Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Séance 4 : CONVERGENCE EN LOI (suite)
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2
17 notes
À partir de la leçon
FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES, CONVERGENCE EN LOI ET THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE (2/2)
Cette dernière semaine est consacrée au second pilier de la théorie des probabilités : le théorème de la limite centrale. Ce résultat nécessite une nouvelle notion de convergence : la convergence en loi. Nous verrons notamment une application aux intervalles de confiance qui sont utilisés pour les sondages.
Rencontrer les enseignants
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON]
Bonjour.
Dans la séance 3 du cours 6, nous avons défini la notion de convergence en loi
pour une suite de variables aléatoires, ou v.a.
Nous allons ici en donner quelques propriétés.
Et en particulier, nous allons voir le lien entre cette convergence en loi,
et des propriétés et des fonctions de répartition,
quand nous considérerons des v.a.
réelles, ou des fonction caractéristiques associées à la suite de variables que
nous considérerons.
Donc tout d'abord, je vous rappelle que cette relation
entre les modes de convergence, par laquelle nous avons fini la séance 3,
et qu'il me semble vraiment fondamental de garder en tête.
Donc première proposition que nous allons voir, c'est un lien entre la convergence
en loi et la convergence potentielle des fonctions de répartition liées aux v.a.
réelles.
Donc nous considérons une suite Xn, et une v.a.
limite X.
Ce sont des v.a.
réelles, donc on va pouvoir associer de manière naturelle
pour chacune de ces variables, sa fonction de répartition.
Donc je note Fn la fonction de répartition de Xn,
et F la fonction de répartition de X.
Nous allons montrer que Xn converge en loi vers X,
si et seulement si, donc c'est une caractérisation, la suite de
fonction Fn(t) va presque converger simplement
vers F(t) au sens où pour tout t, Fn(t) converge vers F(t).
J'ai dit presque,
parce que ce n'est pas tout à fait vrai et on va voir qu'il y a une contrainte.
En fait, on va voir que Fn(t) converge vers F(t) pour
tout t dès lors que F est continue en t.
Si F est continue, par exemple si X admet une loi à densité,
on sait que dans ce cas-là, la fonction de répartition est continue, dans ce cas-là,
on aura la convergence simple de la suite de fonction Fn vers F.
Mais nous savons que dans certains cas, la fonction de répartition est discontinue,
en certains points, par exemple quand X est à valeur discrète,
et dans ce cas-là, on aura la convergence de Fn vers F,
uniquement en les points pour lesquels F est continue.
Nous allons voir la preuve, et voir où intervient cette condition.
Cette proposition est forte,
parce que vous voyez qu'elle caractérise la convergence en loi par cette
convergence des fonctions de répartition, mais elle est quand même assez technique,
et nous allons en fait uniquement montrer la condition nécessaire,
la réciproque est encore plus technique et je vous renvoie, par exemple,
à mon livre, dont je vous rappelle qu'il est en accès libre sur ma page web,
pour voir la preuve de la réciproque de cette proposition.
Donc ici, nous allons supposer que Xn converge en loi vers X,
et nous allons montrer que la suite Fn(t) converge
vers F(t) en tout point t pour lequel F est continue.
Donc, on se fixe un t tel que F est continue en t,
et on va étudier la suite de nombres réels Fn(t).
Je vous rappelle que Fn(t),
c'est la probabilité que Xn soit inférieur ou égal à t.
Et de même, F(t) c'est la probabilité que X soit inférieur ou égal à t.
Alors, t est fixé.
On choisit epsilon positif, et on va
considérer les deux fonctions indicatrices : indicatrice de X plus petit que t,
et indicatrice de X plus petit que t + epsilon.
Elles sont dessinées ici.
L'indicatrice de X plus petit que t va être égale à 1 jusqu'à t et 0 ensuite,
et l'indicatrice de X plus petit que t + epsilon,
va être égale à 1 pour X plus petit que t + epsilon, et 0 ensuite.
Et nous allons coincer entre ces deux fonctions, qui sont des fonctions en
escalier, on va coincer une fonction h indice epsilon de X,
donc qui va dépendre de epsilon,
et qui est telle que enfin on lui demande d'être continue.
Donc on considère epsilon, une fonction continue de R dans R telle que pour tout
X, h epsilon de X soit compris entre l'indicatrice que X soit plus petit que t,
et l'indicatrice que X soit plus petit que t + epsilon.
Alors je vous en ai donné un exemple, qui est la fonction qui vaut 1 jusqu'à t, qui
suit les pointillés ici, entre t et t + epsilon, et qui vaut 0 après t + epsilon.
