[SON] [AUDIO_VIDE] Bonjour. Bienvenue au cours d'aléatoire de l'École Polytechnique. Premier exercice, une variable aléatoire déterministe. Soit X une variable aléatoire réelle, on suppose que pour tout borélien A de R, pour tout événement de R dont on est capable de donner la probabilité, la probabilité que X appartienne à A, appartienne à l'ensemble de {0,1}, donc P (X appartient à A) vaut soit 0 soit 1. Montrer alors que X est déterministe, c'est-à-dire constante sur le hasard, c'est-à-dire qu'il existe un élément petit a de grand R, tel que la (probabilité pour que grand X = petit a) = 1. Une autre façon de dire cela, la loi de grand X, c'est la masse de Dirac en a. C'est une variable aléatoire qui n'a pas de hasard en fait, c'est un cas dégénéré. Donc, réfléchissez à cet exercice. Il peut être fait assez simplement lorsqu'on trouve les bons outils pour le faire. Donc, je vais résoudre l'exercice sur les variables aléatoires déterministes. Donc, le bon outil pour faire cet exercice simplement, c'est la fonction de répartition. La fonction de répartition F indice grand X de grand X satisfait, par définition, le fait c'est l'application qui à petit x qui appartient à R, donne la probabilité que grand X soit plus petit que le x, qui est aussi la probabilité pour que grand X appartienne à l'intervalle semi-ouvert ]moins l'infini, petit x]. Et donc, comme cette intervalle appartient à la tribu des boréliens, la fonction de répartition ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1 dans ce cas précis. De façon plus générale, une fonction de répartition comme F de grand X, est une fonction croissante, continue à droite, telle que la limite quand x tend vers moins l'infini de grand X de petit x vaille 0. Et la limite à plus l'infini, de cette fonction de répartition, c'est 1. Dans le cas présent, nous avons une fonction qui prend comme valeur 0, ou 1 dont la limite tend vers moins l'infini c'est 0. La limite en plus l'infini c'est 0. L'unique chose possible pour cette fonction, c'est de sauter de 0 en 1, en un point petit a de grand R. Donc, la fonction saute de 0 en 1 en un point petit a de grand R, et ensuite nous savons que la probabilité pour que grand X = petit a, de façon générale pour une fonction de répartition, c'est justement la valeur du saut, donc c'est F de grand X (petit a)- F de grand X (a -), la limite à gauche, puisque la fonction de répartition est continue à droite. Et donc, ici cela fait 1- 0 = 1. Donc, nous avons déterminé que le point a, où la fonction de répartition saute, est tel que la (probabilité que grand X = petit a) = 1. Donc, nous avons résolu la question. Avant de passer à la suite, je tiens à attirer l'attention sur le fait qu'il ne suffit pas de remarquer que pour tout x qui appartient à R, la probabilité que grand X = petit x appartient à {0, 1}. Cela, on n'arrivera pas à aboutir en regardant cela. Cette propriété est satisfaite, par exemple, par toute loi densité, par rapport à la mesure de Lebesgue, et par bien d'autres mesures de probabilité. Donc, on ne peut se limiter à regarder des singletons, cela c'est un exemple. On est obligé de regarder des ensembles plus consistants, et donc en particulier avec la fonction de répartition, on regarde les intervalles semi-ouverts, enfin semi-fermés, moins l'infini, x, semi-infini. Et cela suffit à caractériser la loi et à montrer que la variable aléatoire grand X est déterministe. Nous avons ainsi résolu l'exercice.
