[MUSIQUE] Rebonjour, nous allons continuer notre étude que nous avons entamée la dernière fois, étude des extensions algébriques. Alors qu'est-ce qu'on a fait la dernière fois? On a défini deux choses. On a défini la notion d'extension de corps, d'une part, et d'autre part on a défini la notion de nombre complexe algébrique. Alors ici, on va aller un petit peu plus loin, et on va définir la notion d'extension de corps algébrique. Alors qu'est-ce que c'est? On va donner pour ça une définition formelle. Partons d'une extension, grand K sur petit k. Et notons petit x, un élément de grand K. Eh bien, on dira que l'élément x est algébrique sur petit k, si et seulement x est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans k. Alors si vous faites, petit k égale Q et grand K égale C, vous retrouvez la notion de nombre complexe algébrique, qu'on a définie la dernière fois. Et maintenant, si on regarde une extension, grand K sur petit k, on dira qu'elle est algébrique si tous les x de grand K sont algébriques sur petit k. Alors introduisons une notation. Si vous avez, x 1, x n, des éléments, alors disons, d'un corps grand K, qui contient petit k, je noterai, k, entre crochets, x 1, x n, la famille des expressions polynomiales P de x 1, x n, où P est un polynôme à plusieurs variables à coefficients dans k dans le sens que je vous laisse deviner. Alors, la théorie des nombres algébriques a l'air d'être une théorie pas très linéaire, avec des puissances, des choses compliquées comme ça, est en fait reliée à l'algèbre linéaire, grâce à un pont, comme vous le voyez ici, que je vais expliquer maintenant, et ce pont, c'est ce critère d'algébricité. Alors quel est-il? Donc comme toujours, grand K sur petit k désigne une extension de corps, eh bien, le résultat de ce critère c'est qu'un élément petit x de grand K est algébrique sur petit k, si et seulement si le, k espace vectoriel, engendré par, x et petit k, k de X, est de dimension finie. C'est un théorème qui n'est pas très difficile à démontrer, comme nous allons le voir. Il demande un certain effort. Voyons comment on procède. Alors il y a deux sens. On va commencer par le sens direct. Supposons donc x algébrique sur k, c'est-à-dire qu'il est racine d'un polynôme non trivial, non identiquement nul à coefficients dans k. Donc qu'on peut supposer unitaire, X n plus a, n moins 1, etc. plus a zéro, appartient à k de X. Quand on substitue petit x à grand X, on trouve une expression nulle, et donc, petit x n, s'écrit comme une combinaison linéaire à coefficients dans petit k, des n éléments, x, n moins 1 etcetera, jusqu'à a. Par récurrence, vous déduisez que toute puissance de x des combinaisons linéaires à coefficients dans petit k, des puissances x, n moins 1, jusqu'à 1. On compte, on s'aperçoit qu'on a, n éléments, x, n moins 1, jusqu'à 1, qui engendrent l'espace vectoriel, k de x, et c'est donc que ce, k espace vectoriel, est de dimension inférieure ou égale à n. Passons au sens réciproque. Donc, supposons que cette dimension de k de x, est finie. Disons, n, un certain entier naturel. Alors, je vais considérer une famille à, n plus 1 éléments, de puissances de x, par exemple, x n jusqu'à 1, n plus 1 éléments, dans un espace vectoriel de dimension n, il y en a trop. Cela veut dire que la famille est liée, qu'il y a une combinaison linéaire non-triviale, qui est nulle. Et quand vous écrivez cette combinaison linéaire, comme c'est le cas ici, eh bien vous trouvez un polynôme, non nul, à coefficients dans k, qui annule petit x, c'est bien dire que x est un nombre algébrique. Et on a terminé avec la preuve de ce critère. Alors tirons un corollaire qui va être très très utile, absolument fondamental pour nous. Quel est-il? Partons, comme toujours, d'une extension de corps grand K sur petit k. Eh bien si grand K est un, petit k espace vectoriel, de dimension finie, on dira que, grand K sur petit k, est une extension finie. Alors l'extension grand K sur petit k est algébrique. En particulier, si, petit x appartient à grand K, est algébrique sur petit k, l'extension, k de x sur k, est algébrique. Dans ce cas, dans le cas où la dimension est finie, on parle donc d'extension finie grand K sur petit k, et cette dimension s'appelle aussi le degré, avec cette notion entre crochets qui est bien pratique, comme vous le verrez. Alors comment on prouve ça? Donc avec les notations de tout à l'heure, k de x est inclus dans grand K, de sorte que sa dimension est certainement plus petite que celle de grand K, et la dimension de grand K est finie. Du coup, la dimension de k de x est elle aussi finie, et, d'après le critère d'algébricité, cela entraîne que petit x est algébrique sur K. De même, si petit x est algébrique sur petit k, et que je choisis un petit y dans k de x, j'affirme que petit y est algébrique sur k. Pourquoi? Pour le même genre de raisons, k de y, est inclus dans, k de x, c'est un sous-espace vectoriel de k de x. Et d'après le critère, on sait que, k de x est de dimension finie sur petit k, du coup la dimension de k de y sur petit k est finie, et d'après l'autre sens du critère, on déduit que, y est algébrique sur petit k, et on a gagné. Voilà, je vous remercie pour votre attention, je vous invite à discuter entre vous dans le forum, à étudier les exercices, et à me rejoindre dans la prochaine vidéo, où on va aller un petit peu plus loin. À bientôt.