Une métrique pour la convergence en probabilité

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

20 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

20 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

CONVERGENCES ET LOI DES GRANDS NOMBRES (1/2)

Nous entamons le Cours 5 dont l'objet principal est le théorème communément appelé la « loi des grands nombres ». Nous introduirons aussi plusieurs notions de convergence d'une suite de variables aléatoires.

Minimum et maximum de variables aléatoires uniformes7:26

La convergence presque-sûre implique la convergence en probabilité2:23

Une métrique pour la convergence en probabilité4:37

Exemples de convergence de variables aléatoires5:38

Une condition de moment pour la convergence en moyenne4:51

Une condition suffisante pour la convergence presque-sûre6:04

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

[AUDIO_VIDE]

Bonjour.

Bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'École Polytechnique.

Nous en sommes au cours 5.

Nous allons faire un exercice qui s'appelle

Une métrique pour la convergence en probabilité.

Soit un espace de probabilité.

Pour deux variables aléatoires X et Y, on pose d (grand X,

grand Y) = l'espérance du minimum entre valeur absolue de (X- Y) et 1.

On note avec un v inversé le minimum.

Soit X n des variables aléatoires pour n positif ou nul.

Montrer que X n converge en probabilité vers grand X,

si et seulement si d (X n, X) tend vers 0.

En fait, on peut montrer que d définit essentiellement une distance, une métrique

sur les variables aléatoires, et nous disons donc la convergence en probabilité,

et la convergence pour cette métrique.

Solution de l'exercice Métrique pour la convergence en proba.

Commençons par le sens direct,

et donc supposons que X n converge vers grand X en probabilité.

Donc, nous allons faire apparaître

les termes caractéristiques de la convergence en probabilité.

Pour epsilon strictement positif arbitraire, la distance entre X n

et grand X, en tous cas d (grand X n, grand X), c'est donc par définition

l'espérance du minimum entre valeur absolue de (X n- grand X) et 1.

Nous allons couper cela en deux parties.

Celle où cette valeur absolue de (grand X n- grand X) est plus petite que epsilon,

et celle où valeur absolue de (X n- grand X) est plus grande qu'epsilon.

Donc, nous avons une somme de deux termes.

L'espérance de ce minimum entre valeur absolue de (X n- X) et 1 * l'indicatrice

où valeur absolue de (X n- X) est inférieur ou égal à epsilon + l'espérance

de ce minimum * l'indicatrice où valeur absolue de (X n- grand X) > epsilon.

Le premier terme, puisque valeur absolue de (X n- grand X)

est plus petit qu'epsilon, nous pouvons le majorer par epsilon.

Le deuxième terme, puisque le minimum entre valeur absolue de (X n- X) est 1,

est plus petit que 1, nous pouvons le majorer par l'espérance de l'indicatrice

de l'événement valeur absolue de (X n- grand X) > epsilon, donc l'espérance de

l'indicatrice, donc par la probabilité que (la valeur absolue de (X n- X) > epsilon).

Nous avons montré que d (X n, X) est plus petit qu'epsilon + P

(valeur absolue de (X n- grand X) > epsilon).

Donc, nous avons cette borne d (Xn,

X) est plus petite que epsilon + P (valeur absolue de (X n- X) > epsilon).

Par hypothèse, convergence en probabilité, quelque soit epsilon positif, Cette

probabilité de (l'événement valeur absolue de (X n- grand X) > epsilon) tend vers 0.

De plus, on peut prendre epsilon, certes strictement positif,

mais arbitrairement petit.

Donc, on en déduit que d (X n, X) tend vers 0 quand n tend vers l'infini.

Nous allons ainsi montrer le sens direct, convergence en probabilité de X n vers X,

implique que d (X n, X) tend vers 0.

Nous allons montrer la réciproque.

Donc, nous supposons que d (X n, X) tend vers 0.

Et, en utilisant la définition de d, nous supposons que

l'espérance du minimum entre valeur absolue de (X n- X) et 1 tend vers 0.

Une petite remarque, notons que l'application qui à epsilon associe la

probabilité pour que valeur absolue de (X n- X) soit supérieur ou égal à epsilon,

est une fonction décroissante en epsilon.

Donc, pour montrer que X n converge en probabilité vers grand X, il suffit de le

montrer pour tout epsilon strictement positif, et inférieur ou égal à 1.

Il suffit de montrer que quelque soit epsilon

strictement positif et inférieur ou égal à 1, la probabilité que valeur absolue de (X

n- X) soit supérieur ou égal à epsilon tende vers 0.

Donc, nous allons une inégalité de Markov,

nous allons prendre un epsilon strictement supérieur à 0, et inférieur ou égal à 1.

La probabilité pour que valeur absolue de (X n- X) soit supérieur ou égal à epsilon,

c'est la même chose que la probabilité pour que le minimum

entre valeur absolue de (X n- X) et 1 soit supérieur ou égal à epsilon,

puisqu'epsilon est plus petit que 1.

Donc, en appliquant l'inégalité de Markov, c'est inférieur ou égal à 1 / epsilon *

espérance de minimum valeur absolue de (X n- X) et de 1.

Par hypothèse, cette espérance tend vers 0.

C'est la distance d (X n, X).

Donc, nous montrons que pour tout epsilon entre 0 et 1,

cette probabilité de l'événement (X n- X) supérieur ou égal à epsilon tende vers 0.

Donc, par la remarque précédente,

nous avons bien montré que X n converge en probabilité vers X.

Ceci termine l'exercice.

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