Добрый день! Начинаем, последнюю восьмую лекцию, в которой будет рассказано о некоторых методах вычисления интегралов и в частности о таком важном интеграле, как гамма функция. Прежде всего, нужно напомнить таблицу основных интегралов. Это основной инструмент при помощи, которых будем вести вычисления. Поэтому необходимо их всегда держать в голове. Здесь они приведены на слайде. Единственное, что нужно обязательно отметить, это что константа интегрирования везде предполагается, но не написана, просто для краткости. Об этом уже подробно говорилось в предыдущий раз. Следует заметить, что интегрирование — это процедура более сложная, нежели дифференцирование. И поэтому, если производную вычислить можно практически более или менее стандартной процедурой, то интегрирование — это всегда придумывание какого-то приема специфического, возможно, для конкретного типа интегралов. Поэтому, всех, конечно, вариантов вычисления мы не рассмотрим, но посмотрим на некоторые основные, типичные, какие-то методы. Начнем с наиболее простых. Наиболее простые методы основаны на введении замены переменной. Вот рассмотрим пример, который сейчас показан на слайде. Здесь вычисляется интеграл от линейной функции в произвольной степени n. Степень выбрана именно произвольной, для того чтобы не возникало желание раскрывать скобки. Потому что если это квадрат, то слагаемых всего три. Это еще не так сложно. Но потом количество слагаемых будет возрастать, процедура не будет сложной, но будет очень громоздкой. Поэтому проще применить замену переменной. В данном случае очевидно, какой она должна быть. Просто нужно все, что в скобках стоит — ax + b — заменить на новую переменную y. Не всегда это столь очевидно. Поэтому посмотрим, как последовательно вводится замена. Прежде всего, получим под дифференциалом произведение ax. Чтобы ничего не изменилось, если мы на a умножили, значит на a нужно и разделить. После этого, под дифференциалом можно просто добавить еще плюс b, потому что дифференциал константы — это ноль и значит, значение интеграла не изменится. Таким образом, мы видим, что величина под дифференциалом, в которой возводится степень, одинакова. Можно ввести новую переменную y. В результате интеграл свелся к табличному. Отличается от табличного только множителем единица, деленная на а. Применяем табличный интеграл и находим ответ. Выполняем обратную замену переменной, получаем результат в последней строке. Следующий интеграл. Здесь применяется тот же прием, который во многих местах используется. Мы получаем в числителе то же выражение, которое находится в знаменателе. Ну опять-таки, для того чтобы ничего не изменилось, мы прибавляем а и вычитаем а. После этого дробь раскладывается на две. Первая дробь — это интеграл от dx. Он просто сразу вычисляется, это — х. Вторая дробь — это интеграл от dx делить на x плюс a. Здесь практически очевидно, что мы можем под дифференциалом написать x плюс a и интеграл становиться табличным, дает логарифм. Следующий интеграл несколько сложнее. Здесь сразу можно не увидеть нужную подстановку. Здесь уже требуется некоторый опыт. Но, тем не менее, тоже можно догадаться, что в силу того, что экспонента обладает по отношению к дифференцированию и интегрированию специфическим свойством не меняться при этом, можно ввести замену через экспоненту. Вот, как написано, что dy, равно e в степени х умножить на dx. Отсюда мы находим связь между дифференциалами и подставляем в интеграл. Интеграл принимает вид dy делить на y, умножить на y плюс один. Затем следует стандартная процедура разложения дроби на две простейшие. Вот приведен результат, 1/y – 1/(y+1). В результате интеграл свелся к сумме двух табличных, каждый из которых приводит к логарифму. Эти логарифмы можно объединить в один, пользуясь свойством логарифмов, или выполняем обратную подстановку, возвращаясь к прежней переменной.