[МУЗЫКА] Здравствуйте! Схема Бернулли очень часто встречается в нашей жизни. Кроме этого, она обладает и различными способами её применения — различные способы порождают различные случайные величины. В этом уроке мы рассмотрим два распределения, названия которых вы видите у себя на слайде — это распределение Бернулли и геометрическое распределение. Начнём мы с геометрического распределения и, как и в случае с биномиальным, попытаемся сперва поставить задачу, которую можно решить при помощи этого распределения. Снова имеется некоторое испытание с некоторым количеством возможных исходов. Мы знаем, что один из его исходов — это событие A, и оно проявляется с вероятностью p. Это испытание проводится не один раз, а несколько. Пока что начало такое же, как и в схеме Бернулли, однако теперь мы зададим другой вопрос и попытаемся найти не количество успехов среди проведённых n испытаний, а мы хотим установить, с какой вероятностью первый успех мы будем наблюдать в k-м эксперименте. Таким образом, в этом случае у нас меньше параметров: мы не рассматриваем общее количество испытаний, а ищем только первый успех. Параметрами распределения будет только число p, которое обозначает вероятность события A. Вероятность того, что в эксперименте с вероятностью проявления события A успех наступит в k-й раз, считается по формуле q^(k − 1), и это надо умножить ещё на p. Q, как и раньше, обозначает вероятность неуспеха. Сразу обратимся к математическому ожиданию и дисперсии — они равны 1/p и q/p^2 соответственно. Существует также и альтернативная интерпретация этой величины: когда считается количество неудач до первого успеха, то есть не k, а k = − 1. Но в общем-то, это одна и та же случайная величина, и одно через другое можно выразить. Посмотрим, как визуально распределяется эта случайная величина, то есть на графике. Синий график, как в прошлом уроке, — это случайная величина с вероятностью 0,01, а оранжевый — это величина с вероятностью повыше: 0,1. Первое значение всегда соответствует значению p. Действительно, если мы задаём вопрос, какова вероятность того, что событие наступит в первый же проведённый эксперимент, это ничем не отличается от того, чтобы спросить, какова вероятность наступления этого эксперимента. Далее кривая начинает идти вниз. Если первое значение было высоко, то оно стремительнее будет приближаться к нулю; если нет — то, наоборот, равномернее. Обратим внимание, что синий график сначала находится ниже оранжевой кривой, но потом становится выше. Что и разумно и может интерпретироваться так: чем выше вероятность события, тем быстрее оно проявится. И это логично. Функция вероятности изображена на втором графике. В этом случае примечательно то, что единицы за конечное количество итераций функция вероятности вообще не достигает, то есть всегда остаётся вероятность того, что даже если вероятность события большая, нам придётся сделать пять миллиардов попыток, прежде чем мы получим успех. Исключение — это единица. Если p = 1, то функция вероятности сразу равна единице и дальше не меняется. Думаю, это тоже очевидно. Теперь перейдём к распределению Бернулли. Оно очень простое, и с его помощью мы исследуем биномиальное распределение с n = 1. Проще говоря, мы исследуем, сколько будет успехов — 1 или 0. Вероятность определяется всего двумя величинами: p и q. Ну, q, соответственно, выводится через p — то есть это успех или провал. Матожидание, очевидно, равно p, дисперсия равна p*q. В общем-то, эти формулы вы можете самостоятельно вывести, подставив n = 1 в биномиальное распределение, которое мы рассматривали в прошлом уроке. Графики распределения Бернулли тоже довольно просты: и там, и там нужно рассмотреть всего две точки. Вероятность уже априори посчитана, и чтобы построить график, достаточно снова посмотреть на определение этого распределения. Для нуля, то есть неуспеха, вероятность равна вероятности неуспеха, что равно q, для единицы — вероятности успеха, то есть p. А вот для функции распределения уже нужно посчитать, но всё равно совсем чуть-чуть. Для нуля мы учитываем только вероятность неуспеха, а для единицы — вероятность неуспеха плюс вероятность успеха, а это по определению вероятности равно единице.
