Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Aiguille de Buffon
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2
17 notes
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À partir de la leçon
VECTEURS ALÉATOIRES (1/2)
Nous entamons cette semaine le Cours 4 dont le sujet est les vecteurs aléatoires, c'est-à-dire, une collection finie de variables aléatoires réelles, comme par exemple des couples de variables aléatoires. Ce cours s'étend sur deux semaines.
Rencontrer les enseignants
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON]
[AUDIO_VIDE] Bienvenue
dans le cours d'aléatoire de l'Ecole Polytechnique.
Nous sommes au cours 4 et nous allons faire un exercice qui s'appelle
Aiguille de Buffon.
Donc l'exercice Aiguille de Buffon, c'est un calcul classique,
Il s'agit d'un calcul de probabilité géométrique.
Donc nous allons faire un peu d'histoire des sciences,
qui a été présenté par Georges-Louis Leclerc de Buffon,
dans un mémoire à l'Académie Royale des Sciences en 1773.
Donc ce mémoire s'appelait Solution de problèmes sur le jeu de franc-carreau,
le franc-carreau étant un certain jeu de hasard.
Donc ce calcul, le calcul de Buffon, a été repris par Pierre-Simon Laplace dans son
ouvrage, Traité analytique des probabilités de 1812.
Et Laplace fait la remarque que
ce calcul permet d'obtenir une approximation expérimentale du nombre Pi,
par la loi des grands nombres, par la loi empirique des grands nombres.
Donc je vais décrire le problème, et donc,
on, répétons une experience aléatoire et faisons les moyennes empiriques.
Donc je vais donner une définition précise du problème.
Une aiguille de longueur a, strictement positif, tombe sur un parquet
constitué de très longues lattes, de largeur l, strictement positive.
Donc, première question de l'exercice, question principale,
mettons, a) Modéliser cette experience aléatoire grace à un couple de variables
aléatoires de loi uniforme.
b) Calculer la probabilité pour que l'aiguille
tombe à cheval de deux lattes (sur une rainure), en fonction de a et d l.
Préciser le cas a=l.
Alors, et il y a une suite de l'exercice,
ça c'est la partie principale de l'exercice.
Je vais faire un petit dessin avant de passer à la suite de l'exercice.
Donc je vais faire un dessin pour préciser l'énoncé de l'exercice.
Nous avons un parquet de très longues lames, que nous pouvons supposer infini,
donc je vais les imaginer que les rainures sont verticales, par exemple,
en sain choix.
Donc nous avons des lames de parquet que j'écarte.
Et donc l'idée c'est que l'écartement entre deux
lames est cette quantité l, positive.
Ensuite, nous jetons une aiguille au hasard sans ce iii.
Je vais faire une aiguille qui n'est pas trop longue et donc l'aiguille est là,
je vais tracer peut-être son centre là, l'aiguille.
La longueur de l'aiguille est a.
Voilà les donnés.
Donc la question qu'on se pose : on lance cette aiguille, quelle est la probabilité
pour que l'évènement, que, qui est représenté sur le tableau,
le fait que l'aiguille croise une rainure est réalisé?
Donc voilà la question principale et donc avant de poser cette question,
il y a une, un problème de modélisation, représenter
cette experience aléatoire grâce à une couple de variables de loi uniforme.
Donc maintenant que nous avons énoncé la partie principale de l'exercice et fait un
dessin, nous allons donner une deuxième question qui est une astuce géométrique.
Donc nous allons retrouver une partie des résultats obtenus précédemment en
utilisant une idée astucieuse d'Émile Borel, notre grand mathématicien.
a) Justifier qu'il existe une constante C telle que l'espérance
du nombre de chevauchements de rainures par l'aiguille vaut C facteur de a/l.
Autrement dit, donc l'espérance,
nous allons parler de la probabilité qu'un évènement arrive.
Là, l'espérance du nombre de chevauchements, est proportionelle à a/l.
Et donc la constante de proportionnalité nous l'appelons C,
donc ça c'est une première.
