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Soit grand X et grand Y deux variables aléatoires indépendantes,
et de loi gamma (lambda, petit a) et gamma (lambda, a + 1 / 2),
pour lambda > 0, et a > 0.
La question est calculer la loi du couple aléatoire (V,
W) = (racine du produit (grand X, grand Y), racine de Y).
Donc V vaut racine de (grand X, grand Y), et W vaut racine de Y.
Donc rappel, pour lambda > 0 et c > 0, la densité de la loi gamma (lambda,
c) est la densité f indice lambda, c (x) qui
vaut (lambda puissance c) / gamma (c) * x à la
puissance (c- 1) * e (- lambda * x) prise pour les x > 0.
Et donc, la fonction gamma, je vous rappelle gamma (grand C) c'est l'intégrale
de 0 à l'infini de y puissance (c- 1) * e (- y) d y.
Voici la solution de l'exercice Calculs sur lois gamma.
On demandait de calculer la loi de (V, W).
Pour cela, on utilise la méthode de la fonction muette.
Donc, il s'agit de prendre une fonction h, par exemple continue,
bornée, de R 2 dans R.
Alors, E (h (grand V, grand W)), par définition de grand V, de grand W,
c'est E (h (racine de (grand X * grand Y))), racine de grand Y)).
Ensuite, on connaît la loi de grand X, la loi de grand Y,
on sait qu'elles sont indépendantes, donc la loi du couple (grand X,
grand Y) est la loi produit des densités correspondantes.
Donc, E (h (grand V,
grand W)) peut s'écrire comme étant l'intégrale pour petit x > 0, petit y > 0,
de h ( racine de (x * y), racine de y) * f indice lambda,
a (x) * f indice lambda, (a + 1 / 2) (y) d x d y.
Cette intégrale s'explicite grâce au rappel ou au cours en (lambda puissance
(2 * a + 1 / 2)) / (gamma (a) * gamma (a + 1 / 2)), donc cela c'est les constantes,
* intégrale de x > 0, y > 0 de h (racine de (x * y), racine de y)
* x puissance (a- 1) * y puissance (a- 1 / 2) * e (- lambda (x + y)) d x d y.
Donc, nous avons une formule pour E (h (grand V,
grand W)), et cela pour toute fonction h, mettons continue bornée.
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Nous oublions pour l'instant les constantes.
Donc, nous nous concentrons sur l'intégrale.
Intégrale pour x > 0, y > 0 de h (racine de (x * y), racine de y) * x puissance
(a- 1) * y puissance (a- 1 / 2) * e (- lambda * (x + y)) d x d y.
Nous allons effectuer un changement de variables.
Donc, nous allons effectuer le changement de variables v = racine de (x * y),
et w = racine de y.
Donc, n'oublions pas que ce changement de variables exprime v en fonction de x
et de y, donc petit v,
c'est une fonction petit v de x et y, et w, c'est une fonction w de x et de y.
Et nous pouvons calculer les dérivées partielles.
(d ronde / d ronde x) v = (- 1 / 2) * racine de (y / x).
(d ronde / d ronde y) v = (- 1 / 2) * racine de (x / y), cette fois.
(d / d ronde x) w = 0,
puisqu'il n'y a pas de x, il n'y a pas une véritable dépendance en x, en w.
Et puis (d ronde / d ronde y) w = (- 1 / 2) * (1 / racine de y).
Donc, ce changement de variables définit bien un difféomorphisme de ]0,
infini[ au carré dans lui-même.
La valeur absolue du jacobien, c'est-à-dire le déterminant de la matrice
jacobienne, dont nous avons donné les dérivées partielles,
la matrice jacobienne, c'est la matrice constituée de ses dérivées partielles,
vaut en faisant un calcul assez simple, (1 / 4) * (1 / racine de x).
Donc, le théorème de changement de variables dit qu'essentiellement
on peut écrire d v d w comme étant 1 / (4 * racine de x) d x d y.
Il nous restera encore à écrire x en fonction de v et de w.
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En définitive donc, nous voulons étudier l'intégrale pour x > 0, y > 0,
de h (racine de (x * y),
racine de y) * la densité x (a- 1) * y (a- 1 / 2) * e (- lambda (x + y)) d x d y.
Nous faisons le changement de variables (racine de (x * y)) = v et
(racine de y) = w.
Donc, on va prendre une étape intermédiaire pour bien comprendre
ce qui se passe.
On va d'abord écrire explicitement que racine de (x * y),
c'est une fonction de x, y, et que racine de y est une fonction de x, y.
Donc, cela vaut intégrale pour x > 0, y > 0 de h (v (x, y)), w (x, y)),
et ensuite on écrit x et y en fonction des mêmes fonctions, mais on n'écrit plus la
dépendance en x et y, parce qu'en soit, cela ferait une formule trop compliquée.
Donc v puissance (2 * (a- 1 / 2)) * e (- lambda * ((v 2 / w 2) + w 2)).
On a simplement utilisé pour écrire cela,
l'expression de x en fonction de v et de w.
Et ensuite, pour faire apparaître d v d w, nous avons récupéré un racine de x.
On avait besoin de faire apparaître d v d w, c'était (1 / 4) * racine de x d x d y.
Donc, nous avons récupéré un racine de x dans la formule et donc
cela nous donne 4 * (1 / (4 * racine de x)) d x d y.
Donc c'est une façon de faire apparaître d v d w,
de faire le changement de variables sans faire tous les calculs.
Il y a des calculs où on n'a pas besoin de tout inverser et ensuite retrouver.
C'est petit, c'est souvent plus pratique de faire apparaître d v d w comme cela
un peu de force.
Donc, une fois qu'on fait cela, on interprète cette fois-ci en impliquant le
théorème sur la formule de changement de variables, que cette intégrale sur x,
y, d x, d y, peut s'écrire comme étant l'intégrale sur petit v > 0, w > 0,
de h (v, w), qui cette fois-ci est bien une variable d'intégration, donc * v
puissance (2 * (a- 1 / 2)) * e (- lambda * ((v carré / w carré) + w 2)) et 4 d v d w.
Donc, il y avait des constantes qu'on avait oubliées, mais donc là on
identifie la densité de (grand V, grand W), donc la densité de (grand V, grand W)
est donnée par les constantes dont on n'avait pas tenu compte pour l'instant,
on avait juste regardé l'intégrale, donc les constantes je vous rappelle c'est 4 *
lambda puissance (2 * a + (1 / 2)) / (gamma (a) * gamma (a + 1 / 2)).
En ensuite la densité qui est au-dessus, v puissance (2 * a- 1)
* e (- lambda * ((v 2 / w 2) + w 2))), indicatrice de v > 0, w > 0.
Donc, nous avons calculé comme cela la densité de (V, W).
Ceci termine l'exercice.
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
