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Soit un espace de probabilité.
Pour deux variables aléatoires X et Y, on pose d (grand X,
grand Y) = l'espérance du minimum entre valeur absolue de (X- Y) et 1.
On note avec un v inversé le minimum.
Soit X n des variables aléatoires pour n positif ou nul.
Montrer que X n converge en probabilité vers grand X,
si et seulement si d (X n, X) tend vers 0.
En fait, on peut montrer que d définit essentiellement une distance, une métrique
sur les variables aléatoires, et nous disons donc la convergence en probabilité,
et la convergence pour cette métrique.
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Commençons par le sens direct,
et donc supposons que X n converge vers grand X en probabilité.
Donc, nous allons faire apparaître
les termes caractéristiques de la convergence en probabilité.
Pour epsilon strictement positif arbitraire, la distance entre X n
et grand X, en tous cas d (grand X n, grand X), c'est donc par définition
l'espérance du minimum entre valeur absolue de (X n- grand X) et 1.
Nous allons couper cela en deux parties.
Celle où cette valeur absolue de (grand X n- grand X) est plus petite que epsilon,
et celle où valeur absolue de (X n- grand X) est plus grande qu'epsilon.
Donc, nous avons une somme de deux termes.
L'espérance de ce minimum entre valeur absolue de (X n- X) et 1 * l'indicatrice
où valeur absolue de (X n- X) est inférieur ou égal à epsilon + l'espérance
de ce minimum * l'indicatrice où valeur absolue de (X n- grand X) > epsilon.
Le premier terme, puisque valeur absolue de (X n- grand X)
est plus petit qu'epsilon, nous pouvons le majorer par epsilon.
Le deuxième terme, puisque le minimum entre valeur absolue de (X n- X) est 1,
est plus petit que 1, nous pouvons le majorer par l'espérance de l'indicatrice
de l'événement valeur absolue de (X n- grand X) > epsilon, donc l'espérance de
l'indicatrice, donc par la probabilité que (la valeur absolue de (X n- X) > epsilon).
Nous avons montré que d (X n, X) est plus petit qu'epsilon + P
(valeur absolue de (X n- grand X) > epsilon).
Donc, nous avons cette borne d (Xn,
X) est plus petite que epsilon + P (valeur absolue de (X n- X) > epsilon).
Par hypothèse, convergence en probabilité, quelque soit epsilon positif, Cette
probabilité de (l'événement valeur absolue de (X n- grand X) > epsilon) tend vers 0.
De plus, on peut prendre epsilon, certes strictement positif,
mais arbitrairement petit.
Donc, on en déduit que d (X n, X) tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Nous allons ainsi montrer le sens direct, convergence en probabilité de X n vers X,
implique que d (X n, X) tend vers 0.
Nous allons montrer la réciproque.
Donc, nous supposons que d (X n, X) tend vers 0.
Et, en utilisant la définition de d, nous supposons que
l'espérance du minimum entre valeur absolue de (X n- X) et 1 tend vers 0.
Une petite remarque, notons que l'application qui à epsilon associe la
probabilité pour que valeur absolue de (X n- X) soit supérieur ou égal à epsilon,
est une fonction décroissante en epsilon.
Donc, pour montrer que X n converge en probabilité vers grand X, il suffit de le
montrer pour tout epsilon strictement positif, et inférieur ou égal à 1.
Il suffit de montrer que quelque soit epsilon
strictement positif et inférieur ou égal à 1, la probabilité que valeur absolue de (X
n- X) soit supérieur ou égal à epsilon tende vers 0.
Donc, nous allons une inégalité de Markov,
nous allons prendre un epsilon strictement supérieur à 0, et inférieur ou égal à 1.
La probabilité pour que valeur absolue de (X n- X) soit supérieur ou égal à epsilon,
c'est la même chose que la probabilité pour que le minimum
entre valeur absolue de (X n- X) et 1 soit supérieur ou égal à epsilon,
puisqu'epsilon est plus petit que 1.
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Donc, en appliquant l'inégalité de Markov, c'est inférieur ou égal à 1 / epsilon *
espérance de minimum valeur absolue de (X n- X) et de 1.
Par hypothèse, cette espérance tend vers 0.
C'est la distance d (X n, X).
Donc, nous montrons que pour tout epsilon entre 0 et 1,
cette probabilité de l'événement (X n- X) supérieur ou égal à epsilon tende vers 0.
Donc, par la remarque précédente,
nous avons bien montré que X n converge en probabilité vers X.
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