Autre chose à faire est de, ensuite justifier que ceci, que l'espérance du
nombre de chevauchements est de la forme C sur a/l, pour la même constante C,
pour toute aiguille de forme courbe rectifiable, comme on dit, qui s'obtient
comme limite de petits intervalles, qui a une longueur qui peut se calculer en,
par une limite de petits segments qui se rapproche de plus en plus de la courbe.
Donc le a) c'est cette propriété de l'espérance du nombre de chevauchements
qui doit être proportionnelle à a/l avec une constance C.
Donc, évidemment, la question qu'on se pose, quelle est cette constance C?
Donc question b) Considérer une aiguille circulaire,
astucieusement choisie, pour trouver la constante de proportionnalité C.
Donc, voilà, donc une indication parmi les courbes, forme courbe,
les aiguilles circulaires, donc trouver la bonne forme,
le bon cercle qui permet de calculer, de trouver la constante C.
Et c) Retrouver grâce à ce calcul, la probabilité pour que l'aiguille tombe
à cheval d'une rainure, dans le cas où a est inférieur ou égal à l, dans le cas
a inférieur ou égal à l est le plus simple à calculer, même dans le premièrement.
Donc, avant de passer à la solution, je vais, je vais chercher au moins le,
la première partie et la deuxième partie n'est pas très compliquée mais plus
astucieuse.
En tout cas, il faut avoir une vision un plus géométrique des choses, bon.
Nous passons donc maintenant
à la solution de problème sur l'Aiguille de Buffon, la première question.
a) Trouver un couple de variables aléatoires uniformes
pour représenter la situation.
Donc, je vais, je l'ai montré sur un dessin,
mais une façon parmi d'autres de représenter le, l'expérience aléatoire
est de considérer le couple de variables aléatoires de loi uniforme,
donné par la distance R du centre de l'aiguille à la rainure la plus proche.
Donc, ça c'est à valeurs évidemment dans [0,
l/2] puisque c'est le, la rainure la plus proche.
Et aussi l'angle droite Θ entre l'aiguille
et la perpendiculaire à cette rainure, à valeurs dans [0, π/2].
Donc là y a un certain nombre de choix, là on a, on choisit de,
il y a une origine des angles, donc on choisit de paramétrer par rapport a la
perpendiculaire à la rainure, on aurait pu paramétrer à la rainure.
Et ensuite, pour simplifier la situation,
on considère uniquement des valeurs entre 0 et π/2, à cause des symétries.
Donc, ensuite, moi je vais faire un dessin, mais on constante que l'aiguille
tombe sur cette rainure si et seulement si a/2 cos Θ est strictment plus grand que R.
Donc nous allons voir tout ça sur le dessin.
Donc je vous rappelle que nous avons un plancher avec des grandes rainures,
donc la question qui se pose c'est la suivante, donc nous lançons une aiguille,
que je vais faire en bleu, sur le plancher,
la question est-ce que l'aiguille tombe à cheval d'une rainure ou pas?
Donc les donnés que l'on a c'est que la largeur entre deux
rainures, la largeur des lames c'est l et que la longueur de l'aiguille c'est a.
Donc je vais faire un petit dessin.
Nous avons une aiguille de longueur,
donc l'aiguille est là et donc évidemment qu'est-ce que nous allons repérer?
Nous allons déjà regarder le centre de l'aiguille
et donc une première chose qui est assez naturelle,
mettons par exemple une horizontale qui passe au niveau du centre.
Nous avons déjà repéré la position de l'aiguille par
la distance du centre, la distance du centre aux bords.
Donc nous allons avoir une première variable aléatoire qui va être R,
qui va être cette distance l.
Et donc R c'est la distance à la rainure la plus proche.
[AUDIO_VIDE] Donc,
évidemment, ça appartient à [0, l/2], c'est compris entre 0 et l/2.
Donc, ensuite, il faut repérer l'orientation de l'aiguille,
pour ça on va introduire un angle.
Donc nous allons introduire l'angle Θ, donc ici, par exemple,
Θ, l'angle avec la, avec l'horizontale, avec la perpendiculaire aux rainures,
Θ, l'angle perpendiculaire aux rainures.
C'est un choix, on aurait pu aussi bien prendre un angle avec des rainures,
donc nous choisissons de prendre un angle de droites, droites, il y a deux angles,
un angle obtus et un aigu, donc prenons l'angle de droites et de valeur absolue.
