Ce cours constitue la seconde partie d'un enseignement consacré aux bases théoriques et pratiques des systèmes d’information géographique. - Il propose une introduction aux systèmes d’information géographique qui ne requiert pas de connaissances préalables en informatique. - Il donne la possibilité d’acquérir rapidement les notions de base qui vous permettent de créer des bases de données spatiales et de fabriquer des cartes géographiques. - Il s’agit d’un cours pratique qui repose sur l’utilisation de logiciels libres, notamment QGIS. Lors de la première partie du cours, vous avez exploré les principes de base de la numérisation du territoire et du stockage des géodonnées. Vous avez notamment appris à : - Caractériser des objets et des phénomènes spatiaux (modélisation du territoire) du point de vue de leur positionnement dans l’espace (systèmes de coordonnées et projections, relations spatiales) et en fonction de leur nature intrinsèque (mode objet ou vecteur vs. mode image ou raster); - Utiliser diverses méthodes d’acquisition de données (mesure directe, géoréférencement d’images, digitalisation, source de données existantes, etc.); - Utiliser divers modes de stockage des géodonnées (fichiers simples et bases de données relationnelles); - Utiliser des outils de modélisation des données pour décrire et implémenter une base de données; - Créer des requêtes dans un langage d’interrogation et de manipulation des données. La seconde partie du cours porte sur les méthodes d'analyse spatiale et les techniques de représentation de l'information géoréférencée. Vous apprendrez notamment à: - Analyser les propriétés spatiales de variables discrètes, par exemple en quantifiant l’autocorrélation spatiale; - Travailler avec des variables continues (échantillonnage, interpolation et construction de courbes d’isovaleurs) - Utiliser les modèles numériques d'altitude et leurs dérivées (pente, orientation, etc.); - Utiliser des techniques de superposition des géodonnées; - Produire des documents cartographiques selon les règles de la sémiologie graphique; - Explorer d’autres formes de représentation spatiale (cartographie interactive sur internet, représentations 3D, et réalité augmentée). La page https://www.facebook.com/moocsig fournit un forum interactif pour les participants à ce cours.
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En provenance du cours de École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Systèmes d’Information Géographique - Partie 2
20 notes
À partir de la leçon
Phénomènes spatiaux continus
Un phénomène est dit continu dans l'espace s’il est défini en tout point de l'espace géographique et que ses propriétés varient localement de manière graduelle et structurée. L'altitude, l'humidité d'un sol, la teneur en métaux lourds ou autres polluants des sols en sont des exemples. Ce chapitre traite des modes d'échantillonnage, puis présente les fonctions d'interpolation dites déterministes car elles ne se basent sur aucune étude préalable du phénomène. Le cœur de la leçon est consacré à une introduction à la géostatistique basée sur la notion de fonction aléatoire. On traite successivement les concepts des variables régionalisées, de la variographie et du krigeage.
Rencontrer les enseignants
Marc Soutter
Laboratoire de Systèmes d'Information Géographique
Stéphane Joost
Laboratoire de systèmes d'information géographique
Fernand Koffi KouaméProfesseur
Centre Universitaire de Recherche et d'Application en Télédétection (CURAT) - Université Félix HOUPHOUET-BOIGNY d'Abidjan-Cocody (Côte d'Ivoire)
Amadou Sall
Département de Géomatique - Centre de Suivi Ecologique (CSE), Sénégal
[MUSIQUE]
[MUSIQUE]
[MUSIQUE]
[MUSIQUE]
Bonjour et bienvenue dans cette leçon dédiée à la géostatistique et au krigeage,
une méthode d'interpolation avancée.
Nous avons vu dernièrement que l'incertitude des résultats fournis par
les méthodes d'interpolation déterministe locale posait problème.
Des connaissances plus approfondies sur la nature de la distribution spatiale étaient
nécessaires et dès les années 1940, c'est sur ce sujet
qu'ont porté les travaux de recherche de Danie Krige et de Georges Matheron.
Leurs contributions respectives ont permis de développer
et de consolider le concept de variable régionalisée.
Le premier but de cette leçon est de présenter le concept de variable
régionalisée, introduit pour décrire la nature particulière d'une variable
qui caractérise un phénomène spatial continu.
