L'art des structures propose une découverte du fonctionnement des structures porteuses, telles que les bâtiments, les toitures ou les ponts. Ce cours présente les principes du dimensionnement et les structures en câbles et en arcs. Un deuxième cours présente les structures en treillis, en poutres et en cadres. Après avoir suivi ce cours, vous serez capable d'identifier les structures en câble, en arc et en arc et câble. Vous pourrez déterminer les efforts dans les éléments de structure principaux et procéder au choix de leurs dimensions en fonction du matériau de construction choisi. Votre maîtrise des constructions de statique graphique ainsi que de l'applet de calcul i-Cremona vous permettra de comparer diverses solutions et de choisir la forme la plus appropriée pour un type de structure donné. De manière générale, vous pourrez, en observant les structures autour de vous, reconnaître leur mode de fonctionnement, expliquer le choix de leurs dimensions et de leurs proportions.
710 Arcs-et-câbles
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
L'art des structures 1 : Câbles et arcs
24 notes
À partir de la leçon
Arcs-et-câbles
Les arcs-et-câbles sont des structures qui combinent un arc et un câble. Cela leur confère des propriétés intéressantes et particulières. En tant que type de structures, elles ne sont pas très communes, mais elles serviront d'élément déterminant pour la compréhension et le calcul des structures en treillis dans le cours l'Art des Structures II. Ne cherchez pas ce mot ailleurs : c'est nous qui l'avons inventé, mais c'est un bon nom, très utile.
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Olivier L. BurdetDr
Laboratoire de Construction en Béton
Aurelio Muttoni
Bonjour.
Dans cette leçon, je vais vous introduire
un nouveau type de structures, appelées arcs-et-câbles, qui
sera le dernier type de structures que nous verrons dans le cadre de ce cours.
Nous verrons que les arcs-et-câbles sont un
type de structures dans lequel la poussée des
arcs, que l’on connaît bien, est reprise de
maniére différente, pour cela nous aurons besoin d’introduire
un appui mobile.
Nous verrons comme modéliser ce, heu, résoudre ce type de
structures et les modéliser, aussi, au moyen de l’applet i-Cremona.
Qu’est-ce que c’est un appui mobile?
Alors pour mon, pour ma maquette, c’est un appui
qui ressemble un peu à un patin à roulettes.
Donc, ici, on a des roulettes, qui vont pouvoir rouler sur la surface horizontale
sur laquelle je vais placer mon chariot.
J’appelle ça un chariot. Qu’est-ce
qu’on constate? C’est donc, un déplacement est possible
dans la direction
horizontale. Ça veut dire qu’il ne peut pas y avoir
de forces d’appui dans cette direction.
Donc la force, la seule force d’appui, ici, sera une force d’appui verticale.
On constate que, comme auparavant, ce type d’appui permet une rotation aussi.
Notons aussi que, même si on ne le verra pas nécessairement beaucoup dans le
cadre de ce cours, on peut très bien avoir un appui mobile qui roule sur
une surface qui n’est pas horizontale, par exemple
une surface verticale, mais aussi, possiblement, une surface inclinée.
Nous allons voir, évidemment, dans la suite de ce
cours, à quoi sert la chaîne que l’on voit ici.
Ici, j’ai introduit l’appui mobile à droite dans mon arc.
Lorsque j’ai introduit 2 charges sur mon arc, et bien, évidemment, l’arc
veut pousser, et comme il ne peut pas pousser, puisque l’appui mobile cède,
l’ensemble s’effondre.
La solution, comme on l’a déjà vu dans l’image, c’est
de relier l’appui mobile à l’appui fixe au moyen d’une chaîne.
Dans ce cas-là, on voit qu’on peut charger l’arc normalement.
Regardons les efforts qui agissent dans notre arc.
Donc on a chargé 10 Newtons sur notre arc. Ici, je résous déjà le cas de
l’arc et puis on verra ensuite celui de
l’arc-et-câble pour pouvoir bien comparer.
Donc, pour l’arc, j’ai introduit
2 forces de 10
Newtons. Et puis l’équilibre, je vais très
vite, parce que ça vous l’avez déjà fait plusieurs fois, et on l’a fait ensemble,
donc l’effort dans la jambe de droite et la jambe de gauche,
ainsi que dans le, la partie horizontale de l’arc.
