Variable aléatoire déterministe

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

62 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

62 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (1/3)

Le Cours 3, qui s'étend sur trois semaines, est consacré aux variables aléatoires qui prennent leurs valeurs dans les réels. Une nouvelle rubrique fait son apparition : « Méthodes de simulations et expériences numériques interactives ». Chaque séance du type « Illustration & expérimentation : ... » est accompagnée d'une expérience numérique interactive que vous pouvez manipuler (« A vous de jouer ! »).

Variable aléatoire déterministe3:12

Queue de gaussienne5:12

Domination stochastique6:55

Image d'une variable aléatoire par sa fonction de répartition8:17

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

[AUDIO_VIDE] Bonjour.

Bienvenue au cours d'aléatoire de l'École Polytechnique.

Premier exercice, une variable aléatoire déterministe.

Soit X une variable aléatoire réelle, on suppose que pour tout borélien A de R,

pour tout événement de R dont on est capable de donner la probabilité,

la probabilité que X appartienne à A, appartienne à l'ensemble de {0,1},

donc P (X appartient à A) vaut soit 0 soit 1.

Montrer alors que X est déterministe, c'est-à-dire constante sur le hasard,

c'est-à-dire qu'il existe un élément petit a de grand R,

tel que la (probabilité pour que grand X = petit a) = 1.

Une autre façon de dire cela, la loi de grand X, c'est la masse de Dirac en a.

C'est une variable aléatoire qui n'a pas de hasard en fait, c'est un cas dégénéré.

Donc, réfléchissez à cet exercice.

Il peut être fait assez simplement lorsqu'on

trouve les bons outils pour le faire.

Donc, je vais résoudre l'exercice sur les variables aléatoires déterministes.

Donc, le bon outil pour faire cet exercice simplement,

c'est la fonction de répartition.

La fonction de répartition F indice grand X de grand X satisfait, par définition,

le fait c'est l'application qui à petit x qui appartient à R, donne la probabilité

que grand X soit plus petit que le x, qui est aussi la probabilité pour que grand X

appartienne à l'intervalle semi-ouvert ]moins l'infini, petit x].

Et donc, comme cette intervalle appartient à la tribu des boréliens,

la fonction de répartition ne peut prendre que les valeurs 0 ou 1 dans ce cas précis.

De façon plus générale, une fonction de répartition comme F de grand X,

est une fonction croissante, continue à droite, telle que la limite quand x tend

vers moins l'infini de grand X de petit x vaille 0.

Et la limite à plus l'infini, de cette fonction de répartition, c'est 1.

Dans le cas présent, nous avons une fonction qui prend comme valeur 0,

ou 1 dont la limite tend vers moins l'infini c'est 0.

La limite en plus l'infini c'est 0.

L'unique chose possible pour cette fonction, c'est de sauter de 0 en 1,

en un point petit a de grand R.

Donc, la fonction saute de 0 en 1 en un point petit a de grand R,

et ensuite nous savons que la probabilité pour que grand X = petit a,

de façon générale pour une fonction de répartition, c'est justement la valeur du

saut, donc c'est F de grand X (petit a)- F de grand X (a -),

la limite à gauche, puisque la fonction de répartition est continue à droite.

Et donc, ici cela fait 1- 0 = 1.

Donc, nous avons déterminé que le point a, où la fonction de répartition saute,

est tel que la (probabilité que grand X = petit a) = 1.

Donc, nous avons résolu la question.

Avant de passer à la suite, je tiens à attirer l'attention sur le fait qu'il

ne suffit pas de remarquer que pour tout x qui appartient à R,

la probabilité que grand X = petit x appartient à {0, 1}.

Cela, on n'arrivera pas à aboutir en regardant cela.

Cette propriété est satisfaite, par exemple, par toute loi densité,

par rapport à la mesure de Lebesgue, et par bien d'autres mesures de probabilité.

Donc, on ne peut se limiter à regarder des singletons, cela c'est un exemple.

On est obligé de regarder des ensembles plus consistants, et donc en particulier

avec la fonction de répartition, on regarde les intervalles semi-ouverts,

enfin semi-fermés, moins l'infini, x, semi-infini.

Et cela suffit à caractériser la loi et à montrer que la

variable aléatoire grand X est déterministe.

Nous avons ainsi résolu l'exercice.

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