[MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE] Bienvenue à cette leçon qui va porter sur l'interpolation. L'interpolation est une méthode qui va vous permettre de généraliser l'information discrète acquise sur le territoire. >> Un ensemble >> de points échantillonnés, selon l'une des procédures présentées à la leçon précédente, est en mesure de fournir des informations intéressantes sur le domaine auquel ils appartiennent. Et en effet, par l'intermédiaire d'indicateurs statistiques comme la médiane ou la moyenne, on peut obtenir des informations utiles mais globales sur la zone étudiée. Et l'intérêt principal de l'échantillonnage est de permettre d'estimer la valeur de la variable, en tout point du domaine, par interpolation. Et quel que soit son mode opératoire, une interpolation est une inférence, c'est-à-dire une prédiction arbitraire ou justifiée d'une valeur de la variable, en un point non mesuré. Les buts de cette leçon sont d'expliquer le fonctionnement des principales méthodes d'interpolation déterministes, et leurs déclinaisons en une approche globale et une approche locale. Les notions présentées vous permettront d'acquérir la capacité de calculer des valeurs interpolées sur tout jeu de données qui contient des échantillons géoréférencés. [MUSIQUE] Les méthodes d'interpolation dites déterministes, présentées dans cette leçon, sont des méthodes lors de l'application desquelles aucune étude statistique sur le comportement de la variable n'est effectué. Et le choix de la méthode la plus appropriée va reposer sur l'expérience de l'analyste, et sur les connaissances qu'il possède du phénomène étudié. Il existe deux familles de méthodes d'interpolation déterministes. Ce sont les méthodes globales et les méthodes locales. Une méthode est dite globale si le modèle spatial du phénomène est construit en prenant en compte tous les points de mesure existant sur le domaine étudié. Les méthodes locales, quant à elles, ne prennent en compte qu'un nombre limité de points d'appui au voisinage du point à estimer. De plus, elles permettent d'attribuer des poids particuliers à chaque point de mesure, notamment en fonction de la distance. [MUSIQUE] Les méthodes globales sont utilisées pour analyser les tendances de distribution spatiale d'un phénomène dans un domaine donné. Et nous présentons ici une approche globale, qui consiste à calculer un polynôme de degré 1, ou de degré supérieur, et qui minimise les écarts aux points de mesure, selon la méthode des moindres carrés. Il en résulte une surface de tendance, représentative du comportement moyen du phénomène, dans le plan des coordonnées x, y. Et z représente ici la variable mesurée. Les modèles de référence, qui peuvent être soit un plan, soit une surface de degré 2 ou 3 sont trop simples, dans la majorité des cas, pour fournir une approximation réaliste de la distribution spatiale de la variable. Mais les surfaces de degré supérieur à 5 ne sont pas faciles à calculer. C'est la première raison pour laquelle on préfère les méthodes d'interpolation locales. Une autre raison plus fondamentale est qu'il n'est pas très utile de faire intervenir des points de mesure au-delà d'une distance seuil d'autocorrélation, car la dépendance spatiale est, par hypothèse, locale et non globale. [MUSIQUE] [MUSIQUE] Les méthodes d'interpolation locales ne prennent en compte qu'un nombre limité de points de mesure au voisinage du point à estimer. De plus, elles permettent de pondérer ces points de mesure, en fonction de leurs distances aux pixels à prédire, ou encore éventuellement, en fonction d'une information de qualité de mesure, liée à l'utilisation d'un instrument spécifique. Plusieurs méthodes existent et leur choix dépend de la densité de l'information que l'on possède, de la précision souhaitée, de l'objectif principal de l'interpolation, et comme évoqué plus tôt, de la connaissance préalable que l'on a du phénomène. La première méthode présentée est celle du plus proche voisin. La valeur attribuée en un point quelconque du domaine est celle de son plus proche voisin. La détermination du plus proche voisin est basée sur l'appartenance du point à interpoler, à