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et une suite an telle que les an strictement inclus entre zéro et un,
la suite an tend vers zéro, et les sommes partielles sn qui sont des sommes de
k égal zéro an de ak tendent vers l'infini,
en particulier la série des an tend vers l'infini.
Pour n supérieur ou égal à un on pose grand An,
c'est l'ensemble des petits oméga appartenant à l'intervalle zéro un,
donc à grand oméga, tel que il existe un entier k avec lequel
oméga plus k appartient à l'intervalle [Sn- 1, Sn], intervalle fermé.
Donc an en fait, c'est l'intervalle [Sn- 1, Sn] ramené sur l'intervalle
zéro un en prenant ses points ou ses éléments modulo un an voilà la définition.
On s'intéresse à la convergence dans les trois sens suivants:
la convergence presque sûre, la convergence en probabilité,
et la convergence en moyenne des variables aléatoires.
Première question, dire si la suite de la variable aléatoire constituée par
les indicatrices des an converge dans ces trois sens et vers quoi.
Deuxième question,
pour la suite définie comme étant un sur petit an indicatrice de an.
Donc ça c'est la fin de l'énoncé, à vous de réfléchir sur ces exercices.
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Donc une remarque facile, c'est que l'espérance de valeur absolue de
l'indicatrice de an, puisque l'indicatrice vaut zéro un, c'est l'espérance de
l'indicatrice de an, et l'ensemble an d'an c'est donc l'intervalle [Sn- 1,
Sn] remis sur zéro un donc sa longueur c'est petit an, et ça tend vers zéro.
Donc l'indicatrice de an converge en moyenne vers zéro.
De fait que l'indicatrice de an converge en moyenne vers zéro,
implique que l'indicatrice de an converge en probabilité vers zéro.
Nous l'avons vu en cours, c'est une conséquence de l'inégalité de Markov.
Ici nous pouvons le faire directement très simplement, pour tout epsilon positif la
probabilité pour que l'indicatrice soit supérieure ou égale à epsilon c'est o plus
la longueur de l'intervalle [Sn -1, Sn], c'est-à-dire o plus an,
qui tend vers zéro, donc l'indicatrice an tend vers zéro en probabilité.
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Nous avons ces intervalles qui sont contigus,
un intervalle fermé contigu [Sn- 1, Sn] puis ensuite Sn, Sn plus un et cetera.
Donc d'un côté ces intervalles circulent sur grand R et nous les ramenons sur zéro
un par modulo un, effectivement nous considérons grand R comme étant le tort,
c'est ça essentiellement mais, donc tout ça pour dire que ces intervalles
repassent une infinité de fois, sur chaque point, et par ailleur ils deviennent de
plus en plus petits, et les points il y a des moments où il n'est pas sur les oméga,
donc en définitive, un peu de réflexion que pour tout petit oméga,
une infinité de indicatrices de an prise en oméga vaudra un, et une infinité
de indicatrices de an prise en petit oméga vaudra zéro, une infinité en petit n.
Donc, la suite des indicatrices de an ne converge pas presque sûrement,
puisque elle prendra pour fait petit oméga une infinité de fois la valeur
un et la valeur zéro.
Donc ceci finit la première question de l'exercice.
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Donc deuxième question, nous posons les mêmes questions de convergence presque
sûre en probabilité en moyenne pour non plus l'indicatrice de an mais pour
un sur petit an indicatrice de grand An.
Donc comme tout à l'heure, la suite indicatrice un sur petit an indicatrice
de grand An ne peut pas converger presque sûrement parce qu'elle prendra
une infinité de fois la valeur zéro pour chaque petit oméga et une infinité de fois
la valeur un sur an qui tend d'ailleurs vers l'infini, puisque an tend vers zéro.
Maintenant regardons la convergence en probabilité en utilisant la définition,
donc pour tout epsilon strictement positif la probabilité pour que un sur
an indicatrice de grand An soit plus grande qu'epsilon, c'est toujours plus
petit que an parce que évidemment lorsque petit oméga est dans grand
An l'indicatrice vaut zéro, donc au plus c'est la longueur de l'intervalle [Sn- 1,
Sn] qui vaut petit an,
donc cette probabilité est inférieure ou égale à petit an qui tend vers zéro.
Donc par définition la convergence en probabilité de la suite des variables
aléatoires un sur petit an indicatrice de grand An tend vers zéro en probabilité.
Enfin nous voulons étudier la convergence en moyenne, un résultat du cours,
essentiellement l'inégalité de Markov, montre que la convergence en moyenne
implique celle en probabilité, nous l'avons vu tout à l'heure.
Donc, la seule limite possible pour la suite en moyenne c'est un zéro.
Alors nous pouvons donc calculer l'espérance de un sur petit an indicatrice
de an, puisque on va voir si oui ou non la suite tend vers zéro,
mais l'espérance c'est un sur petit an fois an, petit
an étant la longueur de l'intervalle [Sn- 1, Sn] et donc la longueur de grand An.
Or un sur petit an multiplié par n ça vaut un, ça ne tend pas vers zéro,
donc la suite un sur petit an indicatrice de grand An ne converge pas en moyenne.
Donc ainsi nous avons donné un certain nombre d'exemples
où on a ou pas la convergence en moyenne, la convergence presque sûre.
Dans tous les cas nous avons la convergence en probabilité sur
cet exemple.
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
