Так, друзья, давайте разберем простую задачу,
совсем такую базовую для начала на условную вероятность.
Ну давайте ее сформулируем.
Допустим, так: у нас есть множество чисел от 1 до n,
и вот из этого множества чисел мы извлекаем три числа последовательно,
как говорится, по схеме выбора без возвращения.
Ну без возвращения – это значит, что извлеченные числа не могут совпасть,
то есть мы вытаскиваем какое-то число отсюда, называем его i,
после чего в этом множестве уже нет элемента с номером i,
и мы из оставшегося множества, имеющего мощность, понятное дело, n − 1,
вытаскиваем следующий элемент j, независимо от того,
как был вытащен элемент i, просто случайно вытаскиваем еще один элемент.
Ну и наконец, остается у нас n − 2 элемента, после того,
как вытащены i и j, и мы извлекаем третий элемент k.
Вот это называется схема выбора без возвращения,
и в рамках такой схемы мы извлекаем последовательно три элемента: i, j и k.
Понятное дело, что эти числа i,
j и k, они имеют вполне определенные имена: i, j, k, да?
Они могут совершенно по-разному между собой соотноситься.
Например, сначала мы вполне могли извлечь n и лишь потом добыть число 1, а, скажем,
в-третьих, достать число 10, которое, допустим там, меньше n и больше 1.
n, скажем, 1000, вот.
То есть а могли последовательно их извлекать по величине, скажем,
i могло оказаться случайно равным единице, j могло оказаться равным двойке,
а k могло оказаться равным n − 1, где n − 1 больше 2.
Ну это уж как бог на душу положит, как повезет, как фишка ляжет.
Вот. Я просто хочу сказать,
что эти числа не обязаны быть упорядоченными так, что i < j < k.
Так вот задачка ставится следующим образом: давайте найдем вероятность того,
что k – третье вытащенное число – лежит между числами,
по величине своей, лежит между i и j, при условии,
что нам уже известно заранее вот такое неравенство.
То есть, смотрите, мы рассуждаем так же,
как если бы мы бросали игральную кость на игральный стол,
не видели результата, а крупье сообщил бы нам лишь какую-то частичную информацию,
скажем, о том, что игральная кость выпала четной стороной кверху,
и нам теперь нужно в дополнительном вот этом знании найти вероятность какого-то
конкретного события, скажем, вероятность того, что кость упала стороной 2 кверху.
Вот здесь ситуация очень похожая.
Изначально мы лишь знали,
что будет вытащена какая-то упорядоченная тройка различных чисел i, j и k.
Упорядоченная в том смысле, что нам важно,
в каком порядке они доставались – ну так устроена просто схема выбора.
Вот. С другой стороны,
крупье нам сообщил некоторую дополнительную информацию: мы не знаем
ни чему равняется i, ни чему равняется j, ни чему равняется k,
но теперь мы знаем, что i точно меньше, чем j.
Вот спрашивается, в этом дополнительном знании с какой вероятностью k
находится между этими двумя числами?
Ну такое вполне возможно.
Весь вопрос в том, с какой вероятностью именно это произойдет.
Ну давайте рассуждать, из чего изначально у нас состояло пространство
элементарных исходов, которое, как обычно, обозначается Ω?
Ну, Ω состояло из всевозможных троек чисел i, j и k,
причем упорядоченных троек различных чисел.
Числа различные, потом что вытаскиваются без возвращений.
Ω – это множество таких упорядоченных троек различных чисел i, j и k.
Разумеется, для вас, тех, кто, конечно, знает комбинаторику, не составляет
никакого труда посчитать, сколько всего есть таких элементарных исходов.
Ну давайте для полноты картины я напишу, что мощность Ω – это есть просто то,
что называется A из n по 3, то есть число размещений без повторений.
Если кто-то из случателей забыл такие обозначения, хотя в наших курсах они,
безусловно, есть, то можно написать в каком-нибудь более стандартном виде:
C из n по 3 – просто число пригоршней, которыми можно выбрать три числа из нашего
множества, ну умножить на все возможные способы перетасовать их между собою.
То есть надо еще умножить на 3!
– на 6.
Ну понятное дело, что те, кто знают формулы, они помнят,
что A из n по 3 и 6 умножить на C из n по 3 суть, конечно, одно и то же.
Вот, но это я так, для полноты картины.
