Donc, maintenant que nous avons compris l'intuition,
revenons à une démonstration précise.
Nous nous posons la question, X a un certain- la loi de X vérifie des
propriétés E(X) = 0, Var(X) = 1, et en plus, je vous rappelle
que X est paire, c'est-à-dire que la loi de X doit être la même que la loi de -X.
Donc, à ce moment-là, X² est déterministe, donc constant, donc l'espérance étant
égale à 0, var(X) et E(X²) = 1, donc X² doit être constant =1.
Avec la condition de symétrie, en plus, sur la loi,
le fait que la loi de X et -X est la même, unique possibilité,
c'est que la probabilité de X=1 est la même que la probabilité que X=-1, =1/2.
Donc, considérons cette loi-là,
qui vérifie toutes les hypothèses que l'on donne.
C'est une loi paire, d'espérance nulle et de variance 1.
On vérifie, alors aisément, parce que c'est un cas très particulier,
que la preuve que l'on peut faire tous les calculs pour voir ce que la loi jointe
que X et Y est une loi produit, par exemple, il y a 4 termes à voir,
3 si on tient compte des complémentaires.
Donc, un exemple, c'est que la probabilité pour que X=-1 et que Y=-1,
c'est la même que la probabilité pour que X=-1 et que U=-1,
c'est l'unique façon pour que X=-1, on ait Y,
UX =-1, là on utilise l'indépendance de X et de U.
C'est la probabilité P(X=-1)P(U=-1) et donc, c'est 1/2 fois 1/2 = 1/4.
Et donc, les quatre termes sont, de même, = 1/4.
Donc, on vérifie que danc ce cas dégénéré, X vaut 1 ?, -1?
A ce moment-là, X et Y sont indépendantes.
Nous allons maintenant résoudre le b).
Donc nous avons vu que si X² était déterministe, alors,
nécessairement, à cause des propriétés de la loi de X, X=1?
et vaut -1 ?.
Donc nous nous plaçons dans le cas où X² n'est pas déterministe.
Donc à ce moment-là,
nous voulons montrer que X et Y ne peuvent pas être indépendantes.
Donc une façon de montre ça, c'est de montrer que X² et Y²,
n'est pas le même que le produit des espérances E(X²)E(Y²).
Donc nous calculons, E(X²Y²) =E(X⁴) et donc nous allons
voir que c'est strictement supérieur à E(X²)E(Y²) = E(X²)², donc nous voyons ça,
par exemple, par le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwartz.
Le cas d'égalité de l'inégalité de Cauchy-Schwartz, c'est que les variables
sont déterministes, essentiellement, ou par le fait que Var(X²),
c'est par définition, E(X⁴)- E(X²)² et donc,
si X² n'est pas déterministe, nous savons que la variante est strictement positive.
Nous venons de montrer que E(X²Y²) n'est pas égal à E(X²)E(Y²),
donc en particulier, X² et Y² ne sont pas indépendantes et X et Y ne
peuvent pas être indépendantes non plus, puisque X²,
c'est une fonction simple de X et Y² est une fonction simple de Y.
Donc, nous avons ainsi terminé l'exercice.
Nous venons de montrer que si nous n'étions pas dans le cas où X=1 et?
p = -1?
-P X et Y ne sont pas indépendantes.
Donc, on n'a pas mis dans l'hypothèse que E(X⁴) est finie,
