Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Lois de Gauss et de Cauchy
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2
13 notes
À partir de la leçon
VECTEURS ALÉATOIRES (2/2)
Il s'agit de la suite et de la fin du Cours 4. Nous allons en particulier généraliser le résultat qui nous permet de faire des calculs de lois.
Rencontrer les enseignants
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] Bonjour.
Nous allons faire un exercice qui s'appelle Lois de Gauss et de Cauchy.
C'est un exercice de calcul de loi de couple de variables aléatoires.
Soit X, Y un couple aléatoire de densité sur R 2,
donné par 1 sur 2Pi, valeur absolue de x, exponentielle de moins x 2,
facteur de (1 + y 2), divisé par 2.
Première question, calculer les densités de X et de Y,
ce qu'on appelle les densités ou les lois marginales.
Deuxième question, calculer la densité conditionnelle de Y sachant que X vaut x0.
Troisième question, calculer la densité du couple X, XY.
Voici la solution de l'exercice sur les lois de Gauss et de Cauchy.
Nous avions une loi du couple X et Y, on demandait la loi de X et la loi de Y, les
marginales, donc par un résultat du cours, la densité de X, la première marginale,
s'obtient en prenant la densité du couple et en intégrant en la deuxième variable,
donc la densité de X, c'est 1 sur 2Pi, l'intégrale en y appartenant à R,
de valeur absolue de x, exponentielle de moins x 2 sur 2,
exponentielle de moins, x 2, y 2, sur 2, dy.
Donc, juste par linéarité de l'intégrale, on peut écrire ça 1 sur 2Pi,
valeur absolue de X, exponentielle de moins, x 2 sur 2, facteur de l'intégrale,
pour y appartenant à R, de exponentielle de moins, x 2, y 2, sur 2, dy.
À ce moment-là, nous faisons un changement de variables,
nous faisons le changement de variables z égale xy.
C'est un changement de variable de R dans R, pour x différent de 0.
Donc, comme la droite, x égale 0, est de mesure nulle dans le plan,
on peut faire ce changement de variables sans altérer le résultat.
Donc, en tout cas, en tout x différent de 0, ça sera valable et en x égale 0,
nous, on prendra le résultat par continuité.
Donc, cette intégrale, l'intégrale, de y appartenant à R,
d'exponentielle de moins x 2, y 2, sur 2, dy peut s'écrire,
on rentre valeur absolue de x, qui est le déterminant du jacobien, du changement de
variables, qui est ici un changement de variables unidimensionnel, en fait, donc,
peut s'écrire comme étant valeur absolue de x, intégrale pour y de e moins x 2,
y 2, sur 2, dy, s'écrit intégrale z, de exponentielle moins z 2, sur 2, dz, donc,
en fin de compte, la densité de X s'écrit comme étant 1 sur 2Pi, exponentielle
de moins x 2, sur 2, facteur d'intégrale en z d'exponentielle moins z 2 sur 2, dz.
Donc, ensuite, il y a 2 points de vue, soit il faut calculer cette intégrale,
soit c'est une constante,
soit il faut normaliser correctement cette fonction exponentielle moins x 2 sur 2.
Donc, en considérant la loi gaussienne que l'on voit apparaître, la densité de X,
c'est 1 sur racine de 2Pi, exponentielle de moins x 2 sur 2.
Je rajoute, qu'il y a 2 façons de faire soit vous calculez l'intégrale en z,
d'exponentielle moins z 2 sur 2, dz, en rapportant ça à une intégrale gaussienne,
soit vous dites, la densité est proportionnelle à la densité N (0, 1),
la densité gaussienne N (0, 1), et donc, ensuite la constante de normalisation,
nous la connaissons tous, c'est 1 sur racine de 2Pi.
Donc, en fin de compte, X est de loi 1 sur racine de 2Pi, exponentielle moins x 2 sur
2, c'est une variable aléatoire gaussienne centrée réduite.
