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[SON] Bonjour.
Nous allons faire un exercice sur les erreurs d'arrondi.
Un ordinateur doit effectuer la somme de nombres réels issus de diverses sources,
calculs, entrées, mesures, etc.
Il commence par pratiquer un arrondi sophistiqué pour les
représenter par des multiples d'un certain élément de base de codage informatique,
epsilon strictement positif.
La vraie valeur grand Vk du k-ième nombre est ainsi remplacée par une
approximation grand Ak.
On pose Dk = Vk- Ak, l'erreur commise.
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Une étude statistique montre que les Dk sont une suite de v.a aléatoires
indépendantes, toutes de loi uniforme sur l'intervalle [- epsilon/2, epsilon/2].
Comme nous faisons l'arrondi, l'erreur commise est comprise entre [- epsilon/2,
epsilon/2] et si les nombres que l'on regarde sont de sources suffisamment
variées on peut supposer que l'erreur est uniforme sur [- epsilon/2, epsilon/2].
Première question : donner le comportement asymptotique pour n grand de
Tn = D1 + etc...
+ Dn, l'erreur d'arrondi totale sur la somme.
Deuxièmement, petit a : déterminer le plus grand n tel qu'on puisse garantir d'avoir
avec une probabilité au moins de bêta, appartenant à [0, 1],
une précision au moins de delta sur la somme.
Petit b : déterminer cet entier n pour epsilon = 2 puissance moins 52,
delta = 2 puissance moins 24, et bêta = 0,999.
Solution de l'exercice sur les erreurs d'arrondi.
D'abord une fausse piste instructive.
Nous pouvons appliquer la loi forte des grands nombres, Tn/n,
donc Tn/n c'est D1 + etc...
+ Dn/n, la loi forte des grands nombres dit que ceci converge presque
sûrement quand n tend vers l'infini vers l'espérance de D1, qui est nul.
Donc, l'unique renseignement asymptotique sur Tn que l'on peut retirer de ça c'est
que Tn est o(n), presque sûr.
Ce n'est pas ça d'avoir le comportement asymptotique de Tn,
nous avons besoin d'aller plus loin.
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Pour aller plus loin, nous commençons par calculer la variance sigma carré de D1,
qui, comme D1 est centré,
l'espérance de D1 carré est classiquement pour une v.a uniforme,
avec un petit calcul d'intégrale, nous trouvons que c'est epsilon carré/12.
L'écart type sigma c'est epsilon/2 racine de 2 si nous voulons
avoir cette précision.
On aura besoin en fait simplement de la valeur de la variance epsilon carré/12.
Le théorème central limite, qui s'applique dans cette situation,
nous donne que Tn/sigma racine de n, donc Tn divisé par racine de n est
aussi normalisé par le fait qu'on divise par écart type sigma.
Donc par définition c'est D1 + etc...
+ Dn / sigma racine de n,
sigma étant l'écart type de D1, Donc ça converge en loi quand n tend vers l'infini
vers une gaussienne centrée réduite une loi N(0, 1).
Dans ce sens précis-là, on peut dire que Tn est
asymptotiquement équivalent à sigma racine de n fois une gaussienne.
Dans le sens de la iii en loi et précisément dans le sens précédent.
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La deuxième question c'était de savoir comment garantir avec une
certaine probabilité de préférence haute, une certaine précision.
Donc une première chose, il s'agit de calculer les intervalles de confiance.
Donc cette convergence en loi, la convergence en loi de Tn / sigma racine
de n vers la gaussienne centrée réduite, implique des fonctions de répartition,
puisque la fonction de répartition de la gaussienne est continue,
convergence simple, et donc en particulier la convergence des intervalles.
La preuve est faite que la probabilité que Tn / sigma racine de n soit compris entre-
a et a converge quand n tend vers l'infini, vers l'intégrale de- a à + a,
de la densité gaussienne exponentielle de- x carré sur 2 dx sur racine de 2 pi,
et qu'on peut écrire 2 grand phi de a- 1, ou grand phi de a,
c'est la fonction de répartition de la gaussienne intégrale de- l'infini à a,
de e- x carré sur 2, dx sur racine de 2 pi.