Donc, bon, à cause des symétries du problème, nous pouvons choisir Θ comme ça,
donc c'est l'angle de droites, et puis absolu, positif.
Et donc Θ appartient à [0, π/2].
Et les hypothèses font que, de façon assez naturelle, le, à cause des symétries et de
l'expérience aléatoire, que le couple R, Θ va être uniforme
sur le produit [0, l/2] fois [0, π/2].
Donc c'est tout ce dont on a besoin pour l'exercice mais on peut réfléchir un
tout petit peu plus, remarquer que, il y a une forme produit, ici, c'est un produit.
Si on connait un tout petit peu les leçons de l'indépendance,
ça c'est équivalent à dire que R et Θ sont independantes.
Peut-être au niveau de la modélisation, la chose la plus naturelle.
[AUDIO_VIDE]
Independantes et uniformes.
Et donc uniformes, chacun sur leur espace.
Donc là nous avons fait la modélisation déjà,
nous avons représenté l'espérance aléatoire par le fait que la position de
l'aiguille et en particulier ce qui nous importe, la position de l'aiguille pour
déterminer si oui ou non l'aiguille touche la rainure est entièrement déterminée par
ce couple aléatoire grand R grand thêta, grand R à valeur dans 0 l sur 2,
grand thêta à valeur dans 0 pi sur et uniforme sur ses espaces produits.
Donc ensuite la question qu'on se pose c'est: comment on va présenter l'événement
que l'aiguille coupe la rainure comme elle est représentée sur l'image.
Evidemment ce qui est assez facile à faire c'est que nous pouvons,
je vais peut-être le faire en rouge, nous pouvons faire la production ici.
Cette cette longueur là.
C'est tout simple, on part de la trigonométrie élémentaire c'est a sur 2 à
la moitié de l'aiguille cosinus de grand thêta.
Donc l'événement tombe à cheval [SON]
[SON] [SON] C'est égal tout simplement à
l'événement où a sur 2 cosinus de grand thêta.
Cette projection est strictement plus grande que R.
Si cette projection est strictement plus grande que R, on coupe la rainure,
sinon on ne coupe pas la rainure.
Donc on va calculer dans la suite [SON] la
probabilité [SON] de cet événement.
La probabilité pour que a sur 2 cosinus de grand de thêta soit plus grand
que R, grâce à la loi qu'on vient de déterminer le grand R et
le grand thêta donc ça va être la suite, donc je vais revenir sur les transparents.
Dons nous revenons à la première question et au petit b,
donc que nous venons de voir que pour calculer la probabilité pour que
l'aiguille tombe à cheval entre 2 lattes, il suffit de calculer la probabilité
pour que a sur 2 cosinus de grand thêta soit strictement plus grand que R,
ou grand thêta et grand R ont les lois uniformes que l'on vient de donner.
Donc du coup en normalisant correctement les lois uniformes, nous voyons que cette
probabilité est donnée par 2 sur pi fois 2 sur n,
donc les inverses des surfaces l'inverse de la surface du rectangle,
intégrale de thêta égal 0 à pi sur 2, intégrale de R égal 0 à l sur 2, donc en
normalisant comme ça nous avons bien une mesure de probabilité par rapport à 2 R de
thêta d'indicatrice de petit r strictement inférieur à a sur 2 cosinus thêta.
Donc, la probabilité que a sur 2 cosinus thêta est plus grand que R
est égal à cette constante de normalisation intégrale d'où l'indicatrice
de petit r strictement inférieur à a sur 2 cosinus thêta de R de thêta.
Donc ensuite, R étant uniforme entre 0 et l sur 2,
nous voyons que l'intégrale de l'indicatrice que petit r soit inférieur
strictement à a sur 2 cosinus de thêta peut s'écrire comme étant minimum,
le minimum entre a sur 2 cosinus de thêta et l sur 2.
Donc bien entendu, c'est la plus petite des 2 valeurs puisque R ne va qu'entre 0
et l sur 2 si a sur 2 cosinus thêta dépasse l sur 2,
on ne tient compte que de l sur 2.