Maintenant, nous allons calculer la densité de Y.
De même par le cours, on obtient en intégrant la densité du couple en x,
cette fois, en autre variable.
Donc, il s'agit de calculer 1 sur 2Pi, intégrale en x de valeur absolue de x,
exponentielle de moins x 2, facteur de 1 + y 2, sur 2, dx.
Pour lever la valeur absolue et aussi pour obtenir à la fin une bijection,
nous remarquons que par parité, cette intégrale,
c'est 2 fois l'intégrale pour x positif.
Donc, finalement la densité de Y, c'est 1 sur Pi, on a multiplié 1 sur 2Pi par 2,
1 sur Pi, intégrale en x appartenant à 0,
l'infini, de x exponentielle moins x 2, facteur de (1 + y 2), sur 2, dx.
Donc, un changement de variables naturel, c'est de poser z égale x 2,
c'est un changement de variable 0, l'infini, dans 0,
l'infini, la dérivée c'est 2x, et donc, tout calcul fait, en utilisant,
enfin, c'est un changement de variable unidimensionnel, mais en utilisant
le Jacobien ou la dérivée, nous obtenons que c'est 1 sur 2Pi, intégrale, pour z
appartenant de 0 à l'infini, exponentielle de moins z facteur de (1 + y 2), sur 2,
dz, donc nous avons changé par rapport à la ligne d'avant x 2 en z et fait le
changement dans le terme d'intégration dx, x dx, ou plutôt 2x dx égale dz.
Donc, ensuite, nous avons primitivé cette intégrale, enfin,
nous savons trouver la primitive de la fonction qu'on intègre, donc,
en définitive, nous avons 1 sur 2Pi, et puis, nous prenons la primitive, donc,
entre z égale 0 et l'infini, la primitive, c'est moins 2 sur 1 + y 2,
facteur de exponentielle de moins, z, facteur (1 + y 2), sur 2.
Donc, là, c'est simplement calculer la primitive de cette fonction.
Donc, en prenant les valeurs en 0 à l'infini,
on trouve 1 sur Pi, facteur de 1 sur, 1 + y 2.
On reconnaît la densité de la loi de Cauchy.
Solution de la deuxième question,
il s'agissait de calculer la densité conditionnelle de Y, sachant que X
vaut x0, donc en suivant le cours, cette loi a pour densité, notée dans le cours,
f de Y sachant que X égale x0, prise en y, variable d'intégration de la densité,
qui s'obtient en prenant le quotient de la densité jointe f du couple X,
Y prise en x0, en la valeur que l'on a constatée pour X et en Y,
la variable d'intégration, le tout divisé par la densité de X, prise en x0.
Autrement dit, il s'agit de prendre la loi jointe, de figer la variable x, en x0,
et ensuite de normaliser correctement, et donc, on obtient cette formule-là.
Donc, ensuite un calcul, il suffit de remplacer par ce qu'on a déjà calculé,
nous montre que donc cette densité conditionnelle, c'est 1 sur 2Pi,
valeur absolue de x0, exponentielle de moins x0 2 facteur (1 + y 2) sur 2,
divisé par 1 sur racine de 2Pi exponentielle de moins x0 carré sur 2,
densité gaussienne centrée réduite.
Donc, tout calcul fait, ça nous donne 1 sur racine de 2Pi, valeur absolue de x0,
exponentielle de moins x0 carré y2 divisé par 2, la variable étant y,
donc on reconnaît une densité gaussienne et plus précisément, la densité gaussienne
centrée et de variance 1 sur valeur absolue de x0 carré ou 1 sur x0 carré.
Maintenant, la solution de la troisième question,
on demandait la densité du couple X, XY.
Pour cela, on utilise la méthode de la fonction muette.
Commençons par prendre les fonctions h continues bornées de R 2 dans R.
