O controlador PD no domínio da frequência.

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En provenance du cours de Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle Usando a Resposta em Frequência

94 notes

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Controle Usando a Resposta em Frequência

94 notes

Neste curso você aprenderá a obter a resposta em frequência de um sistema Linear e Invariante no Tempo (LIT) e a usá-la para projetar controladores que atinjam requisitos de reposta transitória e em regime estacionário. Você aprenderá a obter o diagrama de Bode a partir de dados de amplitude e fase de entradas e saídas senoidais. Também será capaz de esboçar o diagrama de Bode de um sistema dada a sua função de transferência. Outrossim, será capaz de representar a resposta em frequência na carta de Nichols-Black. A fim de se determinar a estabilidade do sistema, você aprenderá a aplicar o critério de Nyquist, que faz uso da resposta em frequência em malha aberta e permite determinar se um sistema será estável em malha fechada. Ao fim do curso, você será capaz de projetar controladores com dinâmica, isto é, com polos e zeros, portanto mais complexos do que um simples ganho de realimentação. Essa flexibilidade permitirá que você projete controladores para satisfazer simultaneamente requisitos de sobressinal e tempo de resposta que seriam impossíveis de atender com um simples ganho. Também poderá com isso alterar as características da resposta em regime estacionário, aumentando as constantes de erro sem alterar (muito) a resposta transitória. Por fim, você aprenderá a projetar controladores do tipo PD, PI e PID, que estão entre os mais disseminados em aplicações de engenharia de controle.

À partir de la leçon

Controladores PD, PI e PID no domínio da frequência.

Após esse último módulo, você estará familiarizado com o projeto dos controladores mais comuns no dia-a-dia do engenheiro: PI, PD e PID. Será capaz de determinar qual deles é necessário para atender os requisitos de desempenho desejados e a projetá-los de acordo. Concluindo, ao término do curso você será capaz de projetar controladores dinâmicos para atender requisitos de sobressinal, tempo de resposta e erro em regime estacionário.

O controlador PD no domínio da frequência.8:36

Uma consequência ruim do PD: sinais com variação abrupta.5:36

O controlador PI no domínio da frequência.2:59

O controlador PID no domínio da frequência.6:20

Visualizando o efeito do PD, do PI e do PID na carta de Nichols-Black.2:25

Rencontrer les enseignants

Rubens Junqueira Magalhães Afonso
Professor Adjunto
Departamento de Sistemas e Controle
Jackson Paul Matsuura
Professor Associado
Departamento de Sistemas e Controle

Olá.

Você já viu nosso curso o compensador de avanço de fase.

A inspiração para isso era aumentar a fase uma determinada frequência.

Você também já viu o efeito da adição de zero no diagrama de Bode.

E é repetido aqui para relembrar.

Então, somente com zero, você já é capaz de aumentar a fase na

frequência desejada de forma a atingir a margem de fase requisitada.

Esse tipo de controlador é mais simples de projetar do que compensador de avanço

de fase, uma vez que só é necessário escolher a posição do zero e o ganho,

ficando com a seguinte função de transferência: C de

s igual a K p mais K d s que é igual a K p vezes 1 mais K d sobre K p s.

Nesse formato fica clara a origem do nome

Controlador Proporcional Derivativo ou simplesmente PD.

Isso porque o controlador terá termo proporcional ao erro e outro termo

que é múltipla da derivada do erro, com os ganhos K p e K d respectivamente.

O procedimento de projecto é muito parecido com o do compensador de avanço,

visto que o objetivo é fornecer aumento de fase na frequência

desejada de cruzamento do zero ômega c.

O procedimento segue.

Primeiro, calcule a posição do zero de

forma a fornececer a fase desejada fi na frequência ômega c.

Para isso, basta usar a seguinte expressão para a fase adicionada pelo PD:

fi é igual a fase de C de j ômega c que é

igual a fase de Kp mais K d s que é

igual ao a arco tangente de K d ômega c sobre K p.

De onde se pode calcular K d ômega c sobre K p igual à tangente de fi,

o que implica K d sobre K p igual à tangente de fi sobre ômega c.

O zero será z 1 igual a K p sobre K d que é igual a ômega c sobre a tangente de fi.

E você já terá determinado a relação entre os ganhos proporcional e derivativo.

Segundo, calcule o ganho para que o cruzamento de zero

dB ocorra ômega c, ou seja, módulo de C de j

ômega c vezes G de j ômega c dB é igual a zero,

então, módulo de C de j ômega c dB mais módulo de G de j ômega c

dB é igual a zero, o que implica que o módulo de C de j ômega c dB é

igual ao módulo de G de j ômega c dB com sinal negativo.

Assim, o módulo de C de j ômega c é igual a 1 sobre o módulo de G j ômega c.