Mais vous pouvez en choisir d'autre, bien entendu.
Alors, nous allons maintenant étudier Fn(t).
Comme on l'a dit, c'est la probabilité que Xn soit inférieur ou égal à t.
Si je considère maintenant cette inégalité en l'appliquant à Xn,
et si j'en prends l'espérance, je vais avoir que la probabilité que Xn
soit plus petit que t, est inférieure ou égale à l'espérance de h epsilon de Xn.
C'est ce que j'ai écrit ici, la probabilité de
Xn plus petit que t est inférieure ou égale à l'espérance de h epsilon de Xn.
Maintenant, nous savons que ce terme de droite,
espérance de h epsilon de Xn, a une limite quand n tend vers l'infini.
En effet nous avons supposé que Xn convergeait en loi vers X, et nous savons
que h epsilon est continue par hypothèse et bornée par 1 par définition.
Grâce à l'encadrement.
Donc, nous savons que l'espérance de h epsilon de Xn,
converge quand n tend vers l'infini, vers l'espérance de h epsilon de X.
A gauche, nous ne savons pas encore que la probabilité
de Xn plus petit que t admet une limite.
Mais, nous savons que ça admet au moins une limite supérieure,
quand n tend vers l'infini, et donc, nous avons l'encadrement que la limite sup
des Fn(t), probabilité d'avoir Xn plus petit que t,
est inférieure ou égale à l'espérance de h epsilon de X.
Alors maintenant, revenons à l'encadrement.
h epsilon de X ça va être majoré par l'indicatrice de
X plus petit que t + epsilon.
Si je prends l'espérance de h epsilon de X,
ça va être plus petit que la probabilité d'avoir X plus petit que t + epsilon.
C'est-à-dire la fonction de répartition de X, F, pris en t + epsilon.
Donc, nous avons ici cet encadrement, espérance de h epsilon de X,
et par définition de h epsilon, plus petit que F pris au point t + epsilon.
Donc vous voyez, maintenant, on a envie de faire tendre epsilon vers 0.
Et si on fait tendre epsilon vers 0, Nous savons que la fonction de
répartition est continue à droite, donc on sait que quand epsilon tend vers 0,
F de t + epsilon tend vers F(t).
Et nous aurons donc ainsi obtenu que, la limite sup quand n tend vers l'infini,
de probabilité de Xn plus petit que t, est majorée par F(t).
Pour la limite sup, en tous cas,
l'argument F continue n'est pas nécessaire parce que l'on sait que
la fonction de répartition est toujours continue à droite.
En revanche, l'hypothèse F continue va être nécessaire
pour le raisonnement que nous allons faire maintenant,
que je vous demande de finir de construire à titre d'exercice,
qui est de faire la même chose, mais en utilisant maintenant des minorations.
Donc on va minorer la probabilité de Xn plus petit que t,
donc en utilisant là encore ces encadrements,
mais d'une manière un peu différente, et je vous demande de montrer que par
le même type d'argument, la limite inf de la probabilité de Xn plus petit que t,
est supérieure ou égale à la limite à gauche de F en t.
C'est-à-dire la limite quand
epsilon tend vers 0, de F de t moins epsilon.
et là, l'hypothèse de continuité de F nous assure que cette limite à gauche,
que j'ai notée F(t-), nous avions vu cette notation-là, déjà, préalablement
dans le cours, donc la continuité de F nous assure que F(t-) est égale à F(t),
et donc vous voyez que de ce fait, nous avons coincé
la limite inf, qui est toujours plus petite que la limite sup,
entre F(t) d'une part et F(t) d'autre part,
cela nous entraîne donc que la limite inf de Fn(t) est égale à sa limite sup,
cela veut dire qu'on a bien une limite, et que cette limite est égale à F(t).
Donc comme je vous l'ai dit,
nous ne démontrerons pas la réciproque de cette proposition.
Alors, corollaire de ce résultat.
C'est un corollaire pratique, on suppose toujours que Xn converge en loi vers X,
et on suppose que X admet une densité.
Nous l'avons vu précédemment, si X admet une densité,
la fonction de répartition est continue, et donc la convergence en loi entraîne
la convergence de la suite des fonctions de répartition en tous points.
Donc maintenant, si on regarde la probabilité d'avoir Xn dans ]a, b],
on sait que par définition c'est égal à Fn(b)- Fn(a)
et on va déduire de la proposition précédente, que cela converge vers
F(b)- F(a) pour tous points a et b.
Avec a plus petit que b.
F(b)- F(a) est égal, par définition, à la probabilité d'avoir X dans ]a, b].