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Nous avons des tables, aussi bien pour la fonction de répartition de la gaussienne
grand phi que pour justement ces intégrales symétriques de- a à + a,
ou aussi c'est en général programmé,
tabulé avec une précision extrême dans les ordinateurs donc c'est tout à fait
comme si on connaissait ces fonctions de a explicites.
De plus il existe des théorèmes sur la vitesse de cette convergence avec
des uniformités éventuellement en petit a.
Donc nous avons utilisé ce résultat pour trouver un intervalle de confiance
asymptotique.
Nous utilisons le fait que la probabilité pour que Tn / sigma racine de n soit
compris entre- a et + a est de l'ordre de- a à a, intégrale de- a à
a de exponentielle de- x carré/2 dx/racine de 2 pi lorsque n tend vers l'infini.
Donc méthode classique pour déterminer les intervalles de confiance asymptotiques.
D'abord en utilisant les tables de la loi gaussienne centrée réduite ou
en utilisant un ordinateur, on détermine le petit a tel que intégrale de- a,
a + a de e- x carré/2 dx sur racine de 2 pi soit de l'ordre de bêta.
Bêta c'est donc le seuil de confiance qu'on veut accorder au fait que
notre mesure ait une précision moins de delta.
Ensuite on demande jusqu'à quel n on peut garantir d'avoir une précision delta,
il s'agit de prendre le plus grand n entier tel que
petit a soit inférieur à delta sur sigma racine de n.
Donc de façon un peu rustique on remplace petit a par
delta sur sigma de racine de n, dans cette équivalence.
Puisqu'on veut que Tn soit plus petit que delta, c'est la même chose que de dire que
Tn sur sigma racine de n est plus petit que delta sur sigma sur sigma racine de n.
Donc on trouve ainsi n = partie entière de delta carré sur a carré sigma carré.
Nous avons une formule Une fois qu'on a déterminé le petit a grâce à bêta ça nous
détermine le n en fonction de delta annule a et donc de sigma carré la variance,
la variable uniforme sur [- epsilon/2, epsilon/2].
La question petit b était d'appliquer le résultat du petit a à epsilon = 2
puissance- 52, delta = 2 puissance- 24, et bêta = 0,999.
On veut être sûr à 999 sur 1 000 que l'erreur
totale commise ne dépasse pas 2 puissance- 24 sachant que l'epsilon qui correspond
au codage des nombres d'ordinateur de 2 puissance- 52.
Première étape il s'agit de terminer le a tel que l'intégrale de- a à a de la
densité de gaussienne vaut 0, 999.
En regardant les tables on trouve que a = 3,29.
L'intégrale de -3,29 à 3,29 de la densité gaussienne c'est à peu près 0,999.
Donc une fois qu'on a déterminé que a vaut 3,29.
ensuite on prend le plus grand n entier tel que n
inférieur ou égal à delta carré sur a carré sigma carré.
C'est la formule que l'on vient de déterminer en petit a.
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Donc on remplace delta par sa valeur, 2 puissance- 24 au carré c'est 2 puissance-
48, a par sa valeur 3,29, donc nous avons 3,29 carré, puis il y a sigma carré
à déterminer, nous l'avons déjà déterminé c'est epsilon carré sur 12.
Donc en fin de compte,
il faut prendre n de l'ordre de 12 sur 3,29 carré multiplié par 2 puissance 104,
104 c'est 52 fois 2, donc c'est le epsilon carré, donc 2 puissance 104 moins 48.
Nous avons donc je répète utilisé sigma carré = epsilon carré sur 12.
Donc tous calculs faits, il faut prendre n de l'ordre
de 1,11 multiplié par 2,56 qui vaut approximativement 8.
10 puissance 16.
Donc ceci termine l'exercice sur les erreurs d'arrondi.
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
