Calculs sur les lois Gamma

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

20 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

20 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

VECTEURS ALÉATOIRES (2/2)

Il s'agit de la suite et de la fin du Cours 4. Nous allons en particulier généraliser le résultat qui nous permet de faire des calculs de lois.

Lois de Gauss et de Cauchy9:30

Calculs sur les lois Gamma6:23

Pannes informatiques12:02

Loi paire flippée11:03

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON] Bonjour.

Bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'École Polytechnique.

Nous allons faire un exercice sur le calcul de lois gamma.

Soit grand X et grand Y deux variables aléatoires indépendantes,

et de loi gamma (lambda, petit a) et gamma (lambda, a + 1 / 2),

pour lambda > 0, et a > 0.

La question est calculer la loi du couple aléatoire (V,

W) = (racine du produit (grand X, grand Y), racine de Y).

Donc V vaut racine de (grand X, grand Y), et W vaut racine de Y.

Donc rappel, pour lambda > 0 et c > 0, la densité de la loi gamma (lambda,

c) est la densité f indice lambda, c (x) qui

vaut (lambda puissance c) / gamma (c) * x à la

puissance (c- 1) * e (- lambda * x) prise pour les x > 0.

Et donc, la fonction gamma, je vous rappelle gamma (grand C) c'est l'intégrale

de 0 à l'infini de y puissance (c- 1) * e (- y) d y.

Voici la solution de l'exercice Calculs sur lois gamma.

On demandait de calculer la loi de (V, W).

Pour cela, on utilise la méthode de la fonction muette.

Donc, il s'agit de prendre une fonction h, par exemple continue,

bornée, de R 2 dans R.

Alors, E (h (grand V, grand W)), par définition de grand V, de grand W,

c'est E (h (racine de (grand X * grand Y))), racine de grand Y)).

Ensuite, on connaît la loi de grand X, la loi de grand Y,

on sait qu'elles sont indépendantes, donc la loi du couple (grand X,

grand Y) est la loi produit des densités correspondantes.

Donc, E (h (grand V,

grand W)) peut s'écrire comme étant l'intégrale pour petit x > 0, petit y > 0,

de h ( racine de (x * y), racine de y) * f indice lambda,

a (x) * f indice lambda, (a + 1 / 2) (y) d x d y.

Cette intégrale s'explicite grâce au rappel ou au cours en (lambda puissance

(2 * a + 1 / 2)) / (gamma (a) * gamma (a + 1 / 2)), donc cela c'est les constantes,

* intégrale de x > 0, y > 0 de h (racine de (x * y), racine de y)

* x puissance (a- 1) * y puissance (a- 1 / 2) * e (- lambda (x + y)) d x d y.

Donc, nous avons une formule pour E (h (grand V,

grand W)), et cela pour toute fonction h, mettons continue bornée.

Nous oublions pour l'instant les constantes.

Donc, nous nous concentrons sur l'intégrale.

Intégrale pour x > 0, y > 0 de h (racine de (x * y), racine de y) * x puissance

(a- 1) * y puissance (a- 1 / 2) * e (- lambda * (x + y)) d x d y.

Nous allons effectuer un changement de variables.

Donc, nous allons effectuer le changement de variables v = racine de (x * y),

et w = racine de y.

Donc, n'oublions pas que ce changement de variables exprime v en fonction de x

et de y, donc petit v,

c'est une fonction petit v de x et y, et w, c'est une fonction w de x et de y.

Et nous pouvons calculer les dérivées partielles.

(d ronde / d ronde x) v = (- 1 / 2) * racine de (y / x).

(d ronde / d ronde y) v = (- 1 / 2) * racine de (x / y), cette fois.

(d / d ronde x) w = 0,

puisqu'il n'y a pas de x, il n'y a pas une véritable dépendance en x, en w.

Et puis (d ronde / d ronde y) w = (- 1 / 2) * (1 / racine de y).

Donc, ce changement de variables définit bien un difféomorphisme de ]0,

infini[ au carré dans lui-même.

La valeur absolue du jacobien, c'est-à-dire le déterminant de la matrice

jacobienne, dont nous avons donné les dérivées partielles,

la matrice jacobienne, c'est la matrice constituée de ses dérivées partielles,

vaut en faisant un calcul assez simple, (1 / 4) * (1 / racine de x).

Donc, le théorème de changement de variables dit qu'essentiellement

on peut écrire d v d w comme étant 1 / (4 * racine de x) d x d y.

Il nous restera encore à écrire x en fonction de v et de w.

Donc, nous savons inverser les difféomorphismes.

Petit x s'écrit avec des calculs assez simples comme étant (v 2) / (w 2).

Et petit y s'écrit comme étant w 2.

Nous avons le difféomorphisme, et ici nous avons la formule de l'inverse.

En définitive donc, nous voulons étudier l'intégrale pour x > 0, y > 0,

de h (racine de (x * y),

racine de y) * la densité x (a- 1) * y (a- 1 / 2) * e (- lambda (x + y)) d x d y.

Nous faisons le changement de variables (racine de (x * y)) = v et

(racine de y) = w.

Donc, on va prendre une étape intermédiaire pour bien comprendre

ce qui se passe.

On va d'abord écrire explicitement que racine de (x * y),

c'est une fonction de x, y, et que racine de y est une fonction de x, y.

Donc, cela vaut intégrale pour x > 0, y > 0 de h (v (x, y)), w (x, y)),

et ensuite on écrit x et y en fonction des mêmes fonctions, mais on n'écrit plus la

dépendance en x et y, parce qu'en soit, cela ferait une formule trop compliquée.

Donc v puissance (2 * (a- 1 / 2)) * e (- lambda * ((v 2 / w 2) + w 2)).

On a simplement utilisé pour écrire cela,

l'expression de x en fonction de v et de w.

Et ensuite, pour faire apparaître d v d w, nous avons récupéré un racine de x.

On avait besoin de faire apparaître d v d w, c'était (1 / 4) * racine de x d x d y.

Donc, nous avons récupéré un racine de x dans la formule et donc

cela nous donne 4 * (1 / (4 * racine de x)) d x d y.

Donc c'est une façon de faire apparaître d v d w,

de faire le changement de variables sans faire tous les calculs.

Il y a des calculs où on n'a pas besoin de tout inverser et ensuite retrouver.

C'est petit, c'est souvent plus pratique de faire apparaître d v d w comme cela

un peu de force.

Donc, une fois qu'on fait cela, on interprète cette fois-ci en impliquant le

théorème sur la formule de changement de variables, que cette intégrale sur x,

y, d x, d y, peut s'écrire comme étant l'intégrale sur petit v > 0, w > 0,

de h (v, w), qui cette fois-ci est bien une variable d'intégration, donc * v

puissance (2 * (a- 1 / 2)) * e (- lambda * ((v carré / w carré) + w 2)) et 4 d v d w.

Donc, il y avait des constantes qu'on avait oubliées, mais donc là on

identifie la densité de (grand V, grand W), donc la densité de (grand V, grand W)

est donnée par les constantes dont on n'avait pas tenu compte pour l'instant,

on avait juste regardé l'intégrale, donc les constantes je vous rappelle c'est 4 *

lambda puissance (2 * a + (1 / 2)) / (gamma (a) * gamma (a + 1 / 2)).

En ensuite la densité qui est au-dessus, v puissance (2 * a- 1)

* e (- lambda * ((v 2 / w 2) + w 2))), indicatrice de v > 0, w > 0.

Donc, nous avons calculé comme cela la densité de (V, W).

Ceci termine l'exercice.

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