Donc nous avons montré que, Pour tout a, b la probabilité que Xn soit dans ]a,b]
converge quand n va vers l'infini vers la probabilité que x soit dans ]a,b].
Je vous signale juste ici que l'hypothèse que nous avons faite
concerne uniquement la régularité de la fonction de répartition limite,
on a fait aucune hypothèse sur les Fn C'est aussi la force
de ce théorème, d'avoir une hypothèse que sur une seule variable aléatoire.
Alors maintenant nous allons voir un théorème fameux qui va être en fait
pour nous le point clef pour démontrer dans la prochaine et dernière séance
le théorème de la limite centrale.
Donc nous allons voir maintenant pour finir cette séance
le théorème de Paul Lévy.
Alors je ne peux résister de vous parler un tout petit peu de Paul Lévy.
Donc vous voyez la photo là.
Paul Lévy est une des grandes figures des probabilités,
puisque c'est en gros le premier grand probabiliste français.
Donc qui a vécu comme je vous le mets de 1886 à 1971, qui était
polytechnicien, et qui a été professeur à l'École Polytechnique à partit de 1920.
Donc il a beaucoup développé les probabilités, de manière extrêmement
rigoureuse, et en particulier beaucoup de propriétés fines d'un objet qu'on
appelle le mouvement Brownien, qui dépasse très très largement le cadre de ce cours,
mais qui est un objet fondamental dans la modélisation probabiliste.
Donc le théorème de Paul Lévy en fait va nous donner une caractérisation de
la convergence en loi par la convergence des fonctions caractéristiques.
Donc on regarde ici de manière même très générale une suite de
vecteurs aléatoires qui appartiennent donc, qui sont mettons d dimensionnels.
Donc premier résultat qui est le résultat simple de ce théorème, qui est immédiat,
c'est que si la suite de vecteurs aléatoires Xn convergent en loi vers X,
et bien la suite des fonctions définies
de R de ces vecteurs aléatoires converge
simplement vers phi de X, c'est-à-dire converge point par point vers phi de x.
Ce qui est intéressant c'est la réciproque, c'est-à-dire de savoir
si l'on peut avoir une caractérisation de la convergence en loi dont on a vu que
c'était quand même quelque chose de pas très simple à manipuler,
donc avoir la caractérisation de cette convergence par la convergence
de la suite des fonctions caractéristiques des vecteurs aléatoires Xn.
Et donc le résultat est le suivant: si l'on peut montrer que les fonctions
caractéristiques phi Xn convergent simplement vers une fonction phi
dont on suppose qu'elle est continue en zéro, et bien on est certain que
phi est la fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire, que j'appelle grand X,
et de plus on peut montrer que Xn converge en loi vers grand X.
Alors il y a deux choses dans ce résultat.
En fait on ne connaît que la suite Xn,
donc on ne connaît que les fonctions caractéristiques des Xn,
et on montre que en tant que fonction définie de Rd et à valeur complexe elles
convergent en tout point, elles convergent simplement vers une fonction phi.
Mais on ne sait pas a priori que phi est la fonction caractéristique d'un
vecteur aléatoire.
Et en fait pour savoir en plus cela
il suffit de montrer que phi est continu en zéro.
Je vous rappelle qu'une fonction caractéristique est toujours
continue en zéro c'est une des premières propriétés.
qu'on a vu dans la séance un du cours six.
Donc si on suppose que phi est continu en zéro, on va pouvoir que phi est
effectivement la fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire, c'est-à-dire
que phi de u pour u un vecteur de Rd peut peut s'écrire comme l'espérance de
exponentielle de i u scalaire grand X pour un certain vecteur aléatoire grand X,
et de plus on montre que Xn converge alors en loi vers grand X.
Donc cette preuve est lourde à développer donc
je ne vais pas le faire dans le cadre de ce cours, mais on va voir en
séance numéro cinq du cours six une application
fondamentale de ce théorème en prouvant le théorème de la limite centrale.
Nous allons maintenant dire un mot de la preuve de l'assertion un.
Donc dans l'assertion un on suppose que Xn converge en loi vers X.
Par ailleurs, la fonction qui a X associe et puissance i u scalaire X
est une fonction continue bornée de x pour tout u à vecteur de R puissance d.
En effet je vous rappelle que ces nombres sont de module un.
Et donc on sait par définition de la convergence en loi que
l'espérance de e puissance i u scalaire Xn converge vers l'espérance de
e puissance i u scalaire X, c'est-à-dire que phi
Xn prise en u converge vers phi x pris en petit u.
Cela nous prouve la convergence simple de la suite de fonction phi Xn vers phi x.
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