Ce type de variable joue un rôle fondamental en géostatistique.
Ensuite, nous introduirons des notions et des outils clés comme la nuée
variographique ou le variogramme,
avant de vous expliquer le fonctionnement du krigeage.
Ces informations vous permettront d'acquérir des connaissances de base
en géostatistique et d'appliquer une procédure standard d'analyse
variographique et d'interpolation par krigeage à tout jeu de mesures
qui caractérise un phénomène spatial continu.
Nous allons commencer par une brève introduction à la géostatistique,
puis nous suivrons le fil d'une procédure d'analyse variographique empirique, ce qui
permettra d'introduire progressivement des notions de nuée variographique,
de variogramme expérimental, de variogramme surfacique et directionnel
et de variogramme théorique, avant de passer au krigeage.
[MUSIQUE] Dans quelle mesure peut-on
estimer une valeur en un point quelconque d'un domaine par interpolation?
Et si la réponse est affirmative,
quelle loi d'interpolation est-il judicieux d'appliquer?
Est-elle linéaire?
Est-elle quadratique ou d'une autre nature encore?
Ces questions trouvent une réponse si l'on est capable de proposer une
théorie complète et rigoureuse qui permet de modéliser la relation entre
le comportement de l'échantillon et celui du phénomène sur l'ensemble du domaine.
Cette problématique relève de la géostatistique qui a pris ses racines dans
l'étude des fonctions aléatoires,
développée notamment par Kolmogorov et Weiner au cours des années 1930 et 1940.
Mais on attribue les premiers travaux à l'ingénieur des mines
sud-africain Danie Krige.
Krige a examiné les corrélations spatiales entre deux points
échantillonnés en fonction de la distance qui les sépare
et il a proposé le variogramme pour les représenter.
Son approche a été reprise ensuite par le mathématicien français, Geogres Matheron,
au début des années 1960 pour en établir les fondements théoriques.
Matheron a notamment introduit le concept de variable régionalisée
pour décrire la nature particulière d'une variable caractérisant
un phénomène spatial continu et il a fait appel à la notion de
fonction aléatoire pour élaborer une théorie rigoureuse et complète.
Le concept de variable régionalisée et le variogramme sont les deux outils de base
au service des techniques d'interpolation par krigeage.
Nous allons découvrir leur rôle et leur fonctionnement
en appliquant progressivement une procédure d'analyse variographique à un
jeu de données empiriques.
Une campagne d'échantillonage a permis de récolter des échantillons de sol
et de mesurer les teneurs d'arsenic,
de cadmium et de plomb, exprimées en partie par million ou ppm.
Toute analyse de ce type débute par une caractérisation descriptive du jeu de
données, basée sur des indicateurs statistiques.
Il s'agit dans un premier temps de se faire une idée des données à disposition,
avec pour objectif de décrire les caractéristiques statistiques de la
variable, d'observer si la variable se comporte de manière homogène
sur l'ensemble du domaine et de vérifier aussi si la variable satisfait
aux exigences des outils statistiques utilisés pour la régionalisation.
On va pour commencer, cartographier le domaine échantillonné,
puis calculer un certain nombre d'indicateurs statistiques
qui fournissent une première vision des propriétés des valeurs mesurées.
Cette étape permet de déceler d'éventuelles incohérences ou des valeurs
aberrantes pouvant provenir d'erreurs de mesure.
Ici dans le tableau, le fait d'observer une variable maximale pour l'arsenic,
très écartée de la moyenne,
laisse présager la présence d'une ou de plusieurs mesures aberrantes.
[MUSIQUE]
Les indicateurs de statistiques descriptives ne donnent aucune
indication sur le comportement local de la variable d'intérêt sur le domaine D.
Ils ne tiennent pas compte de la localisation des sites échantillonnés et
ne sont que des indicateurs globaux.
Il convient donc de mettre en évidence le comportement spatial
et local du phénomène, c'est ce que l'on appelle la nuée variographique
qui nous permet d'effectuer cette opération.
Pour étudier la variation locale, le principe de la nuée variographique
est d'analyser les différences de valeurs entre paires de sites proches,
puis éloignés, et puis finalement entre toutes les paires de points du domaine.
