Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Tribu et loi d'une variable aléatoire
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
62 notes
À partir de la leçon
VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE FINI OU DÉNOMBRABLE (1/2)
Nous commençons le Cours 2 qui dure deux semaines. Nous étudions les variables aléatoires "discrètes", c'est-à-dire des variables aléatoires prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
Rencontrer les enseignants
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON] [AUDIO_VIDE]
Nous présentons un exercice sur les tribus et sur les lois de variable aléatoire.
Donc, d'abord quelques rappels de notation.
On nous donne un espace fini grand oméga, muni d'une probabilité grand P, un
ensemble F et une variable aléatoire qui est une fonction donc, grand X qui à petit
oméga appartenant à grand oméga associe grand X (petit oméga) qui appartient à F.
Une variable aléatoire à valeurs dans grand F.
Implicitement, on suppose que la tribu A ronde de grand oméga est
celle de toutes les parties.
Et donc, il n'y a pas de problème de mesurabilité,
donc nous sommes dans un cadre où les choses se passent très bien.
Donc, rappel.
On note pour un ensemble B inclu dans grand F,
l'ensemble X appartient à B, c'est l'ensemble des petits oméga
appartenant à grand oméga, tels que grand X (petit oméga) appartient à grand B.
Donc, en notation ensembliste, c'est X (- 1) (grand B),
L'image par X (- 1) de l'ensemble grand B, et c'est un sous-ensemble de grand oméga.
La tribu engendrée par la variable aléatoire grand X est définie par sigma
(grand X), comme étant l'ensemble de tous les événements donc,
de la forme grand X appartenant à grand B, pour B variant, B inclu dans grand F,
tous les B non pas appartenant, mais inclus dans grand F.
Et donc, c'est inclu dans l'ensemble des parties de grand oméga.
Et enfin, la loi de grand X,
c'est la probabilité sur grand F qui est donnée par P 1 indice grand X.
A un sous-ensemble grand B de grand F, on lui associe P grand X (grand B), qui par
définition, c'est la probabilité de cet événement, grand X appartenant à grand B,
que l'on note, en général sans accolades, P (grand X appartenant à grand B).
Donc, comme l'événement X appartenant à grand B est inclu dans grand oméga,
on peut définir sa probabilité.
Donc, cette probabilité est bien définie.
Tout cela, c'est des notations.
Donc, exercice avec deux questions pour travailler sur ces notions,
et les rendre un peu plus intuitives.
Donc, première question.
Soit grand A un événement, grand A inclu dans grand oméga, et grand X,
l'indicatrice de grand A, c'est la fonction que l'on note grand 1 indice
grand A, qui à petit oméga appartenant à grand oméga, associe 1 si petit oméga
appartient à grand A, et 0 sinon, si petit oméga appartient au complémentaire de A.
Donc, c'est une façon de coder l'événement grand A par une variable aléatoire.
Si on connaît grand A, on connaît grand X.
Si on connaît l'indicatrice, on connaît grand X égal l'indicatrice de A.
Si on connaît l'indicatrice de A, on peut retrouver grand A.
Et donc, dans ce cas-là, l'image, donc on va prendre comme grand F,
l'ensemble parmi {0, 1}, des deux images possibles.
On pourrait prendre grand F = grand N,
si on a envie de considérer d'autres variables aléatoires en même temps.
Donc, première question petit a.
Donner la tribu sigma (1 grand A).
Expliquer comment elle est faite.
Et petit b.
Donner la loi P indice 1 A de 1 A.
Expliquer quelle est la loi de cette variable aléatoire 1 A,
en fonction des données.
Deuxième question.
Un cas un peu particulier.
Donc, nous choisissons, on va illustrer ces choses-là sur un exemple particulier.
Grand oméga c'est {1, 2, 3, 4, 5, 6} au carré, muni de la probabilité uniforme.
Et la variable aléatoire grand X, c'est celle qui à un petit oméga,
qui est donc de la forme (petit oméga 1, petit oméga 2),
associe la somme oméga 1 + oméga 2, qui appartient à l'ensemble grand F,
qui peut être ici les entiers de 2 à 12, ou on pourrait prendre grand N.
Donc, cette expérience aléatoire représente la somme
d'un lancer de deux dés à 6 faces.
Il a été vu en cours.
Donc, première question petit a.
Donner la tribu sigma (grand X).
Expliquer comment elle est faite, construite.
Et petit b.
Retrouver la loi P indice grand X de grand X, loi qui a été vue en cours.
Donc, avant de regarder la solution, essayez de chercher les deux
questions de l'exercice, qui peuvent être aussi résolues, évidemment séparément.
Je vais donner la solution de l'exercice sur les tribus et lois d'une
variables aléatoire.
Dans la première question,
nous avions pris un événement grand A et comme variable aléatoire 1 grand A.
Donc, il suffit de regarder les différentes possibilités,
il n'y en a pas beaucoup.
Donc, l'événement où 1 A appartient au singleton {grand 1}, c'est exactement
la même chose évidemment que l'événement où 1 A = 1, et c'est justement grand A,
puisque 1 A vaut 1 sur chaque petit oméga qui appartient à grand A et 0 sinon.
