Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Loi paire flippée
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2
20 notes
À partir de la leçon
VECTEURS ALÉATOIRES (2/2)
Il s'agit de la suite et de la fin du Cours 4. Nous allons en particulier généraliser le résultat qui nous permet de faire des calculs de lois.
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Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON]
[AUDIO_VIDE] Bienvenue
dans le cours d'Aléatoire de l'école Polytechnique.
Nous sommes au cours 4,
nous allons faire un exercice, qui s'appelle Loi paire flippée.
Soit X et U, deux variables aléatoires indépendantes,
on suppose que X est de loi qui satisfait un certain nombre de propriétés.
L'espérance de X doit être nulle.
La variance de X existe, et vaut 1 et X et -X sont la même loi.
Don c'est une loi de carré intégral, d'espérance nulle, de variance 1,
et telle que X et -X sont la même loi,
donc c'est ce qu'on peut appeler une loi paire, ou symétrique,
par exemple la loi gaussienne sont très réduites et pourraient convenir.
X est loi paire, centrée obligatoirement pour une loi paire, et de variance 1.
Et ensuite, U, une variable aléatoire qui prend 2 valeurs, 1 et -1,
la probabilité de U = 1, c'est p et la probabilité que U = -1 est 1- p.
Cette variable aléatoire étant indépendante.
Donc, première question, donner la loi de Y = U fois X, le produit de U et de X.
Avec? p vaut 1 et?- p, U vaut- 1.
Deuxième question, calculer la co-variance de X, Y.
Et trouver un p, tel que la co-variance de X, Y est égale à 0.
Troisième question, on se place dans ce dernier cas,
dans le cas où la co-variance de X et Y est nulle.
a) Trouver une loi pour X, qui
vérifie les conditions que l'on a donné, telle que X et Y sont indépendantes,
et montrer que pour tout autre loi de X, b) montrer que pour tout autre loi de X,
les variables de X et Y ne sont pas indépendantes.
Donc, en fait, dans le troisièmement on va montrer que pour une loi très particulière
dans cette situation, on aura X et Y qui sont indépendantes,
et en général, X et Y ne sont pas indépendantes donc,
je vous conseille de chercher l'exercice avec de passer à la solution.
[AUDIO_VIDE] Solution de l'exercice : loi paire flippée.
Donc, il s'agissait de calculer la loi de Y, Y étant égal à U fois X.
Donc, pour calculer une loi, une façon de faire, c'est de calculer les espérances de
h de Y, pour h d'un ensemble suffisamment grand pour caractériser une loi,
par exemple h appartenant aux fonctions continues bordées de R dans R.
On va calculer l'espérance de h devant Y pour tous les h appartenant à l'ensemble
des fonctions continues bordées.
Donc, l'espérance de h de Y, c'est l'espérance de h de U de X.
Nous ne faisons que dire que h c'est U de X.
Nous décomposons par rapport aux 2 valeurs possibles de U,
donc c'est l'espérance de l'indicatrice que U = 1, h de X, plus l'espérance, par?
de l'espérance de l'indicatrice de u = -1, h de -X, évidemment.
Ensuite, par indépendance, et en connaissant la loi de U,
ceci s'écrit pE(h(X)) + (1-p)E(h-X)).
On peut obtenir directement la formule, c'est essentiellement la formule
de la probabilité totale appliquée aux espérances, E(h(Y)) c'est pE(h(X)),
sachant que (U=1), mais évidemment, par indépendance,
c'est comme si on conditionnait pas, +(1-p)E(h+(-X)).
Donc, parmi les hypothèses, on avait supposé de X et -X ont la même loi.
Donc E(h(Y)), nous avons vu que c'est pE(h(X))
+ (1- p)E(h(-X)), mais comme X et- X ont la même loi,
nous pouvons: E(h(-X)), c'est E(h(X)), donc E(h(Y)),
c'est pE(h(X)) + (1-p)Eh(X)),
en regroupant, ça nous donne E(h(X)).
Cette formule est vraie pour toutes les h continues bornées.
Cela caractérise le fait que Y a la même loi que X.
Donc, cela résout la question.
La loi de Y, c'est la même loi que X.
Donc, la deuxième question, on commençait par demander de calculer la co-variance de
X et Y, et ensuite de trouver un paramètre p tel que cette variance était nulle.
Pour calculer la co-variance de X et Y, on utilise la formule,
c'est la même formule que pour la variance, par polarité,
la variance c'est une forme quadratique, la co-variance, c'est une forme bilinaire.
Donc on utilise le fait que la cov(X,Y) =
E(XY)- E(X)E(Y) et puisqu'ici on a supposé que X
était centré, c'est tout simplement E(XY).
Donc, avec le même calcul que ci-dessus, E(XY) = E(UX²),
on a remplacé Y par sa valeur U fois X, donc E(UX²), et donc,
en conditionnant ou en découpant selon
les valeurs 1 et -1 prise par U, nous écrivons pE(X²) + (1-p)E(-X²).
Lorsque U=-1, nous avons -X² avec?
-p et lorsque U=1, nous avons X² avec?
p. Evidemment, E(-X²), c'est -E(X²),
et donc en définitive, nous trouvons que E(XY), c'est 2p-1.