Une possibilité est le calcul de la différence entre paires de points
et d'en tirer la moyenne, c'est la formule qui apparait en jaune, en haut, à droite.
Ici, ∆(z) peut prendre des valeurs positives ou négatives de sorte que
la moyenne peut être nulle indépendamment de l'amplitude de la variation de la
variable, Il n'est donc pas un bon indicateur du comportement de la variable.
En revanche, le carré de la différence permet d'éviter cet inconvénient.
On crée alors l'indicateur γ*(˙h) où h est la distance entre les points de
mesure α et ß, et qui est constituée des carrés des différences que l'on divise par
deux pour exprimer la variation sur un point seulement,
c'est la demi-différence quadratique.
Pour analyser le comportement de toutes les paires de points,
nous utilisons un diagramme de dispersion des écarts quadratiques,
justement appelé nuée variographique.
Ce diagramme montre les valeurs de γ*(h) par rapport à h.
Les paires de points ne sont représentées qu'une seule fois.
Il est important de noter que cette approche ne tient pas
compte de l'orientation des paires de points,
la nuée variographique est dite omnidirectionnelle.
[MUSIQUE]
Passons maintenant à l'étape suivante de la procédure d'analyse.
La nuée variographique a produit un grand nombre de paires et il n'est pas aisé de
dégager un enseignement de la dispersion des demi-écarts quadratiques.
On y parvient en segmentant le domaine en classes de distance,
symbolisées ici par les barres oranges, de manière similaire à un histogramme.
Un pas ∆(h) est choisi, ou lag ∆(h) en anglais, et
pour chaque intervalle de h(o) à h(n), on calcule la moyenne des valeurs de γ*(h).
Nous verrons plus loin sur la base de quels critères la valeur du pas,
ou du lag, est établie.
Les moments où on considère une moyenne par classes de distance,
la dispersion quadratique est désignée par γ(h),
sans l'astérisque, et prend le nom de variogramme expérimental.
Les nombres inscrits en bleu, au-dessus des points moyens de l'histogramme,
désignent le nombre de paires ayant servi au calcul.
Plus le nombre de paires est élevé, plus la moyenne du pas est représentative.
Une valeur produite par un nombre de paires trop faible n'est pas acceptable
en termes statistiques.
Il y a lieu dans ce cas d'augmenter la taille du pas de sorte qu'un
plus grand nombre de paires soit inclus.
La ligne reliant les points facilite l'interprétation du variogramme.
Le variogramme expérimental est caractérisé par divers paramètres : la
portée est la distance à partir de laquelle l'autocorrélation disparait,
le palier est la partie plane du variogramme,
censée apparaître au-delà de la portée, la pépite est déterminée par
l'intersection du tracé du variogramme expérimental avec l'ordonnée et la pépite
du variogramme représente l'incertitude sur la mesure en chaque point.
Le nom de pépite a été proposé par Krige dans le contexte de l'extraction d'or dans
les mines d'Afrique du Sud, la présence d'une pépite créant en effet une
discontinuité dans la densité du minerais.
Une paire de sites de mesure très proches produit ainsi pour l'un, une teneur très
faible, et pour l'autre, une teneur très élevée, ce qui produit de l'incertitude.
Théoriquement, la hauteur du palier correspond à la variance de la variable.
Si cette hypothèse est respectée, la valeur de γ(h(x)) peut être
interprétée comme l'incertitude qui affecte une teneur z estimée de s
et éloignée d'une distance h(x) du point d'appui le plus proche.
En pratique,
la coincidence palier-variance n'est pas souvent observée,
mais l'interprétation proposée en termes d'incertitude reste tout de même valable.
[MUSIQUE] [MUSIQUE]
[AUDIO_VIDE] Nous
allons maintenant expliquer comment prendre cette orientation en compte.
Si le phénomène manifestait un comportement différent selon
l'orientation, en d'autres termes s'il était anisotrope,
le variogramme omnidirectionnelle ne le révélerait pas.
Comment alors mettre en évidence un tel comportement potentiel?
Faisons une petite experience de pensée pour commencer dans le but
de visualiser un phénomène régionalisé anisotropique.
Le relief d'une vallée exprimé par l'altitude est un bon exemple.
Son comportement est différent si on l'observe dans la direction du cours d'eau
ou au contraire perpendiculairement à celui-ci.
