ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

20 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

20 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES, CONVERGENCE EN LOI ET THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE (2/2)

Cette dernière semaine est consacrée au second pilier de la théorie des probabilités : le théorème de la limite centrale. Ce résultat nécessite une nouvelle notion de convergence : la convergence en loi. Nous verrons notamment une application aux intervalles de confiance qui sont utilisés pour les sondages.

ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE9:01

INTERVALLES DE CONFIANCE D'UN SONDAGE17:30

ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : INTERVALLES DE CONFIANCE16:32

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

[AUDIO_VIDE] L'objet

de cette séance va être d'illustrer,

avec une expérience numérique interactive, le théorème limite centrale.

Je commence par vous rappeler l'énoncé de ce théorème.

On se donne une suite de v.a.

réelles indépendantes, de même loi,

et on suppose qu'elles sont de carrés intégrables.

Autrement dit, l'espérance de Xn² est finie.

Ce qu'on note Xn appartient à L².

Je vous rappelle la notation Sn, qui est la somme Sn = X1 + X2 +...

+Xn que j'utilise constamment et qui est standard.

On va noter m l'espérance commune des v.a.,

Sigma² la variance commune des Xn, qui est donc l'espérance de

Xn² moins le carré de l'espérance de Xn, on va supposer que ce nombre est positif,

strictement positif, et voici l'énoncé du théorème limite centrale,

qu'on appelle aussi théorème de la limite centrale.

Si vous prenez les v.a.

centrées de cette manière,

vous retirez n fois la moyenne et vous divisez par la racine de n, ces v.a.

convergent en loi vers une v.a.

de loi n (0, Sigma²), c'est-à-dire une loi normale centrée,

donc qui a une moyenne nulle, et qui a comme variance, Sigma².

Je vais vous rappeler plus précisément ce qu'on entend par convergence en loi,

on écrit pour ce que je viens de dire que (Sn- nm) / racine de n tend

en loi vers N(0, Sigma²), on l'écrit comme ça, avec ce symbole.

Et pour être plus précis, cela signifie que si on prend deux nombres

réels quelconques, on regarde quelle est la probabilité que nos v.a.

centrées réduites tombent dans cet intervalle ; quand n tend vers l'infini,

cette probabilité tend vers la probabilité,

qu'on calcule de cette manière,

c'est-à-dire qu'on prend la densité gaussienne, qu'on intègre de a à b.

Je vais illustrer ce théorème avec un premier exemple, on considère des v.a.

indépendantes chacune suivant une loi exponentielle de paramètre 1.

L'espérance commune des Xn c'est 1, on peut facilement calculer

l'espérance du carré, on trouve 2, et pour trouver Sigma² la variance,

on retranche à 2 le carré de l'espérance de Xn c'est-à-dire 1, donc on trouve 1.

En appliquant le théorème limite centrale, on trouve que,

(Sn- n) / racine de n tend en loi, vers une v.a.

normale, centrée, réduite.

Nous allons voir maintenant comment, numériquement,

on peut observer cette convergence.

Dans cette expérience numérique, en haut on a à nouveau mis la

moyenne en fonction de n et en-dessous, on va regarder comment se comportent les v.a.

centrées réduites du théorème,

c'est-à-dire (Sn- nm) / racine de n en fonction de n.

Ici, nous allons représenter l'histogramme des

valeurs obtenues quand nous sommes arrivés au n-ième tirage, et je

vais vous montrer ce qui se passe pour une suite de variables exponentielles.

On retrouve en haut, quand

on prend suffisamment de tirages, la moyenne semble se stabiliser autour de 1.

On peut prendre plusieurs réalisations.

En-dessous, on constate bien que,

(Sn- nm) / racine de n ne converge absolument pas en tant que nombre,

vous voyez que si ici (Sn / n) a une tendance manifestement à

se concentrer autour de 1, ici on obtient quelque-chose de très fluctuant.

Par contre, vous voyez qu'ici, si on compte le nombre de réalisations qui sont

tombées dans cet intervalle, le nombre de réalisations qui tombent dans celui-là.,

etc, on voit se profiler la densité gaussienne.

Qui va s'améliorer si l'on augmente le nombre de réalisations.

