L'art des structures propose une découverte du fonctionnement des structures porteuses, telles que les bâtiments, les toitures ou les ponts. Ce cours présente les principes du dimensionnement et les structures en câbles et en arcs. Un deuxième cours présente les structures en treillis, en poutres et en cadres. Après avoir suivi ce cours, vous serez capable d'identifier les structures en câble, en arc et en arc et câble. Vous pourrez déterminer les efforts dans les éléments de structure principaux et procéder au choix de leurs dimensions en fonction du matériau de construction choisi. Votre maîtrise des constructions de statique graphique ainsi que de l'applet de calcul i-Cremona vous permettra de comparer diverses solutions et de choisir la forme la plus appropriée pour un type de structure donné. De manière générale, vous pourrez, en observant les structures autour de vous, reconnaître leur mode de fonctionnement, expliquer le choix de leurs dimensions et de leurs proportions.
610 Forme et stabilité des arcs
Loading...
En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
L'art des structures 1 : Câbles et arcs
26 notes
À partir de la leçon
Arcs
Le deuxième type de structures que nous découvrons dans ce cours est celui des arcs. Ces structures ont un comportement assez différent de celui des câbles, mais nous verrons que la détermination de leurs efforts est très similaire, ce qui nous permettra d'avancer assez rapidement.
Rencontrer les enseignants
Olivier L. BurdetDr
Laboratoire de Construction en Béton
Aurelio Muttoni
Bonjour.
Dans cette vidéo je vais vous introduire aux structures en arc, discuter de
leurs formes et d'un problème très important
qui les concerne qui est leur stabilité.
Nous commencerons avec un arc avec deux
charges, nous résoudrons son équilibre et nous
verrons que c'est très similaire à ce que nous avons fait jusqu'ici avec les câbles.
Nous ferons quelques comparaisons puis nous verrons que la stabilité,
respectivement l'instabilité des arcs est ce
qui les différencie énormément des câbles, et
nous verrons comment choisir, de manière adéquate, la forme à donner à un arc.
Dans cette vidéo vous voyez un arc très
simplifié constitué de trois éléments rectilignes en bois,
sur lequel j'applique deux charges symétriques de 10
Newtons que vous reconnaissez et cette structure est
en équilibre.
Nous allons maintenant résoudre cette structure et de manière symétrique je vais
aussi résoudre ce que nous avons déjà fait il y a très longtemps la, le cas
de la structure en câble qui est symétrique à cette structure en arc.
C'est assez instructif.
Commençons par la structure en câble que nous connaissons bien.
Donc nous avons une charge de 10 Newtons en haut et puis une
charge de 10 Newtons en bas. Si nous
regardons un sous-système à
gauche, nous
avons un élément rectiligne horizontal, un élément incliné,
la charge de 10 Newtons, et l'équilibre
de cet élément sera obtenu en
ayant une ligne horizontale qui correspond au
segment de droite dans la construction et puis une ligne
inclinée qui correspond au segment qui monte vers l'appui
de gauche. Donc on connait bien cette, cette
construction. Donc on obtient l'effort
dans le tronçon horizontal et l'effort
dans le tronçon incliné ce qui nous donne des efforts de
traction parce que ces élé, ces efforts tirent sur le sous-système.
Ça, c'est la contribution du sous-système bleu ciel.
Si nous faisons de même pour un sous-système orange à
droite, et bien son équilibre sera obtenu en utilisant
la, l'effort dans la partie horizontale du câble dans l'autre sens, la
force de 10 Newtons, et puis finalement l'effort incliné.
Je dessine rapidement le sous-système à côté, une partie horizontale,
une partie inclinée, la charge de 10 Newtons et les deux efforts qui
sont parallèles aux efforts dans le système de Cremona qui ont
la même, dans le diagramme de Cremona qui ont la même orientation.
Ce sont deux efforts de traction donc toute notre structure est en traction.
