Вот, давайте я рассмотрю сначала еще один совершенно замечательный пример того,
как можно вычислять вероятности в схеме испытаний Бернулли.
Он поможет вам для решения, на самом деле, каких-то конкретных, в том числе домашних,
если хотите, задач.
Давайте рассмотрим такой пример.
Так.
Есть множество.
Оно состоит из n элементов.
Давайте считать без ограничения общности, что это множество, ну,
просто состоит из натуральных чисел: 1, 2, ..., n.
Давайте из этого множества будем извлекать случайное
подмножество по схеме Бернулли в том смысле, в котором я сейчас это объясню.
Так...
Значит, извлекаем некоторое случайное подмножество, которое мы назовем A.
Не путайте, пожалуйста, с событием A, это просто некое случайное подмножество.
А делаем так: бросаем нашу любимую монетку со смещенным центром тяжести и
с вероятностью успеха p.
И если в первом бросании эта монетка падает решкой кверху,
тогда берем элемент 1 и кладем его в строящееся множество A.
А если происходит неудача, – ну, вот облом такой случился,
– тогда мы элемент 1 в множество A не кладем.
Потом бросаем монетку второй раз.
Если успех – то элемент 2 отправляется в множество A, если неудача – ну,
уж как повезет, то элемент 2 в множество A не попадает.
И так делаем все n раз независимо друг от друга.
То есть, каждый раз с вероятностью p элемент i попадает
в множество A и с вероятностью q не попадает.
Ну, давайте я так и напишу.
Вероятность того, что (i Є A) = p независимо от того,
какое i мы взяли в этом множестве.
Это все независимость в совокупности.
Ну и, соответственно, вероятность того, что не принадлежит,
это будет, соответственно, (1 – p), то есть q.
Вот, получается такое случайное множество.
Оно может состоять из пустого множества элементов.
Оно можем совпасть со всем исходным множеством.
Но это уже как фишка ляжет, как повезет.
Получается такое случайное множество.
Давайте временно забудем, что мы построили это случайное множество.
Хотя где-то мы его себе запишем.
Все, вот оно уже появилось – мы его себе записали.
Теперь снова берем исходное множество, как будто из него ничего не извлекалось.
Давайте снова берем исходное множество и из
него извлекаем новое случайное множество B согласно той же самой схеме испытаний
Бернулли и без какой-либо оглядки на то, как мы извлекали множество A.
То есть, «без какой-либо оглядки» в вероятностных терминах выражается словами,
что выбор элементов в строящееся множество B осуществляется независимо от того,
как выбирались элементы при построении множества A.
Вот здесь есть полное совокупная независимость.
И возникает такой вопрос: ну, хорошо, A – случайное подмножество,
B – случайное подмножество.
Они, конечно, могут как угодно соотноситься между собою.
Они могут даже совпасть теоретически.
Ведь когда мы строили B, мы никак не смотрели на то, как строилось A.
Вот, с другой стороны, они могут и вовсе не пересекаться, например.
Давайте зададимся как раз вот этим самым вопросом: с какой вероятностью вот эти
два независимо выбранных случайных множества вообще не пересекаются?
С какой вероятностью...
Пересечение – это пустое множество.
Сейчас я опишу некий общий принцип, как можно решать подобные задачи.
Смотрите: давайте проинтерпретируем множество A ровно так,
как схема испытаний Бернулли устроена, то есть проинтерпретируем
множество A в терминах последовательности из ноликов и единичек.
Вот так вот нарисуем.
Скажем, ставим 1 на первой позиции, если элемент с номером 1,
вот этот вот элемент, таки попал в множество A.
Тогда ставим 1.
Ноль ставим в случае, если элемент с номером 2, то есть,
вот этот элемент двойка, не попал в множество A.
Ну, давайте, я случайно, наобум Лазаря, нарисую эти единицы и двойки.
Не знаю, как-нибудь вот так вот, чтобы вам не казалось, что я их чередую.
Что такое случайная последовательность?
– это, кстати, очень интересный вопрос, отдельный совершенно, но вот я сейчас
просто бросаю монетку, и у меня возникает последовательность из ноликов и единичек.
То есть, множество A состоит из элементов 1, 3, 5, 6 и 7.
Ну, вот в этой случайной реализации оно состоит из таких элементов.
И давайте тоже нарисуем для примера множество B.
Тоже как-нибудь совершенно случайно 0011010.
Ну, например, вот так.
Неважно, я просто из головы рисовал, никак не задумываясь.
То есть, множество B в данном случае состоит из элементов 3, 4 и 6.
Ну, так вот фишка легла у меня в голове.
Монетку побросал, и получились два вот таких случайных множества.
Ну вот давайте посмотрим: очевидно, что два вот этих множества,
которые у меня сейчас в голове построились, они пересекаются.
Почему они пересекаются?
То есть, вот это событие для них не выполнено.
Они пересекаются потому, что у нас есть ровно один,
на самом деле, вот такой вот нехороший столбец.
Этот столбец – внимание!
– он свидетельствует о том, что элемент 3 (видите: 1, 2, 3), он попал
и в множество A (здесь стоит единичка) и в множество B (здесь тоже стоит единичка).
Элемент с номером 3 попал и туда, и туда.
Значит, A и B пересекаются, как минимум, по этому элементу.
Ну, дальше хоть трава не расти, если б я где-нибудь здесь еще одну пару единиц
допустил, ну, елки-палки, ну, пересеклись бы еще по нему.
Все.
То есть, вот здесь случилась уже неприятность.
Здесь случилась уже неприятность.
Вот.
По этому событию, которое написано здесь, и вероятность которого мы желаем
посчитать, благоприятствуют следующие условия: мы можем сказать,
что A, пересеченное с B, пусто тогда и только тогда,
когда в каждом, в каждом
столбце вот в этой таблице из нулей и единиц, в каждом столбце