la zone d'influence des points de mesure. Ces zones d'influence sont déterminés par les médiatrices des segments. Ces médiatrices délimitent ce que l'on appelle les polygones de Thiessen. Et tout point à prédire, situé à l'intérieur d'un polygone, est sensé prendre la même valeur que celle du point de mesure correspondant, soit ici la valeur S2. Cette méthode transforme en fait le phénomène continu en un modèle spatialement discret. La deuxième méthode d'interpolation locale que nous décrivons est une méthode basée sur un réseau de triangles, abrégé TIN en anglais, pour triangulated irregular network. Un TIN est formé en reliant les points d'appui entre eux, de manière à former un réseau de mailles triangulaires. Ce TIN est élaboré à partir de la méthode de Delaunay, dont la particularité est de créer des triangles dont les angles ne sont pas supérieurs à 90 degrés. La variation du paramètre à l'intérieur de chaque triangle est donc supposée linéaire. Et l'interpolation est réalisée en établissant l'équation à trois inconnues du plan qui est formé par chacune des facettes triangulaires. Les trois inconnues sont a, b et c. Et elles sont déterminées par les valeurs connues des trois sommets du triangle. Pour mettre en œuvre cette méthode, on choisit en général des points de mesures caractéristiques, qui sont situés par exemple sur les crêtes, ou au fond des talweigs. À l'origine, l'interpolation par TIN a été développée en cartographie pour créer manuellement des lignes d'isovaleurs, comme les courbes de niveaux du relief. Historiquement, le mot spline désigne, en anglais, une latte de bois longue et mince, utilisée par les jardiniers pour dessiner une courbe passant par des pieux plantés en terre. Une application plus récente de la latte de bois est la règle flexible, appelée Cobra, utilisée pour dessiner une courbe simulant, au mieux, la répartition linéaire d'une collection de points. La méthode B-spline est une mathématisation de cette pratique. Au lieu de rechercher une seule équation qui modélise une courbe passant par tous les points d'appui, un polynôme du troisième degré est calculé pour quatre points successifs, contenus dans une fenêtre mobile, comme l'illustre la figure à l'écran, pour le cas à une dimension. On suppose que pour chaque intervalle, l'évolution de la variable à prédire, z de x, est correctement simulée au moyen d'un polynôme p de x. On glisse ensuite la fenêtre mobile d'un point vers la droite, et on estime à nouveau le polynôme, pour l'intervalle suivant. Le calcul du polynôme p de x est élaboré par l'introduction de contraintes à la jonction de deux polynômes consécutifs. La première contrainte est l'intervalle dans lequel x est compris, la deuxième concerne la continuité au changement de segment, en jaune ici. La troisième concerne la continuité au cas où un point d'inflexion se trouve au point de jonction de deux polynômes. Dans ce cas, la continuité est assurée par égalité approximative des dérivées secondes. Passons maintenant à l'interpolation par moyenne mobile pondérée, ou Inverse Distance Weighting en anglais, très souvent abrégée IDW. L'estimation de la variable est calculée en s'appuyant sur les valeurs de quelques points mesurés dans le voisinage, et en leur attribuant un poids, en fonction de la distance, notamment. Cette approche correspond à l'intuition selon laquelle un point éloigné a moins d'influence qu'un point rapproché. Pour mettre en œuvre l'IDW, il faut répondre à certaines questions. Quelle taille de voisinage définir? Combien de points de mesure faut-il inclure? Quel poids respectif convient-il de leur accorder? Faut-il tenir compte de l'orientation relative du phénomène? Et là, c'est la notion d'anisotropie que nous abordons, et sur laquelle nous reviendrons, plus en détail, lors de la leçon suivante. La réponse à ces questions essentielles varient en fonction de la région d'étude. Elle varie aussi en fonction du phénomène considéré et de la configuration de l'échantillon des points de mesure. Dans le cadre déterministe, l'analyste doit se baser sur sa propre expérience, pour fixer des valeurs aux paramètres évoqués. En ce qui concerne la