Et puis si nous regardons l'équilibre dans l'autre sens à chaque, à chaque
appui, à gauche, à droite, je ne vais pas faire les sous-systèmes correspondants,
vous pouvez les faire si vous le souhaitez mais on l'a, on l'a
déjà fait dans le passé, on obtient,
une composante verticale qui vaut 10
Newtons et une composante horizontale qui a une certaine valeur.
Et si on les reporte dans le système réel, on a donc ici à droite une force
d'appui verticale et une force d'appui
horizontale, et puis de même à gauche.
Regardons maintenant ce qui se passe pour l'arc.
Nous avons toujours la charge de 10 Newtons
comme précédemment. Puis
nous allons avoir une composante horizontale.
Puis une
composante inclinée.
Donc l'inclinaison ici.
Donc ça va nous donner une force qui
pousse vers la gauche et une force qui pousse vers le haut.
Si je redessine maintenant le sous-système correspondant, j'ai donc
un, une partie horizontale, une partie inclinée et une charge de 10 Newtons.
J'ai maintenant
un effort qui pousse sur le sous-système en montant vers la droite, c'est un
effort qui pousse sur le sous-système donc c'est un effort de compression et de même
dans la partie horizontale j'ai un effort horizontal donc je peux redessiner,
en bleu, ces efforts dans le
sous-système. Je peux identifier le sous-système
bleu ciel ici.
On voit que par construction les
efforts sont exactement les mêmes qu'auparavant mais
ils ont changé de signe, ce sont devenus des efforts négatifs de compression.
Si on regarde le sous-système de droite,
un tronçon horizontal, un tronçon incliné et une charge de
10 Newtons, on va réutiliser le
tronçon horizontal, introduire la deuxième charge de
10 Newtons, et là je
dessine directement en bleu mais on va le vérifier, on a
bien un effort de compression dans la partie qui
monte vers l'appui et clairement cet effort va dans cette direction, il pousse
sur le sous-système donc il est en compression, de même pour l'effort ici,
et on peut identifier la compo, la contribution de ce
sous-système au diagramme de Cremona.
On va regarder un petit plus en détail maintenant
la contribution de ce qui se passe aux appuis.
On a donc un élément et puis le début d'un appui.
On a un effort de compression qui agit ici.
Et pour qu'on soit en équilibre, on va
avoir une force d'appui verticale comme ça, et une
force d'appui horizontale comme ça, hein? On va le vérifier dans
la construction de Cremona pour l'appui de gauche.
Donc on a la force inclinée dans l'autre sens puis
la force d'appui verticale,
puis la force d'appui horizontale qui pousse vers la droite.
Donc on a ici une force verticale et ici une force
horizon, une force horizontale qui pousse vers l'intérieur de la structure avant,
alors qu'avant la, euh, la force horizontale tirait vers l'extérieur de la
structure. On peut faire de même l'appui
droite avec une compression que dans,
que dans le diagramme de Cremona on utilisera dans l'autre sens.
Puis une force d'appui horizontale qui pousse vers la gauche
et une force d'appui verticale qui pousse vers le haut.
Donc on aura une force d'appui verticale vers le haut et une force d'appui
horizontale vers la droite qu'on peut reporter dans le, dans le
diagramme de la structure réelle. On peut identifier les, la contribution
des divers sous-systèmes au diagramme de Cremona.
Voilà, c'est tout.
Donc si vous savez résoudre un câble, vous savez résoudre un arc.
Je ne vais pas faire une leçon très longue.
On peut arrêter là.
Pas tout à fait sinon j'aurais peut-être
même commencé par les arcs. Il y a un petit détail.
Regardons cette vidéo sur l'arc qu'on a vu tout à l'heure.
J'ai ajouté une force à droite. Et qu'est-ce qui s'est passé?
Catastrophe! L'arc s'est effondré.
C'est la première fois qu'on a un effondrement.
