Exemples de convergence de variables aléatoires

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

20 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

20 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

CONVERGENCES ET LOI DES GRANDS NOMBRES (1/2)

Nous entamons le Cours 5 dont l'objet principal est le théorème communément appelé la « loi des grands nombres ». Nous introduirons aussi plusieurs notions de convergence d'une suite de variables aléatoires.

Minimum et maximum de variables aléatoires uniformes7:26

La convergence presque-sûre implique la convergence en probabilité2:23

Une métrique pour la convergence en probabilité4:37

Exemples de convergence de variables aléatoires5:38

Une condition de moment pour la convergence en moyenne4:51

Une condition suffisante pour la convergence presque-sûre6:04

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

[AUDIO_VIDE]

Bonjour, bienvenue dans le cours d'aléatoires de l'École Polytechnique.

Nous en sommes au cours cinq, et nous allons faire un exercice

sur des exemples de convergence de variables aléatoires.

Soit grand oméga égal l'intervalle zéro un muni de la probabilité uniforme,

et une suite an telle que les an strictement inclus entre zéro et un,

la suite an tend vers zéro, et les sommes partielles sn qui sont des sommes de

k égal zéro an de ak tendent vers l'infini,

en particulier la série des an tend vers l'infini.

Pour n supérieur ou égal à un on pose grand An,

c'est l'ensemble des petits oméga appartenant à l'intervalle zéro un,

donc à grand oméga, tel que il existe un entier k avec lequel

oméga plus k appartient à l'intervalle [Sn- 1, Sn], intervalle fermé.

Donc an en fait, c'est l'intervalle [Sn- 1, Sn] ramené sur l'intervalle

zéro un en prenant ses points ou ses éléments modulo un an voilà la définition.

On s'intéresse à la convergence dans les trois sens suivants:

la convergence presque sûre, la convergence en probabilité,

et la convergence en moyenne des variables aléatoires.

Première question, dire si la suite de la variable aléatoire constituée par

les indicatrices des an converge dans ces trois sens et vers quoi.

Deuxième question,

pour la suite définie comme étant un sur petit an indicatrice de an.

Donc ça c'est la fin de l'énoncé, à vous de réfléchir sur ces exercices.

Donc solution de l'exercice sur les convergences de variables aléatoires.

Première question, donc d'étudier la suite

des variables aléatoires constituées par les indicatrices des ensembles an.

Donc une remarque facile, c'est que l'espérance de valeur absolue de

l'indicatrice de an, puisque l'indicatrice vaut zéro un, c'est l'espérance de

l'indicatrice de an, et l'ensemble an d'an c'est donc l'intervalle [Sn- 1,

Sn] remis sur zéro un donc sa longueur c'est petit an, et ça tend vers zéro.

Donc l'indicatrice de an converge en moyenne vers zéro.

De fait que l'indicatrice de an converge en moyenne vers zéro,

implique que l'indicatrice de an converge en probabilité vers zéro.

Nous l'avons vu en cours, c'est une conséquence de l'inégalité de Markov.

Ici nous pouvons le faire directement très simplement, pour tout epsilon positif la

probabilité pour que l'indicatrice soit supérieure ou égale à epsilon c'est o plus

la longueur de l'intervalle [Sn -1, Sn], c'est-à-dire o plus an,

qui tend vers zéro, donc l'indicatrice an tend vers zéro en probabilité.

Enfin nous voulons étudier la convergence presque sûre.

Nous avons ces intervalles qui sont contigus,

un intervalle fermé contigu [Sn- 1, Sn] puis ensuite Sn, Sn plus un et cetera.

Donc d'un côté ces intervalles circulent sur grand R et nous les ramenons sur zéro

un par modulo un, effectivement nous considérons grand R comme étant le tort,

c'est ça essentiellement mais, donc tout ça pour dire que ces intervalles

repassent une infinité de fois, sur chaque point, et par ailleur ils deviennent de

plus en plus petits, et les points il y a des moments où il n'est pas sur les oméga,

donc en définitive, un peu de réflexion que pour tout petit oméga,

une infinité de indicatrices de an prise en oméga vaudra un, et une infinité

de indicatrices de an prise en petit oméga vaudra zéro, une infinité en petit n.

Donc, la suite des indicatrices de an ne converge pas presque sûrement,

puisque elle prendra pour fait petit oméga une infinité de fois la valeur

un et la valeur zéro.

Donc ceci finit la première question de l'exercice.

Donc deuxième question, nous posons les mêmes questions de convergence presque

sûre en probabilité en moyenne pour non plus l'indicatrice de an mais pour

un sur petit an indicatrice de grand An.

Donc comme tout à l'heure, la suite indicatrice un sur petit an indicatrice

de grand An ne peut pas converger presque sûrement parce qu'elle prendra

une infinité de fois la valeur zéro pour chaque petit oméga et une infinité de fois

la valeur un sur an qui tend d'ailleurs vers l'infini, puisque an tend vers zéro.

Maintenant regardons la convergence en probabilité en utilisant la définition,

donc pour tout epsilon strictement positif la probabilité pour que un sur

an indicatrice de grand An soit plus grande qu'epsilon, c'est toujours plus

petit que an parce que évidemment lorsque petit oméga est dans grand

An l'indicatrice vaut zéro, donc au plus c'est la longueur de l'intervalle [Sn- 1,

Sn] qui vaut petit an,

donc cette probabilité est inférieure ou égale à petit an qui tend vers zéro.

Donc par définition la convergence en probabilité de la suite des variables

aléatoires un sur petit an indicatrice de grand An tend vers zéro en probabilité.

Enfin nous voulons étudier la convergence en moyenne, un résultat du cours,

essentiellement l'inégalité de Markov, montre que la convergence en moyenne

implique celle en probabilité, nous l'avons vu tout à l'heure.

Donc, la seule limite possible pour la suite en moyenne c'est un zéro.

Alors nous pouvons donc calculer l'espérance de un sur petit an indicatrice

de an, puisque on va voir si oui ou non la suite tend vers zéro,

mais l'espérance c'est un sur petit an fois an, petit

an étant la longueur de l'intervalle [Sn- 1, Sn] et donc la longueur de grand An.

Or un sur petit an multiplié par n ça vaut un, ça ne tend pas vers zéro,

donc la suite un sur petit an indicatrice de grand An ne converge pas en moyenne.

Donc ainsi nous avons donné un certain nombre d'exemples

où on a ou pas la convergence en moyenne, la convergence presque sûre.

Dans tous les cas nous avons la convergence en probabilité sur

cet exemple.

Ceci finit l'exercice.

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