Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Loi triangulaire
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2
13 notes
À partir de la leçon
VECTEURS ALÉATOIRES (1/2)
Nous entamons cette semaine le Cours 4 dont le sujet est les vecteurs aléatoires, c'est-à-dire, une collection finie de variables aléatoires réelles, comme par exemple des couples de variables aléatoires. Ce cours s'étend sur deux semaines.
Rencontrer les enseignants
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON]
[AUDIO_VIDE] Bonjour.
Bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'école polytechnique.
Nous sommes au cours 4, et nous allons faire un exercice sur la loi triangulaire.
Donc exercice de la loi triangulaire,
nous regardons un couple aléatoire, X, Y, de densité uniforme sur le triangle.
Le triangle défini, pour des constantes a strictement positif et b strictement
positif par l'ensemble de tous les couples xy de r² tel que x est positif,
y est positif, et x sur a plus y sur b est inférieur ou égal à un.
Je vais vous faire un dessin tout à l'heure,
je vous conseille évidemment de faire le dessin.
Première question.
Donner une forme explicite pour cette densité.
Là on a juste dit que c'était une densité uniforme.
Deuxième question.
Calculer les lois de X et de Y.
Ce qu'on appelle les lois marginales du couple.
Troisième question.
Calculer la loi conditionnelle de Y sachant que X vaut x 0.
Et cela pour un x0 strictement inclus entre 0 et a.
Quatrièmement.
Dire si X et Y sont indépendantes.
Donc je vais faire un dessin,
juste pour expliquer un peu la situation géométrique de la loi.
Donc je vais tracer les axes x et y.
Les constantes a et b.
Et le triangle en question.
Et donc, nous chargeons ce domaine-ci d'une masse uniforme.
Voilà la le domaine dans lequel il y a une probabilité uniforme pour cette loi.
Donc, avant de regarder la solution, je vous conseille de faire le dessin et
de regarder les questions à la lueur de ce dessin.
Donc solution de l'exercice sur la loi triangulaire.
Nous savons calculer l'aire d'un triangle rectangle, par un calcul d'intégration
simple, la densité et la forme 2 sur ab indicatrice de
x positif ou nul, y positif ou nul, et x sur a plus y sur b inférieur ou égal à un.
Je reviens sur le dessin.
L'aire est égale à la moitié de l'aire du rectangle,
donc c'est ab sur 2.
Donc, c'est la constante qu'il faut il faut diviser l'indicatrice
par cette constante pour avoir quelque chose dont l'intégrale totale fasse 1.
Donc voilà la ça résout la première question de l'exercice.
Deuxième question de l'exercice.
On demande de calculer les lois marginales, la loi de X et la loi de Y.
Je vous rappelle que pour calculer une marginale, il suffit d'intégrer
sur les autres coordonnées, ici c'est un couple, donc c'est sur l'autre coordonnée,
ceci se voit tout simplement en calculant les espérances de h de
X et de Y pour des fonctions h qui ne dépendent que d'une coordonnée.
Donc ici, je vais faire le calcul d'abord de façon analytique,
puis je vais le montrer sur le dessin, donc la densité de X c'est 2 sur
ab, la quantité et le facteur qui permet de normaliser correctement la densité,
intégrale sur y, de l'indicatrice que x soit positif ou nul,
que y soit positif ou nul, et que x sur a plus y sur b soit plus petit que 1, dy.
Donc nous réarrangeons un peu cet ensemble, donc c'est 2 sur ab indicatrice
que x x positif ou nul, et que y est compris entre 0 et b moins b sur ax.
Donc une fois qu'on a écrit ça comme ça, nous voyons que ça s'écrit comme étant
deux sur ab indicatrice que x est compris entre 0 et a, indicatrice que x est
supérieur ou égal à 0 et inférieur ou égal à 1, multiplié par b moins b sur ax.
Donc par symétrie, la densité de Y s'écrit 2 sur ab,
indicatrice que Y est compris entre 0 et b, facteur de moins a sur bx.
Je vais faire un petit dessin, pour montrer que ça se voit bien sur le dessin,
nous revenons sur le dessin, donc il s'agit essentiellement,
pour savoir ce qui se passe pour la marginale X, il s'agit de sommer tout ça.