Jusqu'à présent, lorsqu'on rajoutait un câble et une charge sur un câble, bah
le câble il changeait un peu de forme et puis il était très content.
Mais jamais rien eu qui s'est cassé.
Là, la structure réellement s'est
effondrée, et potentiellement c'est dangereux.
Donc là, on a quelque chose qui n'est pas la
même chose que ce qu'on avait jusqu'à présent avec les arcs.
Regardons en un petit peu plus de détail.
Qu'est-ce qui se passe lorsqu'on ajoute une force sur un câble qui est soumis à
deux fois 10 Newtons et puis sur un arc qui est aussi soumis
à deux fois 10 Newtons? Je vais rajouter une charge de
10 Newtons à droite dans les deux cas. Qu'est ce qui se passe dans le câble?
Bah, on le sait déjà, on l'a déjà vu. Ce qui se passe c'est que le câble va
descendre un peu à droite, monter un peu à gauche, donc changer de forme.
Donc ça c'était un des problèmes qu'on avait identifiés
avec les câbles c'est-à-dire qu'ils bougent beaucoup.
Et puis c'est tout.
Maintenant on a bien remarqué que la construction
de l'arc, c'est la forme miroir de la construction du câble.
Alors faisons un miroir. Ce que ça veut dire c'est
que la forme de l'arc, lorsqu'on ajoute une
force, devrait être celle-là. Ça c'est la forme du polygone
funiculaire des charges. On pourrait le calculer mais il est ainsi.
Par contre, lorsqu'on rajoute une charge à droite vers
le point ici à droite, qu'est-ce qu'il veut faire?
Il veut descendre, il ne veut
certainement pas monter. Or il faudrait qu'il monte pour que l'arc
change de forme. Ça c'est une différence fondamentale qui
nous fait entrer dans la vraie problématique des arcs.
Si l'on ajoute une force sur un câble, le polygone funiculaire,
c'est-à-dire le câble,
suit, change de forme, mais suit les charges
appliquées.
Donc la structure elle est toujours stable.
En fait on n'a jamais parlé de stabilité parce
que on ne pouvait pas arriver à un problème.
Sauf si on mettait tellement de charges qu'on
arrivait à casser le câble mais autrement il n'y
a pas de problème.
Si on ajoute une charge sur un arc, le polygone funiculaire
s'écarte de la structure, on a vu qu'il monte.
La structure elle-même, on a vu qu'elle ne change pas de forme.
Songez un instant à un arc en pierre, il ne peut pas tellement changer de forme,
en tout cas pas de la façon dont un câble change de forme comme nous l'avons vu.
La conséquence de cela, c'est que nous avons une instabilité.
Les arcs sont fondamentalement instables.
Les, les vidéos qui vont suivre dans cette
leçon auront pour but de montrer comment on peut
choisir correctement la forme d'un arc et s'assurer
que justement on n'a pas de problème de stabilité.
Je vous rassure quand même sur la stabilité.
On a des anciennes constructions, qui datent
des Romains par exemple ou du Moyen-Âge,
qui utilisent des arcs qui ne se sont pas effondrés donc le fait qu'un
arc soit potentiellement instable ne veut pas dire qu'il
va s'effondrer, mais il faut faire un peu attention.
Cette vidéo montre comment on peut conserver la symétrie, l'effet
miroir entre le câble et l'arc si on rajoute une charge.
Je vais rajouter une charge d'abord sur le câble au tableau noir.
Lui il a changé de forme automatiquement puis j'ai rajouté une charge sur
l'arc au premier plan et en montant le point où j'ai ajouté la
deuxième charge, et en lui donnant une charge symétr, une forme symétrique
par rapport à celle du câble, alors, j'ai eu une solution stable.
C'est joli mais en général on n'a pas quelqu'un qui va gentiment nous changer
la forme de l'arc donc on peut pas se baser sur cette, sur cette méthode.
Alors, quelle est la forme idéale que devrait avoir un arc?