Donc là, on est par exemple à 200 réalisations.

On constate, comme je l'ai dit,

que pour chaque réalisation, ces nombres ne convergent absolument pas.

Par contre, on voit qu'une majorité ici vont arriver autour

de 0 il y en a de moins en moins, et la façon dont décroît l'histogramme,

suit de façon assez fidèle, une densité gaussienne.

On peut avec ce programme recalculer les réalisations

par exemple, et jouer sur à la fois le nombre de tirages, c'est à dire n,

et le nombre de réalisations.

Le deuxième exemple que je vais utiliser, est l'exemple du jeu de Pile ou Face

infini, que nous avons déjà étudié pour illustrer la loi forte des grands nombres.

Je vous rappelle que Xn est défini sur cet espace Oméga,

c'est l'ensemble de toutes les suites infinies de 0 et de 1,

et que Xn de Oméga, c'est le n-ième terme d'une suite de 0 et de 1.

Une suite de Pile ou Face.

Chaque Xn suit une loi de Bernoulli de paramètre P, strictement compris entre 0

et 1, m l'espérance commune, est p, et vous pouvez facilement vérifier que Sigma,

l'écart-type, donc la racine carrée de la variance,

c'est racine de p(1- p) Si on applique le théorème limite centrale,

on doit donc soustraire à la somme n fois la moyenne, n fois l'espérance,

et si on divise par racine de n, on a convergence en loi vers une v.a.

gaussienne qui est centrée, elle est de moyenne nulle, et sa variance est p(1- p).

Voyons ce que cela donne avec l'expérience numérique, nous représentons à nouveau la

moyenne de ces tirages de Bernoulli, on peut également, dans cette expérience

numérique, faire bouger le paramètre p de la loi de Bernoulli, en-dessous,

j'ai représenté (Sn- nm), qui ici est égal à p, divisé par racine de n.

A nouveau, vous constatez que si je prends une réalisation particulière,

que je renouvelle, la moyenne semble bien se rapprocher de

plus-en-plus de la valeur espérée, qui est 1/2,

par contre, cette variable centrée réduite elle, manifestement, ne converge pas.

Par contre, si l'on prend plusieurs réalisations,

et qu'on en prend de plus en plus, on voit apparaître

l'histogramme correct, qui s'approche d'une densité gaussienne.

Je termine par une petite remarque, qui concerne les cas limites où p tend vers 0

ou où p tend vers 1, autrement dit, c'est les cas extrêmes où

Pile est impossible, ça c'est quand p tend vers 0, ou quand Face est impossible,

p tend vers 1, c'est deux cas où il n'y a plus du tout d'aléa,

comme on l'a vu quand on avait étudié la loi forte des grands nombres.

Vous constatez que, l'écart-type, qui est racine de p à (- p),

dans ces deux situations extrêmes, tend vers 0.

On peut montrer que la probabilité de tomber dans un intervalle (a,

b), quand Sigma tend vers 0, ça tend vers une masse de Dirac en 0.

Autrement dit,

la loi gaussienne dégénère complètement et devient une masse de Dirac.

Ce qu'on peut vérifier par une expérience numérique,

en repartant de la situation où p = 1/2, si nous faisons diminuer p,

on le fait tendre vers 0 de telle manière que la probabilité

de Pile va être carrément impossible, [AUDIO_VIDE]

(Sn / n) donc va être toujours nulle, quelle que soit la réalisation qu'on fait,

puisque, on a toujours Face qui est identifié à 0.

Et en ce qui concerne l'histogramme,

on a un cas extrême qui est un histogramme qui est dégénéré et qui a cette forme-là.

Donc si on augmente p, on se retrouve avec l'écart-type de la

gaussienne qui se remet à être positif et la gaussienne s'étale,

et on retombe sur l'autre cas extrême, qui est Face est carrément impossible,

et là à nouveau, Sn / n est toujours

égal à 1 en moyenne, cette quantité ne veut prendre que des valeurs 0.

Et donc l'histogramme est dégénéré, il n'y a qu'une colonne ici.

C'est à vous de jouer maintenant,

pour vous familiariser avec le comportement de ces v.a.

centrées réduites qui convergent vers une loi gaussienne.

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