Здравствуйте. Мы продолжаем изучение производной и ее приложений в физике и математике. Очередная тема у нас — это формула Тейлора. Для того чтобы подойти к этой теме, мы сначала еще раз рассмотрим геометрический смысл понятия производной. Мы уже говорили о том, что производная функции в данной точке численно равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке. Это показано на графике на этом слайде. Попробуем теперь заменить функцию в окрестности рассматриваемой точки линейной функцией. Понятно, что не следует ожидать хорошего совпадения графика функции и касательной достаточно далеко от данной точки, но в окрестности они должны просто совпасть. Для этого составляем систему двух уравнений. Первое уравнение — это f(x0) = k(x0) + b. Мы приравниваем значение функции в точке x0 и функцию k(x0) + b, т. е. уравнение прямой у нас. И дальше делаем то же самое во втором уравнении, но для точки с абсциссой x0 + ∆x. ∆x мы в дальнейшем будем устремлять к 0. Пока что просто решаем получающуюся систему уравнений относительно углового коэффициента k и свободного коэффициента b. И получаем уравнение прямой, которое будет у нас в окрестности точки x0 заменять функцию. Это уравнение мы запишем в виде f(x0)+f’(x0)·(x – x0). Таким образом, в окрестности точки x0 мы можем функцию приближенно представить как f(x0)+f’(x0)·(x – x0) — последняя строчка на слайде. Следующим шагом мы попробуем сделать следующее. Мы не прямую будем пытаться подобрать в окрестности данной точки, а параболу. Понятно, что это можно сделать не всегда. И прямую тоже не всегда можно было подобрать. Мы уже видели случаи, когда у функции просто не было производной в точке. Например, это был модуль. И модуль в окрестности точки x = 0 нельзя было заменить прямой, какую бы малую окрестность мы не взяли. В принципе, и параболу не всегда можно подобрать, но будем предполагать, что в данном случае это возможно. Теперь нам придется составлять систему из трех уравнений. Мы рассматриваем точку x0, ну и например, точку x0 – ∆x и x0 + ∆x. Можно было сделать не шаг влево и вправо от точки x0, а два шага вперед. Это не принципиально. Находим коэффициент a в уравнении параболы. Он здесь представлен в таком довольно громоздком виде, но зато удобно проводить дальнейшие вычисления. Конкретно. Нам нужно будет перейти к пределу при ∆x → 0. И тогда видно, что в числителе первая дробь переходит в производную функции f(x) в точке x0. Вторая дробь переходит тоже в производную, но уже в точке x0 – ∆x. И нас получается, таким образом, в числителе разность значений производной функции в двух близких точках. И, следовательно, вся дробь для коэффициента a будет стремиться ко второй производной. В результате, если вычислить остальные коэффициенты, то формула для уравнения параболы получается следующая — первая строчка на слайде. Следовательно, в окрестности точки x = x0, мы функцию приближенно можем заменить другой функцией — f(x0)+f’(x0)·(x – x0) + 1/2f’’(x0)·(x – x0)^2. Уже начинает просматриваться некоторая система. И вот можно обобщить эту формулу. Как раз получится в результате формула Тейлора. Общий вид слагаемого, которое получается на n-ом шаге — это 1/n!, n-ая производная функции в точке x0 на (x – x0) в n-ой степени. Чтобы равенство не было приближенным, нужно еще добавить так называемый остаточный член, который здесь обозначен как Rn(x). Формула этого остаточного члена может быть довольно-таки разной. Этому тоже посвящается определенное внимание в математическом анализе. Мы на этом вопросе сейчас не останавливаемся. Нужно отдельно заметить, что не всегда требуется выписывать этот остаточный член, потому что, например, в случае простых многочленов представление функции по формуле Тейлора просто заключается в перегруппировке слагаемых. Это показано на примере многочлена третьей степени.