Donc cet arc est uniquement en compression.
Et puis, si on s’intéresse aux forces aux appuis, alors en
utilisant la force dans la partie, dans la jambe droite et dans la
jambe gauche, dans l’autre sens, on obtient les forces aux appuis habituelles
donc une poussée horizontale et une force verticale, qui vaut 10 Newtons
bien sûr, ici. Et, voici, on avait une force,
v, et une force H à chaque appui. Qu'en est-il de l’arc-et-câble?
On va le charger aussi de 2 fois 10 Newtons.
Alors, faut pas oublier qu’il y a un câble, parce que, autrement,
avec l’appui mobile… Vous voyez le symbole pour l’appui mobile à droite, on y
reviendra un petit peu plus tard, c’est un triangle qui est, qui est sur
1 ou 2 roulettes, ici 2 roulettes, ça symbolise le fait que ça peut
se déplacer transversalement, ça ressemble pas mal
à mon petit chariot de tout à l’heure.
Le diagramme de Cremona, avec 2 fois 10 Newtons,
est très similaire à celui de l’arc parce que, si l’on
fait l’équilibre d’un, des points d’application des
charges et bien on obtiendra toujours la même
chose. Donc, on va s’intéresser
d’abord au sous-système qui est juste à côté de l’appui
de droite. Qu’est-ce qu’on a dans ce sous-système?
Agissons sur ce sous-système.
Ben, on a évidemment une jambe inclinée de
l’arc, on a le câble horizontal, et puis ce
qu’on sait, c’est que, on peut avoir qu’une
force verticale comme force d’appui, qui provient du sol.
Alors, revenons dans le diagramme de Cremona, c’est cette force,
ici, dans la jambe qu’on va parcourir dans l’autre sens.
Puis, on va ajouter l’effort
de traction dans le câble, puis une force d’appui verticale.
Donc, ici, c’est juste, on a seulement une force d’appui verticale
sur cet appui.
Regardons maintenant le sous-système proche de
l’appui de gauche, que je redessine.
Ce qu’on a, agissant sur ce sous-système, c’est donc une
jambe inclinée, qui provient de l’arc, le câble en
traction et puis, ben, certaines réactions du sol qu’on verra un petit peu plus tard.
Ce qu’on
sait c’est qu’ici nous avons de la compression qui agit et, ici,
nous avons de la traction, la force T que l’on vient de déterminer.
Donc on a, agissant sur ce sous-système, la force T, alors, je dois la redessiner
dans le diagramme de Cremona, cette fois,
ce n’est pas possible de trouver une combinaison.
À cette force, on ajoute ensuite l’effort
en diagonale dans la jambe et puis finalement
on obtient que la force d’appui verticale, v, est la
seule composante que l’on a ici, donc on a seulement une composante verticale.
Ce qui est intéressant de voir c’est que, en introduisant un seul appui mobile,
en fait on a l’effet que sur les 2 appuis il n’y a que des réactions verticales.
Maintenant, attention, ça c’est un effet du fait que, il
n’y a que des charges verticales qui agissent sur le système.
Si on avait une charge inclinée qui agissait
sur le système, bien entendu l’appui de droite
ne pourrait prendre qu’une composante verticale, par contre,
l’appui de gauche pourrait prendre une composante inclinée.
Voyons ce qu’il se passe si j’ajoute, maintenant, une charge asymétrique
sur mon arc.
Eh bien, comme sur un arc normal, on voit que
l’arc tend à descendre sous la charge supplémentaire et qu’en fait
il faut lui donner la forme inverse, c’est-à-dire faire monter l’arc
là où on applique la charge pour que, il soit stable.
Ce que cela signifie c’est que les arcs, les arcs-et-câbles, se
comportent pour la partie arc tout à fait comme des arcs.
Donc, les problèmes de stabilité sont toujours là, et on
a toujours besoin de les rigidifier mais on a vu auparavant
qu’on sait faire cela.
Alors regardons comment reprendre la poussée
et voyons comment ça peut être avantageux.
