Здравствуйте! Теперь мы наконец-то можем перейти к теории вероятностей. И начать мы должны, конечно же, с определения термина вероятности. Перед тем, как мы посмотрим на формальное определение, попытаемся понять, что это вообще значит. Многие люди заблуждаются, когда говорят, что вероятность — это вообще неправильный термин, и вообще вероятность всего равна 50 процентам, то есть событие произойдет или не произойдет. Такое мнение исходит из того, что люди не понимают, что такое вообще вероятность. Они считают это фундаментальным понятием, то есть его нельзя объяснить через другие понятия. Это не совсем так. Вероятность — это всего лишь описание математической величины или мера. Рассмотрим понятие вероятности. Допустим, мы проводим какой-то эксперимент. Мы знаем, что может быть всего пять различных исходов. Допустим, мы смешиваем разные вещества и при этом знаем, что их смесь может быть одного из пяти цветов. Допустим, мы хотим, чтобы получился желтый цвет, который входит в эти пять цветов. Тогда мы можем сказать, что один из пяти цветов — это нужный нам результат. Мы можем даже сказать, что в этом эксперименте только один успех, но пять возможных вариантов. Именно это и называют вероятностью. То есть это часть вариантов из всевозможных исходов, которая бы удовлетворяла нашим требованиям. Теперь довольно просто понять, что вероятность выпадения орла равна 50 процентам. Всего возможно два случая — это орел или решка. А нас интересует только один — орел. Таким образом, часть исходов, удовлетворяющих нашему требованию, относится к числу всевозможных исходов, как один к двум. Один поделить на два равно 0.5 или 50 процентов. Можно справедливо заметить, что у монетки решка выпадает не в 50 процентах случаев. Во-первых, мы никак не учли ребро. Во-вторых, монетка может быть неровной, из-за чего приземление на одну сторону станет более вероятным. Это некоторое усложнение только что заданной нами модели. Так что надо ввести еще одно понятие прежде, чем задавать вероятность. И это понятие называется элементарное событие. Элементарное событие — это такое событие, которое нельзя разбить на составные. Думаю, проще это понять на примере. Возьмем эксперимент с броском кубика. Будет ли элементарным событием выпадение единицы? Да, потому что это событие уже не разобьешь на более мелкие события. А вот выпадение четного числа — это уже составное событие. Мы будем его называть просто событием, потому что оно состоит из нескольких событий: выпадение двойки, выпадение четверки или выпадение шестерки. Обозначается элементарное событие обычно буквой греческого алфавита Омега. Вы можете найти ее на слайде. Составное событие мы уже будем обозначать большими буквами латинского алфавита, прямо как множество. Обратим внимание, что в общем-то составное событие — это множество, а именно множество элементарных событий. Таким образом, если на слайде под Омегой мы подразумеваем выпадение двойки, а под А — выпадение четного числа, то справедливо будет написать, что Омега принадлежит A. Далее мы будем считать вероятность составных событий. Но иногда такие составные события будут состоять из одного элементарного события. Но это ничему не противоречит. Составное событие может по своей сути быть элементарным, а вот элементарное событие составным быть уже не может. Давайте снова рассмотрим какое-нибудь событие A. A состоит из элементарных событий. Тогда n — это количество элементарных событий, составляющих A. Причем не просто элементарных событий, а равновероятных элементарных событий и при этом несовместимых событий. Иначе говоря, наступление каждого из этих элементарных событий равновероятно. В примере с кубиком, например, единица должна выпадать так же часто, как и пятерка. А "несовместимых" значит, что возникновение одного элементарного события сразу исключает возможность наступления другого элементарного события. С броском кубика именно так. Если выпала единица, то двойка уже не выпадет, кубик у нас не изменится. Для этого нам понадобится либо еще один кубик, либо еще один бросок, но это в корне меняет заданный нами эксперимент. Далее, большое N — это число возможных исходов в нашем эксперименте. Иначе говоря, это количество элементарных событий данного эксперимента. При заданных A, n и N мы можем посчитать вероятность события A, которое в свою очередь обозначается как P от A, и равно оно n поделить на N. Обратим внимание, что P является функцией. Если при рассмотрении функции мы обозначали ее как f от x, то теперь мы просто поменяли буквы, но суть осталась та же. Функция P — это функция, обозначающая вероятность своего аргумента. И в качестве аргумента она должна принимать события, то есть множество элементарных событий. Вероятность всегда больше или равна нулю, при этом меньше либо равна единице. Именно поэтому ее можно выразить, представить в виде процентов. Это связано с тем, что мы рассматриваем количество элементов подмножества и делим его на количество элементов множества. В подмножестве может быть либо меньше, либо столько же элементов, как в самом множестве. В предыдущем определении сильно ограничивающим фактором является то, что мы должны рассматривать взаимонесовместимые события. Но часто бывает так, что наши события могут происходить одновременно. Для подсчета таких вероятностей тоже присутствуют свои хитрости. Когда считают вероятность двух совместимых событий A и B, это обозначают просто AB, без всяких знаков между ними. В этом случае мы должны взять все элементарные события из A, все элементарные события из B и составить из них всевозможные пары. Тогда вероятностью события AB станет отношение количества всевозможных пар элементарных событий из A и B по отношению к количеству всех пар элементарных событий из нашего эксперимента. То есть, допустим, мы хотим понять, какова вероятность, что при броске одновременно двух костей выпадут два четных числа. В этом случае событие A — это выпадение четного числа на первой кости, событие B — это выпадение четного числа на второй. Можем посчитать количество таких событий. Для первой кости нас интересуют вероятности выпадения двойки, четверки и шестерки. Если выпала двойка, то вторая кость должна иметь результат два, четыре или шесть. Аналогично для четырех или шести на первый кости. Таким образом, всего вариантов будет три умножить на три, или девять. Всего вариантов у нас 36, так как для каждого возможного результата от одного до шести на первой кости мы можем ожидать любой возможный вариант от одного до шести на второй кости, то есть шесть на шесть, или 36. Тогда вероятность выпадения двух четных номеров равна 9 поделить на 36, или одной четвертой. Важным понятием является также "условная вероятность". Условная вероятность похожа на вероятность совместимых событий, только в этом случае мы считаем, что одно событие уже произошло, и хотим посчитать вероятность того, что произойдет и другое событие. Для обозначения вероятности события A при условии произошедшего события B используется запись, как на слайде. Чтобы вычислить такую вероятность, необходимо поделить вероятность события AB на вероятность события B. То есть в этом случае мы можем только увеличить вероятность события AB, так как знаменатель этой дроби меньше или равен нулю. В этом случае, если вероятность события B равна единице, то есть оно всегда наблюдается в нашем эксперименте, то вероятность того, что событие A проявится при условии события B такая же, как и вероятность, собственно, самого события AB. Из этой формулы следует один интересный результат. Давайте умножим дробь из формулы условной вероятности на вероятность события B. Получим результат, который называется теорема умножения вероятностей. Из этой формулы можно прийти к еще одному интересному результату, интересной формуле. Для этого мы теперь снова выпишем формулу условной вероятности, но уже для B при A. Заменим вероятность события AB на результат из теоремы умножения вероятностей. Таким образом, мы получим связь вероятности A при B от вероятности B при A. И наоборот. Это называется формулой Байеса.