Vamos desenvolver essas expressões para obter fórmulas para K p e

K d diretamente a partir da fase e módulo de G de ômega c.

Calculando o módulo de C de j ômega c,

módulo de C de ômega c igual a raíz quadrada de K p ao

quadrado mais K d ao quadrado ômega c ao quadrado.

E substituindo pelo valor desejado Kp ao quadrado mais K d ao quadrado ômega c ao

quadrado, tem que ser igual a 1 sobre módulo de G de j ômega c ao quadrado.

Dividindo por K d ao quadrado ficamos com: K p

sobre K d ao quadrado mais ômega c ao quadrado igual

a 1 sobre K d ao quadrado módulo de G j ômega c ao quadrado.

Lembrando que, K p sobre K d é o valor de z 1, determinado no primeiro passo

do projeto, temos z 1 ao quadrado mais ômega c ao quadrado

igual a 1 sobre K d ao quadrado mais módulo de G de j ômega c ao quadrado.

Substituindo z1 pelo seu valor, ficamos com:

ômega c ao quadrado sobre tangente ao quadrado de fi mais ômega c ao quadrado

igual a 1 sobre K d ao quadrado vezes módulo de G j ômega

c ao quadrado e podemos faturar ômega c ao quadrado.

Usando agora a identidade trigonométrica 1 mais tangente ao quadrado de fi igual a 1

sobre seno ao quadrado de fi, temos ômega c ao quadrado sobre seno ao quadrado de

fi igual a 1 sobre K d ao quadrado vezes módulo de G de j ômega c ao quadrado.

Isolando K d ficamos com,

K d igual a seno de fi sobre ômega c vezes módulo de G de j ômega c.

Voltando a usar o valor do zero calculado, temos K p igual a z 1 vezes K d,

que será igual a ômega c tangente de fi vezes seno de fi sobre ômega c módulo

de G de j ômega c, o que dá cosseno de fi sobre o módulo e G de j ômega c.

Pronto, agora você já tem fórmulas bem simples para o projeto.

Com isso, usando a fase e o módulo de G de j ômega c,

você pode facilmente calcular o controladador PD 'iii' desejado,

com K p igual ao cosseno de fi sobre módulo de G de j ômega

c e K d igual a seno de fi sobre ômega c vezes módulo de G de j ômega c.

Mas existe problema.

Você já viu que C de s dado dessa forma não é uma função de transferência própria,

o que significa que o zero puro não pode ser implementado.

No fundo, o projeto fica mais simples porque há

parâmetro a menos para se determinar, que é a localização do polo que você teria que

levar conta no projeto de compensador de avanço de fase.

Olhando mais uma vez para o diagrama de Bode, é como se o polo

estivesse uma frequência infinitamente alta e sequer aparace na nossa escala.

Por isso, você não enxerga o momento que o ganho

pára de crescer, nem o momento que a fase volta a decrescer até zero.

Dessa nossa analogia surge a solução para o problema.

Porque não colocar o polo uma frequência muito alta,

de maneira a não afetar nem a fase nem o ganho torno de ômega c?

Você pode colocar polo menos P 1 com P 1 maior do que zero,

usando o seguinte formato: 1 sobre s sobre P 1 mais

1 e tem módulo igual a 1 para frequências bem abaixo de módulo de P 1 e fase zero.

Vamos calcular o módulo e a fase desse termo.

O módulo será igual a módulo de 1 sobre j ômega sobre P 1 mais 1,

que é igual a 1 sobre a raíz quadrada de ômega sobre P1 ao

quadrado mais 1 e a fase será a fase de 1 sobre j vezes ômega sobre

P 1 mais 1, que é igual a menos o arco tangente de ômega sobre P 1.

Para ômega igual a módulo de P1 sobre 100,

esses valores são: módulo igual a raíz de 1 sobre

0,01 ao quadrado mais 1 que é aproximadamente

1 e a fase será menos o arco tangente de 0,01.

Que é aproximadamente menos 0,6 graus.

Ou seja, se a frequência de quebra associada ao polo estiver 100 vezes

acima de ômega c então o ganho ômega c é praticamente inalterado e a margem de

fase cai de menos do que 0,6 graus.

Então, o controlador a ser implementado

será C linha de s igual a K p vezes 1 mais K d sobre K p vezes s,

tudo isso dividido por s sobre P 1 mais 1.

Isto é, podemos enxergar o controlador PD como caso particular do avanço de fase que

o polo está frequência tão mais elevada que a sua contribuição é desprezível.

Agora você aprendeu a projetar controlador PD que terá efeito parecido com

o de compensador de avanço de fase porém com projeto pouco mais simples.

No próximo vídeo você verá que deve empregar o controlador PD com cautela,

devido ao polo frequência de quebra alta que é introduzido.

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