Nous avons, ici, une cathédrale et si j’indique, ici, l’espace intérieur
de la cathédrale, on voit qu’il est en fait assez limité.
Il y a une nef principale et puis 2 nefs secondaires.
Tout ce qu’on a autour ne sert essentiellement qu’à reprendre la poussée.
À droite,
je vous ai dessiné la même cathédrale avec toujours
le même volume qui est utile pour les gens
qui sont à l’intérieur et on a enlevé tout ce qui sert à la reprise de la poussée.
Et, on constate que c’est beaucoup de matière.
Alors bien sûr, cela fait la beauté et la
majesté de la cathédrale, mon but n’est pas d’enlever
les arcs-boutants, là où ils sont, mais si on
veut faire des structures modernes et économiques, c’est intéressant
de savoir, ben, c’est de la poussée.
Si j’introduis simplement un câble, ici, alors les
efforts d’appui, sous des charges verticales, seront seulement
verticales et peuvent donc descendre directement dans les
colonnes que l’on a à gauche et à droite.
Et tous les arcs-boutants et autre système de contreforts ne sont plus nécessaires.
On n’a pas non plus besoin d’introduire un appui mobile,
il n’y a pas de roulettes parce que dans ce
cas-là, ces colonnes, qui sont très longues, très hautes, elles
sont flexibles et donc elles permettent un léger mouvement transversal.
Je pense d’ailleurs que vous avez un sentiment, si on enlève tout
la matière des arcs–boutants, on a un peu l’impression que l’arc voudra s’ouvrir.
Ben oui, il voudra s’ouvrir mais quand il commencera
à s’ouvrir, le câble se trouvera en tension et
il dira je ne vais pas plus loin, il
n’y aura que des efforts verticaux à partir de maintenant.
Voyons maintenant comment modéliser un arc-et-câble avec l’applet i-Cremona.
Je commence par modéliser un arc.
Bon, vous voyez que c’est vraiment très similaire.
J’introduis, donc, un appui à gauche, un appui à droite.
J’active le polygone funiculaire
et je lui donne la forme nécessaire.
Voilà, ça c’est probablement la forme du
polygone funiculaire de cet arc, de cette voûte.
Maintenant, si je veux introduire un appui mobile, j’efface le deuxième appui.
Si on introduit un appui mobile, ce sera toujours le deuxième appui.
Je l’enlève, et puis j’appuie sur le clavier, sur le
bouton contrôle ou bien j'appuie sur le bouton contrôle de l’applet.
Et j’introduis, alors je vais l’introduire à droite, comme ça vous pouvez
bien voir son symbole, un appui mobile, qui n’a pas les petites
roulettes mais on voit clairement que l’appui est séparé du sol, il
peut un peu glisser comme sur un coussin d’air, c’est un autre symbole.
On peut maintenant placer cet appui juste à l’endroit où il était auparavant.
Et puis, on constate que, effectivement, eh bien on a la reprise
de la poussée comme pour les autres éléments.
Si je place ma souris au milieu du câble, j’obtiens l’effort qui agit
dans ce câble. Un autre exemple de structure en
arc-et-câble, par nécessité, c’est un cintre, ça a servi
pour le coffrage d’un grand pont, une structure assez imposante.
Et parce que ce pont traverse un fleuve, alors les constructeurs de
l’époque ont décidé de créer ce cintre et de le transporter
en le faisant flotter sur 2 barges que l’on a à gauche et à droite.
Donc, ici, on a une barge, et, ici, on en a une autre.
Évidemment, dans ce cas-là, la seule charge qui agit sur cet
arc c’est son poids propre mais c’est suffisant pour créer une poussée.
Or, dans ce cas-là, il est très, très
clair, la seule chose que peuvent offrir des barges,
des bateaux, ce sont des poussées verticales, c’est
la poussée d’Archimède, qui est forcément vers le haut.
Donc il est absolument impossible de reprendre la poussée.
La solution qui
a été adoptée dans ce cas, c’est, et on le voit dans l’eau, avec des petites marques,
des petites vagues, c’est d’introduire une série de câbles, qui relient ces
2 barges, de telle façon que la poussée soit reprise et qu’il n’y ait
qu’une poussée verticale, puisqu’évidemment il était impossible
de prendre une poussée horizontale avec de l’eau.
