L'art des structures propose une découverte du fonctionnement des structures porteuses, telles que les bâtiments, les toitures ou les ponts. Ce cours présente les principes du dimensionnement et les structures en câbles et en arcs. Un deuxième cours présente les structures en treillis, en poutres et en cadres. Après avoir suivi ce cours, vous serez capable d'identifier les structures en câble, en arc et en arc et câble. Vous pourrez déterminer les efforts dans les éléments de structure principaux et procéder au choix de leurs dimensions en fonction du matériau de construction choisi. Votre maîtrise des constructions de statique graphique ainsi que de l'applet de calcul i-Cremona vous permettra de comparer diverses solutions et de choisir la forme la plus appropriée pour un type de structure donné. De manière générale, vous pourrez, en observant les structures autour de vous, reconnaître leur mode de fonctionnement, expliquer le choix de leurs dimensions et de leurs proportions.
470 Câble avec deux charges symétriques
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
L'art des structures 1 : Câbles et arcs
26 notes
À partir de la leçon
Câbles avec plusieurs charges
Le cas suivant est celui de câbles avec deux charges, dont la résolution est un peu plus complexe que les câbles avec une seule charge. Une fois les efforts et forces aux appuis déterminées, le reste est comme la semaine précédente. Finalement, au travers de la méthode du câble auxiliaire, vous verrez comment généraliser au cas de câbles avec plusieurs charges.
Rencontrer les enseignants
Olivier L. BurdetDr
Laboratoire de Construction en Béton
Aurelio Muttoni
Bonjour, cette vidéo
traite du cas d'un câble soumis à deux charges symétriques qui agissent sur lui.
Nous allons résoudre ce cas en identifiant
et en résolvant l'équilibre de chaque charge
de manière individuelle en utilisant un sous-système
adéquat puis nous combinerons ces résultats ensemble.
Nous obtiendrons
les efforts dans chacun des tronçons de câble et nous obtiendrons également
les sup, les, les forces aux appuis aux extrémités du câble.
Ici vous avez un câble sans charges auquel on,
on suspend simultanément deux charges à des positions prédéterminées.
Comme vous voyez le câble prend une forme
trapézoïdale avec les appuis comme, euh, à la partie
supérieure du trapèze et les deux charges à la partie inférieure.
Nous avons, à gauche, un schéma structural représentant
notre structure et à droite nous allons construire
un nouveau dia, un diagramme de Cremona combinant
les divers efforts dans une seule construction graphique.
Nous identifions d'abord un sous-système autour de la force à gauche.
Nous pouvons redessiner ce sous-système juste
en-dessous, avec un tronçon horizontal,
un tronçon incliné, la charge de 10
Newtons, et puis, agissant sur les
extrémités, au bord de, du sous-système les efforts à l'intérieur des
câbles que nous souhaitons déterminer.
Dans le diagramme de Cremona, nous pouvons dessiner cette force de 10 Newtons.
Puis, sur cette ligne d'action,
nous savons qu'agira la force
horizontale puis finalement, parallèlement
au tronçon de gauche du câble, nous pouvons reporter
la force qui monte vers la
gauche. Voilà, nous pouvons
maintenant terminer l'équilibre
du sous-système bleu à gauche en lisant
directement la valeur des efforts, ici 7,4 Newtons dans
le tronçon horizontal du câble. Nous avons
de la traction ici. 7,4
Newtons. Et puis 12,4
Newtons dans
le tronçon incliné de gauche.
J'identifie le sous-système
qui nous a donné cette construction avec du
bleu ciel. Nous voulons maintenant étudier
la force,
la charge à droite avec ce sous-système rose que je redessine
également en-dessous.
Avec un tronçon horizontal et un tronçon incliné et la
charge de 10 Newtons. Ici nous avons vu dans
le sous-système bleu que cet effort valait 7,4 Newtons.
Ici, ça va être la même chose dans l'autre sens.
On le sait déjà, ici, on a 12,4 Newtons.
Et ici on aura une traction dont on ne connait pas encore l'amplitude.
Mais on connait déjà son inclinaison. Passons au diagramme de Cremona, on
dessine la deuxième force de 10 Newtons.
Dans ce diagramme de Cremona, on va commencer en fait avec
la charge 7, la for, l'effort de 7,4 Newtons agissant horizontalement.
Ensuite on aura la charge de10 Newtons et on va fermer le polygone des forces
ro, euh, correspondant au sous-système rose ici par cet effort.
Et puis si on le mesure on va voir qu'il a la même amplitude,
il vaut aussi 12,4 Newtons. C'est assez logique puisque notre
structure est symétrique. J'identifie la contribution au
diagramme de Cremona du sous-système rose. Nous voulons maintenant
nous intéresser au sous-système concernant les appuis.
Alors, je redessine ce sous-système
vert indépendamment. Nous avons un bout de câble, l'extrémité
du câble agissant sur ce sous-système, il y a bien sûr
l'effort de 12,4
Newtons qui tire cet appui
vers le bas. Dans le diagramme de Cremona on réutilise
l'effort de 12,4 Newtons maintenant en tirant vers le bas puis,
on termine
la construction avec la composante verticale à gauche
et la composante horizontale à
gauche. On voit que cette composante
horizontale vaut aussi 7,4 Newtons et la composante
verticale est égale à 10 Newtons. On identifie
la contribution du sous-système
vers a, la construction globale, puis on passe
à l'appui de droite avec un sous-système jaune
avec un morceau de câble et
l'extrémité. L'effort, l'effort vaut
12,4 Newtons. Je ne l'avais pas reporté
ici, 12,4 Newtons également et je l'avais pas reporté
non plus dans le système. On a une traction
de 12,4 Newtons. Sur le sous-système
jaune agit l'effort de traction de 12,4
Newtons en descendant vers la gauche. Puis,
l'effort horizontal à droite
qui vaut 7,4 Newtons.