Ben, on a vu que c'était la forme miroir, de celle d'un câble.
Effectivement ici vous regardez la forme inversée du
Golden Gate qu'on a déjà vu, euh, auparavant.
Et puis on le compare ici à droite avec un pont
de l'ingénieur suisse, Robert Maillart, et on voit une forme très similaire.
J'utilise l'applet I-Cremona pour démontrer la forme idéale d'un arc.
On voit qu'il y a un appui ici, un autre là.
J'applique des charges là où il y a les piliers qui descendent du tablier vers
l'arc et puis là où je ne les vois pas, ben, je devine où elles devraient être.
J'introduis ces charges, ça c'est bon.
Ensuite j'active le polygone funiculaire et puis je lui donne
la bonne forme et on voit tout de suite que,
effectivement, c'est la forme, euh, la même forme qu'on aurait obtenu typiquement
pour un pont suspendu qui est correcte pour un arc avec beaucoup de charges.
Donc c'est une parabole dans le cas présent et une parabole du second degré.
En règle générale, on utilisera la forme du polygone funiculaire
sous les charges permanentes pour définir la forme de l'arc.
Encore une fois ici on a un arc par Christian
Menn, dans les Grisons. Là aussi c'est assez clair où
les charges agissent. Et la force initiale de
l'arc est définie par les charges permanentes, le poids
de la structure, essentiellement le poids du tablier parce que l'arc n'est pas très
lourd mais en, évidemment, lorsqu'on fait un calcul
fin, on tient compte de tous ces poids.
Pour éviter le problème de l'instabilité il est nécessaire que le
polygone funiculaire soit en tout temps à l'intérieur de la matière.
Je vais vous montrer un exemple de cela tout à l'heure.
Et pour cela on utilisera, on fe, on définira l'épaisseur de l'arc
sous l'influence des charges variables. Donc les charges variables
nous servent à déterminer l'épaisseur de l'arc.
Cet applet montre le pont sur la Salginatobel de Robert Maillart.
Un pont qui vous voyez n'a pas une forme
très classique, il, il a une épaisseur qui est variable.
Sous l'effet des charges permanentes, on peut
lui donner, on peut lui trouver cette forme.
En fait les efforts vont toujours passer par ce point ici en haut donc je
vais refaire la résolution en définissant que les
efforts doivent toujours passer par ce point rouge.
Vous allez voir l'influence que cela va avoir.
Je rajoute maintenant une charge variable assez importante.
Par exemple ça peut simuler un camion. Et puis je la fais se déplacer
sur le pont.
Regardez ce qui se passe avec le polygone funiculaire bleu,
aussi bien dans la partie gauche que dans la partie droite.
Il tend à monter sous la charge.
Souvenez-vous, j'avais dit que l'arc devait monter là où on
appliquait la charge et puis à descendre de l'autre côté.
Mais en tous les cas, sur toute la longueur du pont, grâce
à la forme qui lui a été donnée, le polygone des forces reste
dans tout temps, en tout temps dans le béton.
Cela veut dire que notre structure sera stable.
Dans cette vidéo j'ai introduit la forme et la stabilité des arcs.
J'ai montré que il y a une grande
similarité au niveau de la résolution en statique graphique
avec ce qu'on a fait avec les câbles
donc c'est relativement simple puisqu'on a déjà de l'expérience.
Par contre, à cause du phénomène
d'instabilité, la forme à donner aux arcs
est très importante de même que leur épaisseur.
Il est important de considérer les charges permanentes pour définir la forme
principale de l'arc et les charges variables pour redéfinir l'épaisseur.
Explorer notre catalogue
Rejoignez-nous gratuitement et obtenez des recommendations, des mises à jour et des offres personnalisées.
Coursera propose un accès universel à la meilleure formation au monde,
en partenariat avec des universités et des organisations du plus haut niveau, pour proposer des cours en ligne.
© 2019 Coursera Inc. Tous droits réservés.