Никоим образом вот это знание нам не поможет осознать чему равняется искомая
условная вероятность, потому что, внимание,
мы ведь сейчас находимся уже не в Ω, а в подмножестве Ω.
Мы находимся в той части Ω, в которой находятся тройки i, j, k, у которых
i строго меньше чем j, потому что крупье нам сообщил вот это дополнительное знание.
Мы точно знаем, что ни одна из тех троек i, j,
k – упорядоченных троек, в которых i > j не реализовалась.
Стало быть, мы находимся в той ситуации, когда i заведомо строго меньше, чем j.
И это наше дополнительное знание и этим мы должны как-то пользоваться.
Замечательно.
Ну а теперь смотрите: если дано какое-то сочетание из 3-х элементов,
просто такая кучка из 3-х чисел, находящихся вот в этом множестве.
Вот дана какая-то «кучка», дана «кучка» – «кучку»
возьму в кавычки – дана «кучка» из трех чисел.
Сколько всего
есть ситуаций для вот этой конкретной «кучки» из трех чисел, скажем: 1, 2, 3?
Или «кучка», там, 5, 7, 9 – вот дана такая «кучка».
Сколько для этой конкретной «кучки» есть ситуаций,
которые благоприятствуют нашему условию?
То есть ситуаций, в которых i < j.
Как можно расставить номера у элементов этой «кучки»,
упорядочить элементы этой «кучки» так, чтобы i получилось меньше чем j?
Ну понятно, можно написать вот так: i,
j и еще что-то; можно написать: i,
еще что-то и j; и можно написать: что-то, i и j.
Все остальные взаимные расположения чисел i и j не благоприятствуют вот
этому условию.
Для данной конкретной «кучки» из трех чисел такое получается,
только если i и j расположены одним из указанных трех способов.
То есть для этого условия в рамках данной «кучки»
есть всего три благоприятствующих элементарных исхода.
Но теперь, а если мы к этому условию
дополнительно добавляем утверждение о том, что k лежит между i и j?
Тогда сколько таких ситуаций среди заведомо имеющихся?
То есть среди тех, которые удовлетворяют указанному условию, сколько есть ситуаций,
которые, в свою очередь, благоприятствуют тому, что k лежит между i и j?
Ну очевидно, здесь k не лежит между i и j.
То есть если сюда поставить k, то k не будет лежать между i и j.
Если сюда поставить k, то тоже, того, что хочется, не произойдет.
И только вот сюда...
И только вот в этом случае k будет лежать между i и j.
То есть получается, что для данной конкретной кучки из трех чисел,
всего вот этому условию удовлетворяют три ситуации,
а обоим условиям сразу удовлетворяет только одна из этих трех.
Условию – три ситуации, а обеим вот этим вот,
обоим этим ограничениям – только одна из этих трех.
И так для каждой кучки.
То есть понятно, что Ω разбивается на кучки,
в рамках каждой кучки только одна ситуация из трех нам благоприятствует,
ну значит, и в целом только треть ситуаций благоприятствует тому, чего мы хотим.
Ну и получается, что вероятность, которая нас интересует, в точности равняется 1/3.
Из трех, удовлетворяющих условию, каждый раз только одна – вот эта вот центральная
– благоприятствует и условию, и тому, вероятность чего мы хотим посчитать.
Не забывайте, что условная вероятность – это ведь отношение количества элементарных
исходов, которые благоприятствуют одновременно этому и этому,
к числу элементарных исходов, которые благоприятствуют этому.
Вот мы ровно это отношение и посчитали,
просто разбив его как-бы на отдельные слагаемые.
В каждом слагаемом мы получили 1/3, все вместе тоже получилась 1/3.
Ну естественно, мы поделили на общее число слагаемых, понятно.
Вот, такая вот несложная задача на подсчет условной вероятности.
Но смотрите, если бы вы стали считать тупо, то есть вот через какие-то
числосочетаний в этом месте, не разбивая вот на такие классы, на такие кучки,
то получилось бы очень-очень сложное выражение,
и с большой вероятностью вы просто бы запутались.
То есть вот здесь все-таки есть некоторая хитрость.
Вроде задача простенькая, но в ней намек на то, что иногда лучше разбивать на
классы общую ситуацию, и тогда вероятность посчитается легче.
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
Максим Жуковскийпреподаватель