La solution est de représenter la nuée variographique ou le variogramme
sur un diagramme dont les axes sont les composantes h de x et h de y
de la droite reliant les paires de points.
Les valeurs de gamma de h sont portées perpendiculairement au plan
h de x, h de y.
Un tel variogramme correspond à un histogramme bivarié.
Il est dénommé variogramme surfacique.
La figure ici à l'écran présente un variogramme surfacique de la
teneur en arsenic qui met en évidence les directions principales
d'anisotropie de son comportement spatial.
Les valeurs de gamma de h sont représentées en tons de gris
selon l'échelle située sur la droite de l'image.
Ce variogramme est construit sur la base de cinq pas de 20 mètres.
La concentration en arsenic présente un comportement anisotrope.
Elle montre une continuité maximale dans la direction 160 degrés et
minimale dans la direction 60 degrés.
De manière générale, si le variogramme surfacique est uniformément réparti autour
de son centre, le comportement de la variable est isotrope.
Les isovaleurs forment des cercles concentriques.
Mais si les isovaleurs forment des ellipses concentriques, il y a anisotropie
dite géométrique et le pallier est le même dans toutes les directions.
Et si le pallier n'est pas le même dans toutes les directions,
l'anisotropie est dite zonale.
Lorsqu'une anisotropie est détectée,
on procède au calcul des variogrammes dans les directions observées.
Dans ce cas, pour éviter qu'un nombre trop restreint de paires soient pris en compte,
on définit une tolérance angulaire.
On inclura donc toutes les paires dont l'orientation se situe dans un intervalle
de direction principal plus ou moins une certaine tolérance.
Par exemple, 60 degrés pour la direction principale et plus ou moins 20 degrés.
Nous avons représenté ici les variogrammes calculés d'une part
pour la direction de la continuité maximale de la concentration en arsenic,
160 degrés, et pour sa direction perpendiculaire, 60 degrés.
[MUSIQUE] [MUSIQUE]
Nous avons vu que le variogramme expérimental permet d'exprimer
la dépendance entre les valeurs mesurées entre deux points constituant une
paire de sites en fonction de la distance qui les sépare.
Cette dépendance peut être interprétée comme un poids
que l'on attribuera au point de mesure dans une procédure d'interpolation Alors,
comment exploiter une telle propriété?
Pour mettre en œuvre l'interpolateur jugé optimal qui est le krigeage
et que nous présenterons dans un instant, les variables spatiales échantillonnées
doivent être interprétées en termes de variables aléatoires.
Cependant, les contraintes fixées sur les variables aléatoires ne peuvent pas
exploiter directement les informations fournies par le variogramme expérimental
pour correspondre à la réalité et à la solution des équations de krigeage.
Le variogramme expérimental doit être ajusté par un tracé
qui ne peut être le fait que d'un nombre restreint de fonctions dites autorisées
pour la modification du variogramme théorique.
Ces fonctions autorisées sont le modèle de la pépite pure avec un gamma de h qui est
constant, le modèle linéaire, le modèle exponentiel,
le modèle gaussien et le modèle sphérique.
Les combinaisons de ces différentes fonctions sont également autorisées.
Toutefois, il faut être conscient qu'un seul variogramme
est défini pour l'ensemble du domaine et pour toutes les directions,
même si l'analyse a mis en évidence une anisotropie.
En général, les logiciels de variographie offrent un mode d'ajustement et
calculent les paramètres nécessaires pour permettre l'interpolation par krigeage.
Ici à l'écran, nous avons un exemple d'interface de paramétrisation permettant
l'ajustement par un variogramme théorique des valeurs de gamma de h
par une combinaison de fonctions, soit une fonction sphérique
pour la première structure et une fonction exponentielle pour la seconde.
[MUSIQUE]
[MUSIQUE] Une fois les différentes étapes
de l'analyse structurelle effectuées, il reste à exploiter les résultats par un
interpolateur capable d'en tirer le maximum de profits et c'est le krigeage.
Le problème du krigeage consiste à trouver la meilleure estimation possible de la
variable régionalisée z de S compte tenu de l'information disponible, c'est-à-dire
compte tenu des valeurs déterminées en un certain nombre d'échantillons.