On va calculer la cov(X,Y), qui vaut aussi 2p-1.
Particulier, nous remarquons que si p est?
= 1/2.
Ceci s'annule, la cov(X,Y) va être nulle pour p=1/2.
Quelque soit la loi de X paire,
vérifiant les propriétés que nous avons données tout à l'heure.
Cela finit la solution de la troisième question,
nous demandions nous nous plaçons dans la situation ou la co-variance est nulle,
où p=1/2 et nous demandions de montrer,
qu'alors il existe une loi particulière de X telle que X et Y sont indépendantes,
et que sinon X et Y ne sont pas indépendantes.
Donc, en réfléchissant un petit peu, évidemment comme U vaut 1 ou -1,
X² = Y², cela est vrai pour n'importe quel p, d'ailleurs,
donc on sent bien qu'il y a une dépendance entre X et Y, certaines fonctions de X et
Y, puisque X² vaut Y², donc la fonction ² de X est égale à la fonction ² de Y,
on voit bien que c'est assez difficile d'avoir de l'indépendance.
L'unique façon pour que les choses égales, comme ça, soit indépendantes,
2 variables aléatoires égales soit indépendantes, si elles sont ?,
elles sont déterministes, constantes.
On ne dépend pas du hasard, c'est un cas un peu dégénéré, et évidemment les
variables aléatoires qui ne dépendent pas du hasard sont toujours indépendantes.
Là, nous décrivons l'intuition, ensuite nous allons faire la preuve, mais
donc X²=Y², et donc X et Y ne peuvent être indépendantes que si X est déterministe.
Donc, maintenant que nous avons compris l'intuition,
revenons à une démonstration précise.
Nous nous posons la question, X a un certain- la loi de X vérifie des
propriétés E(X) = 0, Var(X) = 1, et en plus, je vous rappelle
que X est paire, c'est-à-dire que la loi de X doit être la même que la loi de -X.
Donc, à ce moment-là, X² est déterministe, donc constant, donc l'espérance étant
égale à 0, var(X) et E(X²) = 1, donc X² doit être constant =1.
Avec la condition de symétrie, en plus, sur la loi,
le fait que la loi de X et -X est la même, unique possibilité,
c'est que la probabilité de X=1 est la même que la probabilité que X=-1, =1/2.
Donc, considérons cette loi-là,
qui vérifie toutes les hypothèses que l'on donne.
C'est une loi paire, d'espérance nulle et de variance 1.
On vérifie, alors aisément, parce que c'est un cas très particulier,
que la preuve que l'on peut faire tous les calculs pour voir ce que la loi jointe
que X et Y est une loi produit, par exemple, il y a 4 termes à voir,
3 si on tient compte des complémentaires.
Donc, un exemple, c'est que la probabilité pour que X=-1 et que Y=-1,
c'est la même que la probabilité pour que X=-1 et que U=-1,
c'est l'unique façon pour que X=-1, on ait Y,
UX =-1, là on utilise l'indépendance de X et de U.
C'est la probabilité P(X=-1)P(U=-1) et donc, c'est 1/2 fois 1/2 = 1/4.
Et donc, les quatre termes sont, de même, = 1/4.
Donc, on vérifie que danc ce cas dégénéré, X vaut 1 ?, -1?
A ce moment-là, X et Y sont indépendantes.
Nous allons maintenant résoudre le b).
Donc nous avons vu que si X² était déterministe, alors,
nécessairement, à cause des propriétés de la loi de X, X=1?
et vaut -1 ?.
Donc nous nous plaçons dans le cas où X² n'est pas déterministe.
Donc à ce moment-là,
nous voulons montrer que X et Y ne peuvent pas être indépendantes.
Donc une façon de montre ça, c'est de montrer que X² et Y²,
n'est pas le même que le produit des espérances E(X²)E(Y²).
Donc nous calculons, E(X²Y²) =E(X⁴) et donc nous allons
voir que c'est strictement supérieur à E(X²)E(Y²) = E(X²)², donc nous voyons ça,
par exemple, par le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwartz.
Le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwartz, c'est que les variables
sont déterministes, essentiellement, ou par le fait que Var(X²),
c'est par définition, E(X⁴)- E(X²)² et donc,
si X² n'est pas déterministe, nous savons que la variante est strictement positive.
Nous venons de montrer que E(X²Y²) n'est pas égal à E(X²)E(Y²),
donc en particulier, X² et Y² ne sont pas indépendantes et X et Y ne
peuvent pas être indépendantes non plus, puisque X²,
c'est une fonction simple de X et Y² est une fonction simple de Y.
Donc, nous avons ainsi terminé l'exercice.
Nous venons de montrer que si nous n'étions pas dans le cas où X=1 et?
p = -1?
-P X et Y ne sont pas indépendantes.
Donc, on n'a pas mis dans l'hypothèse que E(X⁴) est finie,
mais il n'empêche que si E(X⁴) était infinie, a fortiori,
E(X⁴) est strictement plus grande que E(X²)E(Y²),
où nous avons supposé que E(X²) était définie et finie,
c'est la variance c'est égal à 1 et Y² c'est aussi fini, donc la preuve
que je viens de donner est aussi valable dans le cas où X⁴ n'est pas intégrable.
Nous avons ainsi terminé l'exercice.
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