Voilà une image
du pont terminé, vous voyez le côté très ingénieux
de la solution qui a été choisie : non
seulement la barge permet de déplacer le coffrage mais
elle permet, une fois qu’on a fini une des arches,
en abaissant le coffrage, de le déplacer, de l’amener
à l’endroit où on veut construire la deuxième, et ainsi
de suite, et donc d’avoir un système qui a
été, certainement, très économique pour la construction de ce pont.
Jusqu’à présent, on a,
en fait, pas encore vu comment on réalise vraiment des appuis mobiles.
Vous avez, à gauche, le symbole pour un appui mobile.
Et on peut permettre, donc, ici, un mouvement, horizontal, et on aura
seulement une force, verticale, perpendiculairement à la surface d’appui.
En pratique, parfois on utilise des appuis en forme de rouleaux
mais il faut dire que si le déplacement
qu’on doit avoir, doit être important, ce n’est pas
très facile et puis, d’autre part, la surface
sur laquelle roule les rouleaux peut facilement devenir un
peu sale, s’il y a des petits cailloux qui sont, qui tombent, s’il y a un petit
peu de saleté et donc, ces appuis s’encrassent et
ne fonctionnent pas forcément très bien à long terme.
Donc on a cherché à trouver d’autres solutions.
À gauche, je vous montre une solution relativement
ancienne, c’est ce qu’on appelle un appui pendulaire.
Alors en apparence, on voit quelque chose
qu’on connaît bien, quelque chose qui est circulaire.
Mais en fait vous voyez qu’il y a une petite
dent, en haut et en bas, c’est encore une forme un
peu plus particulière, mais il y a une petite dent
qui permet de contrôler la façon dont se déplace cet appui.
Alors comment est-ce que ça, ça fonctionne en réalité?
On a fixé au sol
une plaque avec une fente, de même, au pont, il
y a la même plaque avec une fente qui est fixée.
Et puis, notre système, est placé entre les 2, donc
c’est un cercle avec une dent qui entre, dans cette fente.
Lorsqu’un déplacement s’est produit, alors les 2
plaques sont restées là où elles étaient auparavant,
mais le système s’est placé, en diagonale,
les fentes étant toujours alignées, de telle façon
que le système ne se met pas en travers. Et donc on a un déplacement.
Ce déplacement, il est causé par le fait que le
câble doit s’allonger pour permettre de reprendre les efforts, d’une part,
et puis d’autre part, par les effets thermiques, si le
pont s’allonge ou se raccourcit, suite à des différences de températures.
Donc les appuis mobiles sont des solutions courantes
pour les ponts et pour divers types de structures.
Un système plus moderne,
c’est ce qu’on appelle un appui glissant, un
système qui est assez courant de nos jours.
Donc, pour cet appui, on a le même système, on a une pièce qui est fixée
de manière permanente à la fondation, une autre
qui est fixée de manière permanente au pont.
C’est généralement de l’acier. À l’intérieur,
on a, chaque fois, un bloc de
produits caoutchouteux, c’est
généralement un produit synthétique, du style néoprène,
un produit, un caoutchouc qui est très dur et qui est très
durable. Et puis, entre les 2, on a 2
couches d’un matériau qu’on a déjà
vu, qui permet bien le glissement, qui est du téflon.
Alors les 2, néoprène et téflon, sont des marques protégées, il y a des versions
non protégées de ces, de ces matériaux, mais ça, ça permet réellement à
l’appui de glisser, sans avoir de
frottements ou presque sans avoir de frottements.
Dans cette leçon, nous avons vu un nouveau type de structure, l’arc-et-câble, qui est
la combinaison d’un arc et d’un câble, dans lequel le câble reprend la poussée.
L’utilisation d’un arc-et-câble requiert, généralement, celle
d’un appui mobile, qui est un appui
qui permet un mouvement parallèlement à la ligne entre les appuis de l’arc.
La conséquence de l’utilisation d’un arc-et-câble est que les
forces aux appuis sont verticales, en présence de charges verticales.
Nous avons aussi vu commet utiliser
l’applet i-Cremona pour modéliser un arc-et-câble.
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