Давайте разберем задачу на геометрическую вероятность.
Вот такая вот замечательная задачка.
Есть у нас отрезок 0 — 1,
как-то он у меня криво нарисовался, но не важно, обычный отрезок 0 — 1.
И на этом отрезке мы выбираем 2 случайных точки.
Давайте выберем 2 случайных точки на этом отрезке.
Ну как выберем 2 случайных точки?
Сначала выберем одну, потом как бы забудем про то,
какую точку мы выбрали, выберем вторую и после этого вспомним.
То есть мы независимо друг от друга выбираем 2
случайных точки на этом отрезке.
Так, x1, x2 —
случайные точки.
Разумеется, теоретически они могут совпадать, но совпадают они, конечно,
с вероятностью 0.
Ну вообще, случайность здесь понимается в смысле геометрическом,
то есть вероятность того, что случайно выбранная точка попадает в какое-то
подмножество вот этого отрезка, это есть, ну так сказать, длина этого подмножества.
Так, и вопрос такой: с какой...
вот давайте так нарисуем, есть эти 2 случайные точки с вероятностью 1,
они образуют какое-то нетривиальное разбиение нашего отрезка на 3 части,
давайте это напишем: они образуют
разбиение отрезка
на 3 части.
Предлагается найти вероятность того,
что вот из отрезочков, которые получаются в результате разбиения, вот из этих 3-х,
вот из этих 3-х отрезков можно составить треугольник.
Такая симпатичная задача.
Вероятность того, что из отрезков разбиения
можно составить треугольник.
Ну а треугольник нарисуем.
Из отрезков разбиения можно составить треугольник.
С какой это вероятностью происходит?
Ну давайте думать.
Во-первых, я недаром здесь не написал — кто из этих 2-х точек x1,
а кто из этих 2-х точек x2.
Теоретически x1 может вполне себе оказаться больше, чем x2,
как вы понимаете, я надеюсь.
То есть я не имею права написать вот здесь: x1, вот здесь написать: x2.
Понятия не имею,
как эти две случайные точки будут лежать на отрезке друг относительно друга.
Поэтому в принципе надо рассматривать два случая.
Один случай — это когда x1 левее, нежели x2,
и другой случай — это когда x1 правее, нежели x2.
Так, ну давайте рассмотрим для начала первый случай.
Будем считать, что x1 меньше, чем x2.
Ну даже не то, чтобы это будем считать, а будем смотреть,
как выглядит картинка в этом случае.
Что значит — взять 2 независимых случайных точки на отрезке?
По сути это означает то же самое,
как если мы возьмем вот такую вот двумерную систему координат,
у которой по оси абсцисс откладывается x1, а по оси ординат откладывается x2.
Вспоминайте нашу любимую задачу о встрече, когда вот здесь был Коля,
а здесь был Вася.
Вот, здесь будет что-то в таком же духе.
Значит, абсолютно так же, как в задаче о встрече,
у нас получается квадрат со стороной 1,
точка внутри которого, имеющая координаты x1 и x2,
просто указывает на положение этих x1 и x2 на нашем отрезке.
То есть если мы сейчас временно предполагаем, что x1 меньше,
чем x2, то что это тогда означает?
Что значит, что x1 меньше, чем x2?
Вот у нас x2 равный x1, такая, да, прямая?
x2 равный x1.
А x2 больше, чем x1 — это значит, что мы находимся где-то вот здесь.
x2 больше, чем x1, это значит, что мы находимся где-то над этой прямой.
Хорошо, ну, итак, мы находимся вот в этой части квадрата,
вот в этом треугольничке прямоугольном и мы хотим понять в этом
случае — как устроена картинка внутри этого треугольничка,
которая благоприятствует реализации нашего события.
То есть из каких точек состоит то множество, которое ну аналогично в
каком-то смысле конфетке из задачи о встрече, помните, там конфетка была?
Так вот, нам нужно выделить отсюда то подмножество пар x1 и x2,
которые благоприятствуют вот этому условию,
что из отрезков разбиения можно составить треугольник.
Ну давайте, вот у нас этот отрезок от 0 до 1.
Сейчас мы знаем, что x1 меньше, чем x2.
Вот они отрезки разбиения, у каждого из них понятно, какая длина.
У первого — x1.
У второго x2 − x1, и у третьего 1 − x2.
Это длины наших отрезков.
Так вот, что значит, что из этих отрезков можно составить треугольник?
