[MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE] Bienvenue à cette leçon qui porte sur les produits dérivés des modèles numériques d'altitude. Nous verrons comment calculer la pente, l'orientation et la courbure, qui sont des paramètres morphométriques très intéressants pour le territoire. >> Comme nous l'avons vu dans la leçon précédente, l'information primaire fournie par un modèle numérique des terrains est l'altitude mesurée, ou calculée, en une série de points distribués sur le territoire. Selon le type de modèle utilisé, ces points sont soit irrégulièrement répartis, soit alignés au centre ou sur les nœuds d'une grille régulière de résolution spatiale donnée. Mais il est possible de produire d'autres informations à partir des modèles numériques d'altitude. En effet, la géomorphométrie s'attache à déterminer des variables globales et locales qui caractérisent les formes du relief. Dans cette leçon, nous présenterons, tour à tour, les principaux indicateurs globaux et locaux du relief. Ensuite de quoi, vous devriez être capables de calculer la valeur de ces variables géomorphométriques. [MUSIQUE] [MUSIQUE] La géomorphométrie est une discipline dont le but est de déterminer des variables capables de caractériser les formes du relief. Il en existe une approche globale et une approche locale. On parle d'approche globale lorsque la zone d'étude est considérée comme un ensemble, pour lequel on souhaite définir une ou des caractéristiques, au moyen d'un indicateur calculé sur une base statistique. Grâce aux indicateurs globaux, il est possible de comparer rapidement le relief de plusieurs régions, ou de différents bassins versants. [MUSIQUE] L'altitude minimale et l'altitude maximale sont des indicateurs de statistiques descriptives, couramment utilisés pour résumer les propriétés d'un modèle numérique de terrain. La courbe hypsométrique, ici en bleu, est un indicateur global qui exprime la répartition de la surface d'un bassin versant en fonction de l'altitude, entre les valeurs minimales et maximales qui sont illustrées dans la figure du haut. Cette courbe sert à estimer le comportement hydrologique et hydraulique d'un bassin, et de son système de drainage. Les classes d'altitude moyenne, les classes de pente moyenne et les distances entre sommets de même classe d'altitude, sont des paramètres qui permettent de caractériser globalement la rugosité du relief. [MUSIQUE] L'approche géomorphométrique locale recouvre les fonctions de calcul de variable, qui décrivent une propriété locale, comme la pente ou l'orientation. Cette approche peut être assimilée à une procédure de filtrage du modèle numérique d'altitude, par une fenêtre mobile, dont le résultat est la variable souhaitée. La nouvelle valeur du pixel central, ou pixel d'intérêt, est calculée en prenant en compte les valeurs des pixels qui sont compris dans la fenêtre glissante, ce qu'on appelle aussi le voisinage. Il y a donc plusieurs manières de mettre en pratique l'approche locale, en faisant varier la taille et la forme de la fenêtre glissante. Comme la fenêtre mobile est toujours centrée sur le pixel dont il faut calculer la valeur, l'opération rencontre des situations impossibles pour les lignes et les colonnes des bords. C'est ce qu'on appelle les effets de bord, justement. Et dans ce cas, le système utilisé peut affecter la valeur 0, aux endroits où l'information est manquante, et produire une valeur erronée. Une manière simple d'éviter cette difficulté est d'effectuer les calculs sur un modèle numérique d'altitude plus grand que la zone d'étude. Et il est important de mentionner que la taille de la fenêtre introduit un effet contextuel. Plus la taille s'étend, plus la valeur calculée du pixel d'intérêt est influencée par l'environnement. Souvent, l'agrandissement de la fenêtre produit un lissage du relief. Nous y reviendrons plus tard. Voyons maintenant comment calculer pente, orientation et courbure. [MUSIQUE] La pente est définie comme étant l'inclinaison d'une surface, par rapport au plan horizontal. L'orientation, quant à elle, est une direction déterminée par rapport aux points cardinaux. Du point de vue mathématique, la pente et l'orientation sont parfaitement définies en un point, lorsque la surface est décrite par une fonction analytique, qui représente le gradient de cette surface. Ici, le premier terme correspond à la dérivée seconde partielle de x, et le second, à la dérivée seconde partielle de y. En mode image discret, il est nécessaire de définir pente et orientation pour chaque pixel. Bien que sur le fond, le principe demeure le même, il existe plusieurs algorithmes pour les calculer, selon le voisinage pris en compte. Ce principe est le rapport entre l'élévation et la distance horizontale. Le voisinage pris en compte pour présenter les algorithmes est une fenêtre mobile de 3x3 pixels. Le premier algorithme présenté est celui de la différence maximale aux voisins. Ici, le delta maximum est observé entre le pixel z1 et le pixel d'intérêt z5. Et la pente calculée est égale à l'arctan de 40, divisé par la racine de 2, multiplié par la résolution spatiale du modèle. Pour rappel, racine de 2 correspond à la distance horizontale entre le centre du pixel z1 et le centre du pixel d'intérêt z5. L'algorithme du gradient ligne- colonne consiste à identifier la différence maximale entre le pixel d'intérêt z5 et un autre pixel situé sur la même ligne, ici z6. Et d'autre part, la différence maximale entre le pixel d'intérêt z5 et un autre pixel situé dans la même colonne, ici z8. Le gradient de ligne, appelé G, est égal à la différence entre le pixel d'intérêt z5 et le pixel z6, divisé par la résolution du modèle numérique d'altitude. Et le gradient de colonne, appelé H, est égal à la différence entre le pixel d'intérêt z5 et le pixel z8, divisé par la résolution du modèle numérique d'altitude. Et ces deux gradients