Ну что значит, что Коля, появляется, скажем,
в какой-то случайный момент времени в промежутке между 9 и 10 часами?
Или, что то же самое, что значит,
что Вася появляется в случайный момент времени между 9 и 10 часами?
Вот здесь как раз кроется та самая бесконечность,
о которой я говорил вначале, когда давал затравку к этой лекции.
Ну, действительно, ведь между 9 и 10 часами, ну, с такой, я не знаю,
теоретической что ли, философской точки зрения, бесконечно много моментов.
То есть, непонятно, на какие моменты дробить.
Но с другой стороны, ну ясно, что если Коля появился в какой-то момент
времени на остановке, то уж за секунду он убежать не успеет, правда ведь?
Вот, скажем, за секунду он точно не убежит.
И если Вася появится через эту секунду, то уж как-нибудь они да встретятся.
То есть можно пытаться в каком-то смысле аппроксимировать,
приближать эту задачу с помощью известной нам конструкции классической вероятности.
А именно можно, конечно, при желании взять и по какому-то совершенно
собственному произволу раздробить вот этот вот час времени,
в течение которого они появляются на автобусной остановке, на 3600 секунд.
60 минут, в каждой по 60 секунд.
Значит, давайте возьмем и по какому-то совершенно странному произволу
раздробим этот час на 3600 секунд.
Так, вот у нас есть 3600 секунд в часе.
Ну и давайте попробуем понять.
Если мы считаем, что меньше чем секунда промежутка времени не бывает,
то есть люди появляются на автобусной остановке либо там в нулевую секунду,
либо в 1-ю, либо во 2-ю, 3-ю, 3600-ю,
но ни в какие другие моменты времени они там появиться не могут, тогда задача,
конечно сводится к классическому определению вероятности.
Потому что у нас получается такое вот пространство элементарных исходов,
которое состоит из скольких всего возможностей?
А вот действительно, что такое возможность?
Какие возможности мы сейчас считаем равновероятными?
Что у нас в случае классической интерпретации вот этой вот конструкции,
что является элементарными исходами?
То есть что образует полную группу попарно несовместных и равновероятных событий?
Ну, понятное дело, 3600 возможностей есть для момента времени,
когда появится на остановке Коля, и столько же (3600)
есть возможностей для момента времени, когда на остановке появится Вася.
При этом мы говорили, что возможности эти друг от друга не зависят, то есть мы можем
считать, что равновероятными являются пары возможностей: момент времени,
когда на остановку приходит Коля – момент времени, когда на остановку приходит Вася.
Множество всех возможных таких вот пар К и В,
где К меняется в пределах от 0 до 3600,
и В меняется в пределах от 0 до 3600.
Вот такая вот очень естественная конструкция возникает, коль скоро мы
странным образом совершаем вот такой вот произвол и говорим: давайте дробить час
именно на 3600 секунд по каким-то там, я уж не знаю, нумерологическим соображениям,
потому что мир клином, в общем-то, на секундах, конечно, не сошелся.
Но тем не менее, если мы так раздробим,
тогда у нас получится классическое вероятностное пространство,
мощность которого, как вы видите, есть ни что иное, как 3601²,
даже не собираюсь вычислять, хотя это не сложно.
Так, ну и как нам вычислить в этом случае вероятность того, что К и В встретятся?
А очень просто.
Ведь товарищи встречаются в случае, и только в этом случае,
когда модуль разности вот этих вот величин, ну то есть расстояние
между моментами времени, в которые эти товарищи появляются на остановке,
модуль разности этих величин не превосходит 15 минут, то есть 900 секунд.
Есть ничто иное, как вероятность того,
что модуль К – В не превосходит 900.
Ну, это можно, конечно, вычислять.
Но вычислять это довольно противно.
Давайте попробуем нарисовать картинку,
которая соответствует необходимому вычислению, потому что пойди перечисли все
возможные пары точек К и В, меняющихся вот в этих пределах,
которые по модулю отличаются друг от друга не более чем на 900.
А на картинке, в общем, все будет достаточно наглядно.
Вот у нас есть разбиение от 0 до
3600 тех моментов времени,
в которые появляется на остановке Коля.
Такая координата Коля по оси абсцисс.
И точно такая же ситуация у нас относительно Васи.
У него тоже есть 3600 моментов времени, когда он может появиться.
Правда у меня как-то получилось несимметрично.
Ну и ладно, рисовать не умею, это не имеет значения.
Что-то у нас получился такой квадрат, в это надо поверить.
Значит, это не прямоугольник, товарищи, это квадрат.
Пожалуйста, значит глядите на эту ситуацию так, что вот я рисовать не умею, но это,
конечно, нарисован квадрат со стороной 3600 или там даже 3601.
Вот.
Так, что же нас интересует?
Нас интересует вот такая вот штуковина.
Здесь у нас где-то находится 900, точка 900
находится где-то ну в четверти от вот этой вот длины.
Если здесь всего 3600 моментов, то 900 – это 1/4, понятное дело,
15 минут – это четверть часа.
Здесь у нас тоже где-то находится 900, давайте верить,
что это 1/4 от вот этого отрезка.
Ну и получается вот такая вот картинка очевидно.
Я обычно эту конструкцию называю словом «конфетка».
Ну на конфетку похожа.
Такая конфетка, которая благоприятствует нашему событию.
То есть нам нужно вычислить количество точек, имеющих целые координаты,
целые координаты, которые попали внутрь вот этой замечательной «конфетки»,
и это количество точек, попавших внутрь замечательной «конфетки»,
разделить на 3601².
То есть на количество всех целых точек, которые бывают внутри этого квадрата.
Это и есть интересующая нас вероятность.
Ну давайте я так и напишу.
Значит, количество целых
точек внутри «конфетки»,
ну «конфетка», конечно в кавычках, это понятно,
ну поделить на мощность Ω, то есть на 3601
в квадрате.
Ну, получится какое-то число.