Puis, l'effort vertical à droite
qui vaut 10 Newtons. J'identifie
encore la contribution au
diagramme de Cremona de, du sous-système
jaune. Si nous appliquons une deuxième
charge sur notre système, en fait cela ne change pas sa forme, mais maintenant comme
c'était le cas pour un système avec une seule charge, les efforts sont doublés.
Il nous suffirait donc de reprendre le diagramme de Cremona que nous avons fait
précédemment et de le lire avec une
échelle double pour obtenir directement les efforts.
Ou bien, bien sûr, on pourrait le reconstruire intégralement.
Passons maintenant à un exercice pratique de dimensionnement du câble.
Il s'agit maintenant d'un câble sur lequel agit non
plus 10 Newton mais une charge permanente de 12 Kilonewtons,
12000 Newtons donc c'est une charge quand même assez
importante à laquelle s'ajoute une charge variable de 8 Kilonewtons.
Voyons comment procéder pour obtenir le diamètre du câble
sachant que la résistance du câble fsd est de 320 Newtons par millimètre carré.
Il nous faut d'abord obtenir la charge de dimensionnement, Qd, qui agit sur ce
câble. Qd est égal à 1,35
fois G plus 1,5
fois Q ou pour nous 1,35
fois 12 plus 1,5 fois 8
soit 28,2 Kilonewtons.
Nous allons maintenant avoir une charge de dimensionnement,
je la dessine ici en rose un petit peu décalée, Qd.
Je n'aurai pas dû la décaler d'ailleurs, on va
la dessiner par dessus, ici, Qd égal à 28,2 Kilonewtons.
Bien entendu on pourrait faire une nouvelle construction de Cremona
pour la charge de 28,2 Kilonewtons mais c'est inutile puisqu'on
a déjà la résolution pour 10 Newtons, et donc on veut maintenant
multiplier tout par le rapport entre 28200 Newtons
et 10 Newtons pour directement obtenir nos efforts.
Le plus grand effort, nous l'avons obtenu auparavant dans les deux parties
inclinées du câble, ça donnait 12,4 Newtons
pour 10 Newtons de charge appliqués, pour deux fois
10 Newtons. Maintenant, nous voulons voir ce que cela
donne pour 28,2
Kilonewtons et en fait, parce qu'on ne veut pas avoir des milliers de Newtons, ça
nous intéressait d'avoir, en tout cas pour l'instant cette réponse en Kilonewtons.
Cette réponse va simplement être 12,4
divisé par 10, c'est une proportion, fois 28,2.
Et ça, ça nous donne
35 Kilonewtons. Donc l'effort dans ces
deux tronçons de câble, au niveau du dimensionnement,
nous avons Nd est égal à 35
Kilonewtons. Nous voulons maintenant
passer au dimensionnement du câble. Dimensionnement c'est
le choix des dimensions, en l’occurrence nous
voulons connaitre le diamètre du câble. Nous
avons donc Nd est égal à 35000,
35 Kilonewtons. C'est-à-dire
35000 Newtons et nous avons un matériau qui
résiste à 320 Newtons par millimètre carré donc la surface nécessaire
minimale est de 35000 divisé
par 320, c'est-à-dire
109 millimètres carrés, donc
le diamètre c'est toujours racine de 4 fois
A divisé par pi est égal
à racine de 4 fois 109 divisé par
pi, c'est-à-dire 11,8 millimètres,
donc on choisit un câble de 12
millimètres de diamètre qui sera suffisant
pour résister aux efforts de dimensionnement.
On pourrait évidemment faire la vérification aussi
de la partie intermédiaire du câble, vous
savez celle qui avait 7,4 Newtons pour 10 Newtons de charges, euh, appliquées deux
fois mais en fait ce, ce câble aurait un diamètre inférieur, c'est pour ça
qu'on n'a fait le dimensionnement que pour la partie avec le plus grand effort.
Dans cette vidéo nous avons vu comment
résoudre l'équilibre d'un câble soumis à deux charges
symétriques, nous avons procédé en exprimant dans le diagramme
de Cremona l'équilibre de chaque sous-système autour de
la charge de gauche et la charge de droite.
Nous avons vu comment obtenir les efforts dans chacun des tronçons du câble
puis nous avons procédé au dimensionnement en effectuant une
combinaison de charges pour obtenir la charge de dimensionnement.
Ensuite une règle de trois, une
proportion pour obtenir les efforts de dimensionnement
dans le câble puis enfin nous avons pu déterminer le diamètre du câble.
Lors de la construction nous avons également déterminé
les forces aux appuis et de manière très
similaire à ce que nous avions fait auparavant
pour le cas du câble avec une seule force.
Une question qui vous
taraude peut-être maintenant, c'est oui, mais qu'est-ce qu'il se
passe si je ne connais pas la géométrie du câble?
Parce que c'est vrai que jusqu'à présent nous avons eu des photos de la géométrie
du câble, et bien, nous allons nous intéresser
à cette question dans les leçons qui suivent.
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