Du point de vue théorique,
le meilleur estimateur est celui qui satisfait à deux conditions.
Premièrement, être sans biais,
ce qui correspond à une espérance des résidus qui est nulle.
Donc, la moyenne des écarts entre les valeurs estimées
et les valeurs mesurées est nulle.
Et d'autre part, être optimal.
Ce qui correspond à minimiser la variance estimée.
Donc, la variance des écarts entre valeurs estimées et valeurs mesurées est minimale.
Cette hypothèse permet par la suite de calculer une incertitude d'estimation sur
les sites interpolés.
Et c'est cette propriété qui constitue une des grandes qualités du krigeage.
Le krigeage dit ordinaire est utilisé dans la situation la plus courante.
On a un domaine qui a été échantillonné et
dont la moyenne peut être considérée comme constante.
Et l'étude variographique a montré que les hypothèses de stationnarité
sont respectées.
L'espérance mathématique sur les résidus est nulle et
la variance correspondante ne dépend que de h.
Le krigeage est un interpolateur linéaire.
La valeur estimée est une somme pondérée des valeurs prises par les sites dans son
voisinage.
Il est de ce fait un cas particulier de l'interpolateur, moyenne mobile pondérée,
que nous avons déjà examiné.
Une valeur estimée est donc produite par l'équation suivante
où les gammas de alpha sont les inconnues.
Pour déterminer ces inconnues, nous devons appliquer les deux
équations qui définissent les propriétés du krigeage,
soit un estimateur d'une part sans biais et d'autre part optimal.
Pour commencer,
de la propriété sans biais, on tire une première condition sur les poids.
Cette somme des poids doit être égale à 1.
En fait, on montre que si cette somme est égale à 1, elle vérifie l'équation qui
définit la condition sans biais, soit une espérance des résidus qui est nulle.
L'estimateur doit également être optimal,
donc la variance estimée doit être minimale.
Cette variance est exprimée par le variogramme gamma de h conformément à des
conditions spécifiques définies par Matron dans les fondements théoriques de
l'analyse structurale mais dans les détails desquels nous n'entrerons pas ici.
L'important étant de retenir où ici en rouge
les informations produites par le variogramme interviennent dans l'équation
qui permet de minimiser la variance estimée.
Le minimum de variance estimée est atteint lorsque sa dérivée par rapport au
poids est nulle.
La première étape pour résoudre l'équation est donc de calculer sa dérivée.
Et la solution finale exige une méthode particulière basée sur les paramètres de
Lagrange et ses développements ne sont pas présentés ici.
En synthèse, le krigeage doit sa robustesse au fait que son fonctionnement
est conditionné par des paramètres produits par le variogramme.
Les deux conditions que nous venons d'analyser permettent principalement de
définir la pondération liée à la distance qui caractérise les points de mesure.
Et finalement d'inférer au mieux des valeurs intermédiaires.
[MUSIQUE]
[MUSIQUE] L'analyse structurale dont la composante principale
est la variographie est un préalable à toute procédure d'interpolation.
Cette dernière est arbitraire en l'absence d'une structure,
c'est-à-dire en l'absence de l'existence d'un comportement prévisible
de la variable entre deux sites de mesure.
Cette analyse structurale consiste à élaborer un variogramme expérimental sur
la base de la différence des teneurs mesurées entre toutes les paires de sites
d'échantillonnage et réparties en classes de distance.
C'est ensuite l'ajustement d'un modèle théorique à ces valeurs empiriques qui
permettra de fournir les paramètres utiles aux calculs d'interpolation par krigeage.
L'approche choisie dans cette leçon comme introduction à la variographie
est de nature strictement empirique.
Cette approche est fondée car elle met en jeu des connaissances simples
mais établies.
Néanmoins, vous vous serez sans doute aperçu qu'elle repose sur
des hypothèses qui n'ont pas été évoquées
et qui ne s'insèrent dans aucune théorie mathématique complète et rigoureuse
susceptible d'expliquer notamment comment modéliser la dépendance
entre sites de mesure mise en évidence par le variogramme expérimental.
Les fondements théoriques de l'analyse structurale ont été développés par Matron
et nous renvoyons aux références indiquées sur les pages web de ce MOOC pour plus
d'informations.
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