tout pris le long de la courbe caractéristique, c'est-à-dire en t, gamma de t. Maintenant, par, si je suppose que u est de classe C2, disons, je peux inverser la dérivée par rapport au temps, la dérivée par rapport à x, dans la première expression. Donc, d t, d x u, c'est la même chose que d x, d t u et d t u, je le remplace par son expression venant de l'équation, c'est-à-dire, donc, j'obtiens d x, moins u, d x u, puisque u vérifie l'équation de Hoff. Et dans le deuxième terme, je remplace seulement gamma prime de t par u, donc j'obtiens cette formule, et ceci étant toujours pris le long de la courbe caractéristique c'est-à-dire, pour, en t, gamma de t. Maintenant si j'observe que si je développe la première dérivée, j'utilise la dérivée du produit, j'obtiens moins d x u au carré, en t, gamma de t. Et ce qui est très important c'est que, quand je continue à développer la dérivée du produit, je trouve moins u, dérivée seconde de u par rapport à x, mais ce terme s'annule avec le deuxième terme, ici, u d x carré, u. Et donc, en fait, on vient de calculer l'équation de w, et ceci est égal à moins w, gamma carré de t, seulement. Donc, on se rend compte qu'on a une équation très simple, ça s'appelle une équation de Riccati sur w, y. Quand on résout cette équation, c'est une équation à variables séparées, très simple à résoudre, on retrouve la solution suivante : w, gamma de t est égal à w, gamma de zéro, divisé par 1 plus w, gamma de zéro, multiplié par t. Avec une condition initiale, qui est w, gamma de zéro qui vaut d x de u initial au point y, le point de départ de la courbe caractéristique. Si w, gamma de zéro est positif ou nul, alors w, gamma de t est bien défini, quel que soit t positif. En quelque sorte, il n'y a pas de problème le long de cette courbe caractéristique. Si au contraire, w, gamma de zéro est strictement négatif, alors lorsque le temps t s'approche de moins 1 sur w, gamma de zéro, la limite de w, gamma de t est égale à moins l'infinie, ce qui veut dire que la solution u de t et de x ne peut pas rester régulière au-delà de ce temps. C'est-à-dire que la solution n'est pas une solution classique de l'équation de Burgers jusqu'à ce temps-là. Et donc, maintenant, si on définit grand T, qui est égal à l’inf sur les y de R, c'est-à-dire l’inf sur les courbes caractéristiques, sur toutes les courbes caractéristiques du temps moins 1 sur d x, u initial, en y, on vient de calculer le temps grand T et le temps aux delà duquel la solution u ne peut pas être définie comme une fonction de classe C2 en temps et en x, et comme solution de l'équation de Burgers. Donc c'est un majorant du temps d'existence maximal de la solution.