Nous voulons calculer l'espérance de h de (X, XY), nous connaissons la
loi du couple X, Y, donc cette espérance de h de (X,
XY) s'écrit comme étant 1 sur 2Pi, intégrale sur R 2, de h de (x,
xy), multiplié par la densité du couple valeur absolue de x,
exponentielle de moins, x 2 facteur de (1 + y) carré sur 2, dx, dy.
Dans cette intégrale, nous allons effectuer un changement de variables.
Donc, d'un coté, nous allons garder la coordonnée x,
et nous allons introduire une nouvelle coordonnée z.
Donc, comme souvent dans ces cas-là,
on note à la fois des nouvelles coordonnées x et z, puis en fait,
comme elles sont fonctions des anciennes coordonnées, on note de la même façon z et
et on peut la noter comme étant un z de x, y, et z va être pris égale à z, y,
c'est un changement de variables assez naturel, étant donné l'intégrale,
on veut garder x en place et on veut remplacer x, y par une variable z.
Donc, n'oublions pas qu'en effectuant un changement de variables,
on considère des fonctions, donc on peut calculer les dérivées partielles.
Donc, la dérivée partielle d ronde sur d ronde x, de x, c'est 1,
les dérivées partielles d ronde sur d ronde y, de x, c'est 0,
la dérivée partielle d ronde sur d ronde x, de z, c'est y, puisque z, c'est x,
y, et d ronde sur d ronde y, de z, c'est x, puisque z, c'est x, y.
Donc, ce changement de variables correspond à un difféomorphisme de
R X R moins 0, dans R 2.
La valeur absolue du Jacobien,
c'est-à-dire la valeur absolue du déterminant de la matrice Jacobienne,
qui est la matrice à ses dérivées partielles, vaut valeur absolue de x.
Et donc, d'après le théorème de changement de variables dx dz peut
s'écrire comme étant valeur absolue de x, dx dy.
Donc, maintenant que j'ai bien explicité le changement de variables du Jacobien
qui lui correspond, nous reprenons le calcul d'espérance de h de (X, XY).
Donc, nous avons vu qu'en utilisant tout simplement la densité du couple X, Y,
ça s'écrit comme étant 1 sur 2Pi, intégrale de h de (x,
xy) fois la densité du couple valeur absolue de x,
exponentielle de moins x 2 facteur de (1 + y) 2, divisé par 2, dx dy.
Le changement de variables, nous avons vu que valeur absolue de x,
dx dy pouvait s'écrire comme dx dz.
Il y a un théorème qui justifie ça, théorème de changement de variables,
donc nous avons 1 sur 2Pi, intégrale de h de (x, z),
exponentielle de moins x 2 + z 2 sur 2, dx dz.
Nous avons fait le changement de variables en question, xy égale z,
donc en développant x 2 facteur de 1 + y 2, ça nous donne x 2 + x 2 y 2,
c'est-à-dire plus x y au carré, ça nous donne donc z carré.
Donc, nous avons exponentielle de moins x 2 + z 2, sur 2.
Ensuite, de par les propriétés de l'exponentielle, nous pouvons écrire ça,
comme étant 1 sur 2Pi, intégrale de h de (x, z),
exponentielle de moins x 2 sur 2, exponentielle de moins z 2 sur 2, dx dz.
Donc, nous avons trouvé une intégrale par rapport à un produit d'une fonction de x
et d'une fonction de z.
Du coup, on reconnaît grâce à cette formule, qui est valable pour toutes les h
continues bornées, et qui caractérise donc une loi.
On reconnaît que X et XY sont indépendantes, car leur densité jointe,
qui est sur la dernière ligne de l'équation,
est de forme produit et en plus, en regardant, nous voyons qu'il s'agit,
en fait, de 2 densités gaussiennes centrées réduites.
Donc, X et XY sont 2 variables aléatoires indépendantes de loi gaussienne,
centrées réduites.
Ceci finit l'exercice.
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