La probabilité s'écrit comme 2 sur pi 2 sur l intégrale de 0 à pi sur 2
du minimum de a sur 2 cosinus thêta et l sur 2 de thêta.
Nous réarrangeons un tout petit peu, on voit que,
nous voyons que c'est 2 sur pi, a sur l intégrale de 0 à pi sur 2,
le minimum entre le cosinus de thêta et l sur a .intégrée par rapport à des thêta.
Donc nous voyons que le cas le plus simple c'est a inférieur égal à l,
c'est le cas où l'aiguille est plus petite que la largeur des lattes, donc
dans ce cas là si elle tombe à cheval, elle tombe à cheval qu'une seule fois.
C'est une des raisons pour laquelle le calcul est plus simple.
Donc si a est inférieur égal l alors
cette intégrale 2 sur pi a sur l intégrale de 0 à pi sur 2 cosinus de thêta
en primitivant le cosinus par le sinus, nous obtenons que c'est 2 sur pi,
a sur l, en intégrant le 0 et pi et pi sur 2 du sinus ça fait 1.
Donc nous trouvons la formule que la probabilité de tomber à cheval lorsque
a est inférieur ou égal à l, c'est 2 sur pi, a sur l, en particulier pour a égal l,
cette probabilité vaut 2 sur pi.
Bon c'est le cas peut-être le plus simple qui donne une formule où il y a ni a ni l,
donc voilà; donc nous avons ce cas là.
Nous allons faire le cas général, donc maintenant sans trop insister nous allons
regarder le cas a strictement plus grand que l donc la probabilité pour que a sur
2 cosinus thêta soit plus grande que R s'écrit comme cette intégrale 2 sur pi
fois a sur l intégrale de 0 à pi sur 2 du minimum entre le cosinus thêta et l sur
a de thêta, donc en utilisant des fonctions arccosinus,
nous avons le facteur de 2 sur pi, a sur l qui est le facteur de départ
multiplié par l sur a, arccosinus de l sur a plus intégrale de arccosinus
l sur a jusqu'à pi sur 2 cosinus de thêta des thêta.
Donc nous explicitons le minimum essentiellement nous déterminons
pour quel thêta il est réalisé et donc à partir de ce moment-là,
le premier terme il est, je pense que c'est une constante.
On a intégré une constante sur l'interval de longueur l sur a donc
le premier terme on peut l'écrire 2 sur pi arccosinus de l sur a, le deuxième terme
donc c'est 2 sur pi, a sur l et ensuite on utilise le fait que le cosinus
sa primitive c'est le sinus et donc c'est 1 moins sinus de arccosinus de l sur a.
Ensuite par les formules classiques cosinus carré plus sinus carré égal 1,
nous pouvons l'écrire sous la forme un petit peu plus simple du dessous
donc en fin de compte dans le cas où a est strictement plus grand que l,
nous obtenons 2 sur pi arccosinus de l sur a plus 2 sur pi a sur l,
facteur de 1 moins racine de 1 moins l sur a carré.
Donc nous avons une formule,
donc ceci finit à le petit b de l'exercice, donc les questions importent,
mettons les questions a et petit étaient les questions importantes.
Donc la suite de l'exercice c'était le deuxièmement où on retrouvait
des résultats, on va retrouver certains résultats de façon simple.
Donc la première question c'était de montrer que l'espérance du nombre de
chevauchements pouvait s'écrire comme étant une certaine constante fois a sur l.
Or, évidemment d'abord le fait que l'on divise par l c'est une question d'échelle
donc on va se concentrer sur le petit a.
Donc évidemment quand vous avez une aiguille de longueur petit a,
vous pouvez toujours la découper en petits tronçons de longueur epsilon,
et considérer que chaque tronçon est une petite aiguille de longueur epsilon.
Evidemment, l'espérance du nombre de
chevauchements par linéarité ou plutôt par additivité de l'espérance,
ça va être la somme des espérances des petites aiguilles.