permettent de calculer, d'une part, la pente en z5, qui est égale à l'arctan de la racine carrée de (G au carré + H au carré), et d'autre part, l'orientation, qui est égale à pi, moins l'arctan du rapport entre le gradient de colonne H et le gradient de ligne G + pi / 2 * (G / | G |). L'algorithme de Zevenbergen et Thorne est le plus couramment utilisé. On calcule un gradient de ligne G et un gradient de colonne H, pour lesquels la distance horizontale est égale à deux fois la résolution spatiale du modèle. La pente est égale à l'arctan de la racine carré de (G au carré + H au carré). Et l'orientation est égale à pi moins l'arctan du rapport entre le gradient de colonne H et le gradient de ligne G, + (pi / 2) * (G / | G |). Selon le modèle de Zevenbergen et Thorne, les gradients de ligne G et de colonne H, font partie des paramètres de l'équation d'une surface, qui passent exactement par les neuf altitudes de la sous-matrice qui constituent la fenêtre mobile. Les neuf paramètres de A à I peuvent être déterminés à partir des neuf altitudes de la sous-matrice de 3x3 pixels, au moyen de polynômes de Lagrange. Pour déterminer les indices topographiques que sont la pente, l'orientation et la courbure, il faut différencier cette équation, soit trouver les dérivées, et résoudre l'équation résultante, pour le point central de la sous-matrice, formé de 3x3 pixels et dont les coordonnées sont X = Y = 0. La pente est la première dérivée de Z, en fonction de l'orientation. Les relations entre ces neuf paramètres et les neuf altitudes de la sous-matrice sont décrites ici. Pour mémoire, R représente la résolution spatiale ou la distance entre deux centres de pixels, dans la direction des lignes et des colonnes, et doit être de la même unité que Z. Pour plus d'informations, nous vous renvoyons à l'article de Zevenbergen et Thorne, qui est mentionné ici, et dont les références détaillées figurent sur le site web de notre cours en ligne. Le modèle de Horn est basé, quant à lui, sur tous les voisins faisant partie du voisinage du pixel d'intérêt, dans une fenêtre mobile de 3x3 pixels. Ce modèle est également basé sur un gradient de ligne G et un gradient de colonne H. Les voisins les plus proches du pixel d'intérêt ont un poids de 2, et le dénominateur est la somme des distances entre les pixels impliqués. La pente est égale à l'arctan de la racine de (G au carré + H au carré). Et l'orientation est égale à pi moins l'arctan du rapport entre le gradient de colonne H et le gradient de ligne G, + (pi / 2) * (G / | G |). Passons maintenant à la mesure de la convexité et de la concavité du terrain. Une surface est dite convexe ou concave, lorsqu'elle est entièrement située du même côté d'un plan tangent. Dans le cas de la convexité, la courbure est positive, comme ici en vert, et dans le cas de la concavité, elle est négative. La forme du relief influence le processus d'érosion, et une pente convexe va subir une érosion plus forte qu'une pente concave. La convexité et la concavité interviennent aussi pour caractériser la partie haute et la partie basse d'un glissement de terrain. Et dans ce cas, la courbure doit être déterminée dans les deux directions, verticale et horizontale, raison pour laquelle on parle de courbure verticale et de courbure horizontale. Pour mesurer la courbure, on utilise généralement le modèle de Zevenbergen et Thorne. Les gradients de ligne G et de colonne H, utilisés pour le calcul de la pente, sont, dans ce cas, complétés par les paramètres D, E et F, décrits plus tôt. D rend compte de la différence d'altitude entre le pixel d'intérêt et la moyenne de ses voisins de ligne, z4 et z6. Le terme E rend compte de la différence d'altitude entre le pixel d'intérêt et la moyenne de ses voisins de colonne, z2 et z8. Et finalement, le terme F permet de rendre compte des différences d'altitude entre les pixels situés aux extrémités des diagonales de la fenêtre mobile. L'articulation spécifique de ces cinq paramètres permet d'obtenir soit la courbure verticale, dont la formule est affichée ici, soit la courbure horizontale. Il y a deux directions de courbure qui sont orthogonales. L'une en direction de la pente et c'est la courbure verticale, avec un signe négatif. Et l'autre, transversale à la pente, c'est la courbure horizontale, avec un signe positif. Toutes deux sont des dérivées secondes de Z. La cartographie de la convexité et de la concavité est très sensible à la variation de la taille de la fenêtre mobile. Plus la fenêtre est grande et plus l'espace environnant est pris en compte. Selon le mode de calcul, l'augmentation de la taille de la fenêtre va produire un lissage de la pente ou de l'orientation. Et en ce qui concerne la convexité et la concavité, cet agrandissement de la fenêtre mobile va produire un effet structurant qui correspond à une mise en évidence des formes dominantes. [MUSIQUE] [MUSIQUE] Nous sommes arrivés au terme de cette leçon intermédiaire, consacrée au modèle numérique d'altitude. Dans un premier temps, nous avons passé en revue des indicateurs qui permettent de caractériser le relief dans des régions entières, et ceci au moyen de statistiques descriptives et de quelques outils spécifiques, comme la courbe hypsométrique, ou comme les indicateurs de rugosité. Nous nous sommes ensuite intéressés à la technique des fenêtres mobiles ou des fenêtres glissantes qui permettent de déterminer des indicateurs de reliefs locaux, comme la pente, l'orientation ou la courbure. Nous avons vu aussi que la variation de la taille de la fenêtre mobile permet d'obtenir des effets utiles en cartographie du relief, comme le lissage de la pente ou de l'orientation. Et ces outils de généralisation des modèles numériques d'altitude sont très utiles, ceci surtout à un moment où la résolution des modèles proposés par les technologies d'acquisitions récentes est de plus en plus fine. [MUSIQUE] [MUSIQUE]
