ou n, qui varie dans N, modélisant le numéro de l'expérience que l'on répète.
Donc, imaginez par exemple, si vous posez la question sur un sondage,
où la réponse est 1 ou 0, on va interroger n personnes,
chacune de ces personnes va vous donner une réponse, qui sera 1 ou 0,
que vous allez pouvoir modéliser par une donnée, xi, qui est la valeur numérique
d'une variable aléatoire de Bernoulli, qui prend ce nombre de valeurs O et 1.
Donc, on va ainsi modéliser les résultats des expériences consécutives.
Donc, si l'on veut avoir une information sur ces variables aléatoires,
là on sait qu'elles ont même loi, on sait que ces variables Xi,
qui nous donnent un résultat quantitatif quand on a tiré nos n expériences,
nous donnent des valeurs d'une même loi de variable aléatoire, et si on
veut avoir une idée de la valeur moyenne, on va en étudier la moyenne empirique.
C'est-à-dire regarder la moyenne des résultats (X1 + X2...
+ Xn) / n.
Donc, cette quantité-là est une variable aléatoire,
qui ici, décrit la moyenne des données X1, X2,...
Xn.
Maintenant nous avons dit que nous voulons répéter un très grand nombre de fois
l'expérience, et même je vous rappelle,
dans le modèle heuristique, donc le modèle probabiliste que nous avons construit,
l'idée est de faire tendre le nombre d'expériences vers l'infini.
Donc notre but ici, est de comprendre quel est le comportement de cette variable
aléatoire, qui est la moyenne empirique
de n variables aléatoires indépendantes et de même loi, quand n tend vers l'infini.
Donc, ça, c'est un problème compliqué qui a été résolu pour un jeu de Pile ou Face,
donc pour le jeu de réponses au sondage 0, 1 qu'on a vu tout à l'heure
donc par Bernoulli, donc au début du XVIIIe siècle, mais je vous ai juste mis,
à titre indicatif, que des généralisations dont celles que l'on verra
dans la séance 4, n'ont été apportées qu'au XXe siècle.
Donc en fait, pour comprendre et définir ces notions de convergence, et prouver des
résultats de convergence sur ce type de suite de variables aléatoires,
eh bien ça a demandé beaucoup de temps et ce sont des choses assez délicates.
Donc, la question, première question,
je vous rappelle que les Xi ne sont pas des nombres, mais ce sont des fonctions,
puisque les variables aléatoires sont des fonctions de l'aléa,
et on a donc ici une suit, indexée par n,
de fonctions définies de oméga à valeur dans R ou un sous-ensemble de R,
bon, on va parler de variables réelles mais on pourrait parler aussi de vecteur
aléatoire, puisqu'on a vu dans le cours 4 ce que c'était qu'un vecteur
aléatoire à valeur dans R puissance d, donc ici, on a une suite de fonctions.
Et la question, c'est : comment allons-nous définir
une notion de convergence pour cette suite de variables aléatoires?
En fait on va voir qu'on a plusieurs notions de convergence possibles,
et que nous allons définir, et nous allons jouer en fait entre toutes ces notions,
et voir les liens entre les différentes notions que nous allons définir.
Donc le but maintenant de cette séance, est de commencer à réfléchir à cette
définition de limite, quand n tend vers l'infini, de la suite de fonctions,
qui à oméga associent X1 de oméga ou +Xn de oméga sur n.
Quand n, bien sûr, tend vers l'infini.
Alors on va oublier un petit moment ces moyennes empiriques, et plus généralement,
on va oublier le contexte de la loi des grands nombres qui nous intéresse, plus
généralement, on va introduire une suite de variables aléatoires Xn, et on cherche
à définir des notions de convergence de cette suite de variables aléatoires.
Comme je vous l'ai dit, il y a plusieurs notions de convergence,
qui ne seront pas équivalentes, mais il y a deux types de notions de convergence.
Il y a une notion, donc il y a une famille de convergence qui va décrire la proximité
des variables aléatoires, et qui va donc nécessiter que les
variables aléatoires soient définies sur le même espace de probabilité,
ce sont les notions de convergence que l'on va définir aujourd'hui, et puis il y
a une notion de convergence qui va décrire la proximité des
lois des variables aléatoires, et celle-là on ne va pas la regarder tout-de-suite,
on va l'introduire dans le cours numéro 6.
C'est ce qu'on appellera la convergence en loi.