Но совершенно понятно, надо просто написать неравенства треугольника,
которые равносильны возможности его составить.
Но что такое неравенство треугольника?
Это длина каждой его стороны не превосходит суммы длин его сторон.
Длина каждой стороны не превосходит суммы двух длин других его сторон.
Например, x1 точно должен быть не больше,
нежели x2 − x1, это длина второй стороны, плюс 1 − x2.
Правильно?
Вот это вот одно условие, одно неравенство треугольника,
которое мы пишем относительно стороны длиной x1.
x2 − x1 + 1 − x2, да, все правильно.
Значит, x2 у нас благополучно сокращается,
откуда получается, что x1 не превосходит 1/2.
Ну x1 не превосходит 1/2, давайте вот здесь 1/2 нанесем,
это вот такая часть нашего треугольника,
то есть мы уже какой-то кусочек от этого треугольника отсекли.
Но есть еще 2 неравенства треугольника, давайте для вот этой стороны,
длина которой x2 − x1, должно быть тоже выполнено неравенство треугольника,
то есть вот эта разность должна не превосходить суммы x1 + 1 − x2, да?
Откуда получаем что?
Что, ничего не сокращается, да?
x2 − x1 не превосходит x1 + 1 − x2, да, замечательно, все правильно.
Все правильно.
Ну ладно, не сокращается, так не сокращается, сейчас посмотрим,
что получится.
Давайте так, 2x2 − 2x1 не превосходит 1.
Откуда x2 не превосходит 1/2 + x1.
x2 не превосходит 1/2 + x1.
Ну давайте поймем, как устроена эта прямая на нашей картинке.
Что такое 1/2 + x1.
Значит, если мы находимся в точке 1/2,
вот в этой точке, если x1 = 1/2, то x2 принимает значение 1.
Вот здесь вот 1/2 + 1/2 — это 1.
Если мы находимся в точке 0, то 0 + 1/2, это просто 1/2,
вот здесь рисуем 1/2, и вот эта прямая.
Вот эта прямая.
Так, прекрасно.
Ну и что значит, что x2 не превосходит этого?
Это значит, что мы находимся где-то вот здесь.
x2 лежит не выше этой прямой.
Ну и у нас осталось еще одно, давайте вот здесь лучше напишем,
чтоб было виднее, третье условие.
Третье условие — это вот ограничение на длину этого отрезка,
1 − x2 не превосходит x1 + x2 − x1.
Шлеп, шлеп, и получаем как следствие,
что дважды x2, извините, x2, конечно,
дважды x2, два раза x2 ≥1,
то есть x2 ≥ 1/2.
x2 ≥ 1/2.
Ну то есть мы находимся где-то над вот этой вот прямой.
Вот вырезается такой квадратик.
Ой, какой квадратик, извините, какой же квадратик,
треугольник, конечно, прямоугольный, вот.
Всё, случай x1 меньше, чем x2 полностью разобран,
если предполагать, что x1 меньше, чем x2, то вот этому событию, состоящему в том,
что из отрезков разбиения можно составить треугольник, благоприятствуют те и только
те точки, которые находятся внутри вот этого прямоугольного треугольничка.
Ну а случай, когда x1 ≥ x2 очевидно симметричен данному.
Ну можно, конечно, расписать во всех подробностях то, что там получится.
Но очевидно, что получится вот этот вот треугольничек,
который симметричен данному.
Очевидно, неочевидно, если кому-то неочевидно, то можете проделать всю ту же
самую операцию, и у вас, конечно, этот треугольничек возникнет.
Ну все, раз мы имеем дело с геометрической вероятностью, все,
что нам осталось сделать, ну это, собственно,
посчитать площадь вот этого закрашенного кусочка такого, галстука-бабочки,
да, и поделить ее на площадь всего пространства элементарных исходов,
которое в данном случае просто равняется 1.
Таким образом надо найти суммарную площадь вот этих вот треугольничков, правильно?
Ну и какая площадь у этих треугольничков?
У этих треугольничков понятно какая площадь.
1/2 х 1/2, да?
Это произведение длин сторон.
Ну еще надо поделить пополам, потому что все-таки это треугольник,
а не квадратик, как я было оговорился.
Значит (1/2 х 1/2) пополам, это 1/8.
Ну и такая же восьмушка есть снизу, итого в сумме 1/8 + 1/8 — это 1/4.
И ответ нами получен, задача полностью решена.
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
Максим Жуковскийпреподаватель