pondération, par exemple, on considère que plus un point mesuré est éloigné du point interpolé, moins il a d'influence. On choisit, dans ce cas, une fonction inverse de la distance, ou inverse au carré de la distance. Une fois que le nombre de points d'appui est sélectionné, soit ici cinq points, situés dans le cercle C, autour de la valeur à prédire, cette dernière est égale à la moyenne pondérée de ces cinq points d'appui. Le poids accordé aux points de contrôle z de alpha peut, par exemple, être proportionnel à 1 sur la distance, ou 1 sur la distance au carré, ou encore 1 sur la distance à une puissance plus élevée. Et plus la puissance est élevée, plus l'effet local est accentué. Les méthodes locales d'interpolation que nous venons de passer en revue ne contiennent pas de moyens d'estimer l'incertitude liée aux valeurs estimées. Pour évaluer cette incertitude, on doit recourir à une méthode de validation croisée. Cela consiste à partager l'échantillon de manière aléatoire, en deux parties. Les points de mesure de l'un des deux groupes servent à l'interpolation. Alors que les points de mesure du second servent de tests. En chaque site test, on va comparer la valeur estimée avec la valeur mesurée et en déduire l'incertitude. En général, en calculant la différence entre les moyennes quadratiques des deux distributions. La moyenne quadratique est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés des valeurs. La méthode est répétée plusieurs fois avec, à chaque reprise, un nouveau jeu de sites d'appui et de sites tests, aléatoirement déterminés, de manière à éviter tout biais dans la sélection de sites. Les résultats de cette validation croisée permettent d'évaluer l'incertitude globale et l'incertitude locale des valeurs interpolées. Les méthodes du plus proche voisin, du réseau de triangles, de la fonction B-spline et de la moyenne mobile pondérée, sont très empiriques, et les résultats sont fortement dépendants de l'expérience de l'analyste, mais aussi de sa subjectivité. Pour les phénomènes qui échappent à la perception visuelle, la situation peut être critique, dans la mesure où, en l'absence d'informations supplémentaires, rien n'indique si l'interpolation est possible. Il est important de noter qu'en effet, en l'absence de toute information, soit de tout modèle vérifié de comportement, le choix de la fonction d'interpolation est totalement arbitraire, comme le montre cette illustration. En effet, quel est le comportement de la variable z entre les points z1 et z2? Est-ce que c'est selon la fonction bleue? Est-ce que c'est selon la fonction verte? Ou encore, selon la fonction orange? Ce type d'incertitude peut entraîner des coûts inutiles et très élevés, dans le cas des sondages miniers, par exemple. Et c'est pour les éviter que, dès les années 1940, des travaux de recherches se sont développés pour proposer le concept de variables régionalisées, que nous allons étudier dans la prochaine leçon. [MUSIQUE] [MUSIQUE] Dans cette présentation, nous nous sommes penchés sur les méthodes d'interpolation déterministes. Ces méthodes déterministes ne reposent sur aucune étude statistique préalable du phénomène étudié. Il en existe deux grandes catégories, soit les approches globales, qui permettent de procéder à l'interpolation, en prenant en compte la totalité des points de mesure inclus dans un domaine. Et les approches locales, qui ne prennent en compte qu'un nombre limité de points d'appui, au voisinage du point à estimer, et qui permettent d'attribuer des poids spécifiques à chaque point de mesure, notamment en fonction de la distance au point à prédire. Les méthodes globales sont souvent trop simples pour fournir une approximation réaliste de la distribution spatiale de la variable à prédire. Et c'est la raison pour laquelle on préfère les méthodes d'interpolation locales. Mais ces approches locales, comme l'approche du plus proche voisin, ou celle de la moyenne mobile pondérée, sont très empiriques et dépendent beaucoup de la subjectivité de l'analyste. Elles produisent, par conséquent, souvent des résultats arbitraires, qui impliquent l'existence d'une importante incertitude. [MUSIQUE] [MUSIQUE]
