Здравствуйте! Перед тем как мы перейдем к рассмотрению распределения этого урока, рассмотрим следующую задачу. По условию известно, что некоторое событие A проявляется с некоторой известной заранее вероятностью p. Проведем этот эксперимент некоторое количество раз. Обозначим количество попыток как n, то есть сколько раз мы всего проведем этот эксперимент. И зададимся вопросом: какова вероятность того, что в k из n этих экспериментов результатом стало наше загаданное событие A? Если объяснять на примере, то можем взять снова бросок кубика. Допустим, нам предстоит бросить кубик пять раз подряд и нам нужно определить вероятность того, что два раза выпадет шестерка. Вы можете самостоятельно попробовать решить такую задачу. Важно определить, что такое в этом эксперименте есть элементарное событие. Однако давайте сразу рассмотрим готовое решение. В рамках исследования этого вопроса нам нужно вспомнить такую формулу комбинаторики, как число сочетаний. Я снова напомню, что это количество способов достать k элементов из набора, где всего n элементов, так, чтобы два набора, состоящих из одинаковых элементов, но расставленных в разных порядках, не являлись разными наборами, то есть учитывались всего один раз. Формулу числа сочетания я вывел на слайд, вы можете посмотреть ее. Похоже ли это число на то, что мы пытаемся найти в поставленной задаче? Очень даже похоже. Мы считаем количество попыток получить успех k раз среди n испытаний. Теперь надо как-то учесть вот эту вероятность p. Оказывается, достаточно умножить полученное число сочетаний на вероятность, но возвести ее в степень k и дальше умножить на вероятность еще неуспеха, но ее уже взять в степень n минус k. Вероятность неуспеха, обозначенная как q, это вероятность не получить интересующий нас исход с вероятностью p. Мы можем заключить, что q равно единица поделить на p, так как единица у нас — стопроцентная вероятность. А что же такое n минус k? n минус k — это количество неуспехов, которое мы хотим получить. Теперь все встает на свои места. Берем количество способов выбрать k экспериментов из n, дальше берем k успехов, то есть p в степени k и дальше берем q в степени n минус k и перемножаем эти величины. Получим число, которое обозначает вероятность получения k успехов при проведении испытания с вероятностью p n раз. Такую модель называют схемой Бернулли и обозначают ее как p от k с индексом n. Посмотрим на пример решения такой задачи уже с подстановкой реальных чисел. Давайте рассмотрим какой-нибудь завод, который выпускает телефоны. Мы знаем, что после выхода с этого завода примерно один из 100 телефонов оказывается бракованным, то есть непригодным для использования. Вычислили мы это простым способом: завод уже работает год, и мы просто взяли и поделили количество зафиксированных случаев брака и поделили его на общее количество телефонов, выпущенных на этом заводе. Теперь попробуем посчитать, какова вероятность того, что завод не выпустит ни одного вообще бракованного телефона в партии, допустим, из 100 штук. Формализуем задачу. Вероятность равна один поделить на 100, 0.01. В данном случае успехом мы обозначим вероятность получить бракованный телефон, как бы парадоксально это ни звучало, но мы математики, мы можем так делать. Количество таких успехов или бракованных телефонов должно быть равным нулю по заданным условиям, то есть k равняется нулю. Всего партия у нас состоит из 100 телефонов, то есть n равно 100. Теперь посчитаем нужные нам величины: q — это вероятность неуспеха или вероятность получения не бракованного, то есть нормального телефона, она у нас равняется один минус 0,01, то есть 0,99, 99 процентов. C из нуля по 100 равно единице. Действительно, существует только один способ не выбрать ни одного телефона из нашей партии. После этого подставим посчитанные нами значения в формулу так, как это у вас выведено на слайде, и получим результат. Вероятность такого события примерно равна 0.367. Попробуем увеличить количество и посчитать вероятность получить один бракованный телефон. Поменяем цифру в формуле и увидим, что вероятность повысится. Это в общем-то и ожидаемо, скорее всего, нам будет хотеться проверить все такие вероятности. Именно для этого и существует распределение, которое мы должны рассмотреть. Оно называется биномиальное распределение. Запишем следующую случайную величину, пусть ее значениями выступает значение параметра k для схемы Бернулли. Выпишем также их вероятности. Очевидно, что таких величин будет всего 100 штук. Мы знаем, как посчитать вероятность каждого из них. Получится таблица, которая показывает значение и вероятности значений нашей случайной величины. Это распределение довольно распространено, поскольку оно описывает широкий спектр задач. Мы можем оценивать, сколько раз нам нужно сделать какое-то действие, чтобы прийти к успеху, основываясь на этих данных. Естественно, с погрешностью на вероятность. У этой случайной величины есть всего два параметра — это количество испытаний k и вероятность получить загаданное нами событие p. Давайте посмотрим, как эта величина распределяется. На первом графике изображены значения вероятностей этой случайной величины. Взяты все 101 возможные значения и синим обозначена случайная величина с параметрами p равная 0.01 и n равная 100. Оранжевым обозначена случайная величина, у которой вероятность побольше, p равняется 0.1. Второй график содержит те же величины с теми же цветами, но взяты не все 101 значение, а только 11 значений, то есть до 10. Что мы можем увидеть, так это то, что вероятность получить k успехов самая высокая. Это и ожидаемо. Но интересно не столько это, а отношение вот этого пика к другим значениям. Как вы можете увидеть, самая высокая, находящаяся выше всех оранжевая точка не набирает даже половины высоты находящейся выше всех синей точки. Иначе выражаясь, максимальная вероятность у случайной величины с вероятностью 0.01 равна 0.36. А у случайной величины с 0.1 — всего 0.15 сотых. Посмотрим также на функцию распределения. Их графики представлены на двух нижних изображениях, и на них мы можем заметить, что в этом случае чем выше вероятность, тем позже функция вероятностей вырастает. Математическое ожидание и дисперсия этого распределения задается довольно простыми формулами. Матожидание — это n умножить на p. Мы видели отражение этого факта на рисунке: точки все выше и выше, когда они приближаются к значению, равному n умножить на p. Дисперсия учитывает еще и вероятность неуспеха. Мы можем также заметить, что дисперсия всегда меньше или меньше либо равна математическому ожиданию.