Donc en faisant cette démarche de découper l'aiguille en tronçons de longueur epsilon
qui tend vers 0 plus à ce moment là ils sont chacun à lancer uniformément,
évidemment pas de façon indépendante mais ils sont chacun à lancer comme l'aiguille
initiale par additivité de l'espérance, nous montrons que l'espérance du nombre de
chevauchement est proportionnel à l, et donc ça il y a inversement proportionnel à
l c'est juste une question de changement d'échelle donc cette démarche pour une
aiguille droite que l'on peut découper en petits morceaux, on peut le faire pour
n'importe quelle courbe rectifiable qui s'obtient comme limite de segment
avec une certaine régularité qui permet de calculer la longueur, donc cette démarche
de découper en intervalles de longueur epsilon strictement positif et donc,
ensuite tendant vers 0 par valeur positive montre que le résultat,
le fait que l'espérance du nombre de chevauchements
peut s'écrire comme étant grand C fois a sur l, ce résultat demeure vrai pour toute
aiguille qui a une forme d'une courbe rectifiable donc.
Donc le petit b c'était trouver un cercle,
une aiguille circulaire qui permette de calculer la constante facilement.
Il suffit de prendre l égal 1 puisque...
et de lancer un cercle d'un mètre 1 pour lequel a égal pi.
La longueur d'un cercle de diamètre 1 c'est pi.
Ce cercle coupera 2 fois une même rainure presque sûrement,
et donc l'espérance de son nombre de chevauchements vaut 2 puisque
presque sûrement le nombre de chevauchements est 2.
L'espérance vaut 2.
Donc c fois pi est égal à 2,
on utilise le fait que l'espérance du nombre de chevauchements c'est
C fois a sur l donc C fois pi est égal à 2 et donc la constante C c'est 2 sur pi.
Donc en général l'espérance du nombre de chevauchement vaut 2 sur pi, a sur l.
Donc je vais faire rapidement un petit dessin expliquant l'idée du lancer de
cercle de diamètre 1 ou plus généralement de diamètre l sur le plancher,
donc nous avons un plancher avec des lattes verticales comme ça.
Les lattes sont de largeur l qui peut être pris égal à 1 mais on
pourrait prendre un l générale.
Donc évidemment si on choisit de lancer un cercle qui a exactement
[SON] qui a exactement, bon le dessin n'est peut-être pas parfait,
qui a exactement un diamètre de l, bah vous voyez quelque soit la position mais
le dessin n'est pas très bon mais il va couper la même rainure 2 fois,
sauf si éventuellement on est juste comme ça, alors après bon ça c'est avec,
c'est un événement de probabilité nulle.
Mais donc dès qu'on avec probabilité non nulle, le cercle va [SON]
couper deux fois une rainure donc l'intuition géométrique de Borel c'était
premièrement l'espérance est additive donc va être proportionnelle à a sur l.
Deuxième chose, ça peut être une aiguille droite comme ça peut
être une aiguille courbe suffisamment régulière.
En particulier on peut prendre un cercle et si on choisit ce cercle particulier là,
on trouve la constante de proportionnalité.
Donc ça c'est, ça termine en tout cas la question que l'espérance
du nombre de chevauchements s'écrit comme étant 2 sur pi, a sur l.
Donc nous sommes dans le deuxièmement.
La question du petit c on demandait de démontrer, de calculer, de retrouver le
résultat précédent de probabilité de chevauchements pour a plus petit que l.
Donc évidemment si a est inférieur ou égal à l,
alors le nombre de chevauchements vaut soit 0 soit 1.
Si l'aiguille est de longueur strictement inférieure ou égale à l,
elle ne peut que chevaucher une seule rainure à la fois,
presque sûrement donc la probabilité qu'il y ait un chevauchement exactement égale
à l'espérance du nombre de chevauchements si vous avez une variable aléatoire de
Bernoulli qui vaut 1 ou 0 presque sûrement, évidemment la probabilité de
valeur 1 est exactement égale à l'espérance de la variable aléatoire donc
la probabilité que l'événement qu'il y ait un chevauchement est égale à l'espérance
du nombre de chevauchements dans ce cas là, donc si a est inférieur ou égal à l.
Et donc nous retrouvons 2 sur pi, a sur l, la formule principale qui peut se,
aussi se, nous avons fait un calcul probabiliste avec des intégrales mais
ce calcul là peut se faire de façon assez géométrique, bien entendu.
Donc ceci termine l'exercice sur l'aiguille de Buffon.
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