Pour calculer ce qui se passe sur ax X il s'agit de rabattre toute la masse
sur l'axe ici, c'est pour ça que ça s'appelle une loi marginale
donc la loi de X s'obtient en rabattant toute la masse sur l'axe,
et c'est la formule que l'on a écrite.
Je vais maintenant résoudre la troisième question de l'exercice.
En suivant le cours,
nous cherchons la loi conditionnelle de Y sachant que X est égal à x0.
Donc, je vous rappelle que comme c'est une loi à densité,
la probabilité que X soit égal à x0 est nulle.
Il n'empêche, que la densité de X est strictement positive sur l'intervalle [a,
b] et que, nous avons par un passage à la limite,
nous pouvons définir une densité conditionnelle.
En suivant le cours, la loi conditionnelle de Y sachant que X égal x0,
a une densité qui est notée f indice Y sachant que X égal x0 de y,
là on avait un y, qui s'obtient en faisant le quotient de la densité du couple,
ce qui est noté ici f de, entre parenthèses, xy en indice pris au
point x0 et y, on prend la densité en fixant la
variable x en x0, et en divisant ça, pour des raisons de normalisation,
par la valeur de la densité de X prise au point x0.
Nous n'avons plus qu'à prendre les formules que nous savions déjà calculer.
Donc la densité du couple, c'est 2 sur ab indicatrice de x0,
on l'a prise en point x0 de x0 positif ou nul y positif ou
nul et x0 sur a plus y sur b inférieur ou égal à 1, je vous rappelle que x0,
on suppose qu'il est compris entre 0 et a, il n'y aura pas de surprise,
Et donc on le divise par 2 sur ab, l'indicatrice, de nouveau je l'écris ici,
de x0 compris entre 0 et a, facteur de b moins b sur ax0,
donc là c'est la densité de X, prise au point x0.
Donc ensuite on simplifie les deux sur ab, et les indicatrices sur x0,
on a supposé qu'x0 était entre 0 et a, disparaissent,
et tout ce qui reste, c'est que l'indicatrice de du fait que y est
compris entre 0 net b moins b sur ax0 divisé par b moins b sur ax0.
Bien entendu, on a choisi x0 de telle sorte que cette fonction a un sens.
Une fois qu'on voit ça, on voit que c'est la loi uniforme, sur l'intervalle 0,
b moins b sur a x0 et donc normalisé par la longueur cet
intervalle qui est b moins x sur a x 0.
Juste pour refaire le dessin, on constate que X est
égal à x0 à ce moment-là,
Y va être distribué là-dessus.
Donc là c'est Y sachant que X égal x0, ça va être distribué uniformément là-dessus,
et donc, voilà l'explication graphique des calculs que l'on a fait,
d'équations de densité.
Ainsi, nous avons vu le dessin,
donc on a calculé la densité de la loi conditionnelle de Y sachant que X égal x0.
Dernière question.
Est-ce que X et Y sont indépendantes?
Une première remarque, c'est qu'évidemment, si elles étaient
indépendantes, leur loi, la loi du couple, serait la loi de produit.
Or la loi de produit charge tout le rectangle.
Puisque c'est une loi de produit de choses à densités qui sont strictement positives,
pour X sur 0a et, bon.
Admettons avec les limites exclues et pour Y sur 0b, donc la loi de produit
cherche tout le rectangle, alors que la loi du couple ne cherche que le triangle
inférieur donc c'est clair que ces deux lois sont bien différentes.
Par charger, j'entends à une densité strictement positive.
Donc X et Y ne sont pas indépendantes, une autre façon de voir cela, c'est de
remarquer que la loi conditionnelle de Y sachant que X est égal à x0, dépend de x0.
Donc évidemment, on voit bien qu'il y a une dépendance,
ou tout simplement qu'elles diffèrent de la loi de Y.
Si les variables aléatoires étaient indépendantes,
la loi conditionnelle de Y sachant que X est égal à x0, serait la loi de Y.
Donc ceci termine la quatrième question de l'exercice, et l'exercice lui-même.
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