Et de même, donc symétriquement.
L'indicatrice de l'événement,
1 A appartenant au singleton {0}, c'est exactement l'événement {1 A = 0}.
Et c'est donc le complémentaire, un complémentaire de A.
Puisque sur le complémentaire de A, l'indicatrice vaut 0.
Bien sûr, en plus de cela, l'événement 1 A appartient à l'ensemble vide,
c'est l'ensemble vide, puisque 1 A prend deux valeurs 1 ou 0, de façon logique.
L'événement 1 A appartient à l'ensemble vide, c'est l'ensemble vide,
et l'événement 1 A appartient {0, 1}, 1 A vaut 0 ou 1,
c'est grand oméga tout entier.
Toute tribu contient l'ensemble vide, et grand oméga, l'ensemble tout entier.
Donc, en résumé,
la tribu engendrée par 1 A, c'est l'ensemble constitué de l'ensemble vide,
grand A, son complémentaire A complémentaire, et grand oméga.
Cette tribu, cette sigma-algèbre donne le degré d'information accessible sur grand
oméga, en observant simplement si l'événement grand A est réalisé ou non.
Si l'événement grand A est réalisé, on observe grand A.
Si l'événement grand A n'est pas réalisé, on observe A complémentaire.
Et si on observe mal, on peut observer l'ensemble vide, ou si on ne s'intéresse
pas tellement à, on sait juste qu'il est réalisé ou pas, c'est grand oméga.
Donc, ceci donne le degré d'information accessible sur grand oméga,
par l'observation de la variable aléatoire.
Petit b, question.
La loi de la variable aléatoire 1 A sur {0, 1} est tout simplement donnée par le
poids qu'elle attribue au singleton {1} et au singleton {0},
la probabilité du singleton {1} et du singleton {0},
qui est évidemment complémentaire de celle du singleton {1}.
Donc, la probabilité pour que l'indicatrice de A appartienne à
l'ensemble singleton {1},
c'est la probabilité de tous les oméga appartenant à grand oméga, par définition,
je répète la définition, pour que 1 A (petit oméga) = 1.
Or, par définition de l'indicatrice, cet événement est exactement grand A,
donc c'est P (grand A).
Et de même, la probabilité du singleton {0},
c'est la probabilité de tous les oméga tels que 1 A (petit oméga) = 0.
Cet événement, c'est A complémentaire,
donc c'est P (A complémentaire), autrement dit 1- P (A).
C'est une variable qui prend deux valeurs.
Enfin donc, la probabilité charge 1 et 0.
1 A prenant deux valeurs 1 ou 0, on a juste besoin de ces deux valeurs-là.
Bien entendu, P 1 A (ensemble vide) = 0,
et P 1 A ({0, 1}), que soit 0 soit 1 sort, c'est grand 1.
Donc, nous avons ainsi déterminé la loi de 1 A,
et fini la première question de l'exercice.
Donc, deuxième question de l'exercice.
Je vous rappelle qu'on s'intéressait aux lancers de deux dés à 6 faces,
et on faisait la somme des deux dés.
Donc, la tribu sigma (grand X) contient évidemment l'ensemble vide et grand oméga,
comme toute tribu.
De plus, en fait qu'est-ce qui se passe?
Eh bien, la somme, elle a un certain nombre de valeurs qu'elle peut prendre.
Entre non pas 2 et 8, mais 2 et 12.
Donc, la tribu sigma (X) contient toutes les parties grand A de grand oméga,
telles qu'il existe un cas compris entre 2 et 12 entier bien entendu,
tel que donc pour toutes,
donc les parties soient de la forme, quel que soit petit oméga qui appartient
à grand A, la somme des deux coordonnées oméga 1 + oméga 2 doit être égale à k.
Donc, pour un de ces k qui sont des sommes possibles.
Donc, déjà, elle contient toutes ces parties-là, et comme toute tribu,
elle contient toutes les réunions en nombre arbitraire.
Il y a un nombre fini d'ensembles,
donc il n'y a pas besoin d'aller vers des réunions dénombrables.
Nous pouvons remarquer qu'en travaillant comme cela,
on obtient aussi les complémentaires.
Pour avoir le complémentaire de par exemple de,
du fait que la somme des dés vaut 2,
il suffit de faire la réunion de tous ceux tels que la somme fait 3, 4, jusqu'à 12.
Donc, ce qu'on peut remarquer,
c'est que ces parties-là, les parties qui correspondent,
qui sont indexées par petit k appartenant à 2 jusqu'à 12, et qui sont de la forme
petit, grand A c'est l'ensemble des petits oméga tels que oméga 1 + oméga 2 = k.
Cela correspond au détail de ce qu'on peut observer sur grand oméga,
en ne regardant que grand X.
Donc, si vous ne regardez que la somme des deux dés,
vous ne pouvez pas savoir quelle est la valeur des deux dés,
vous pouvez juste savoir que la valeur des deux dés,
enfin les couples est dans un certain ensemble.
Et donc ces ensembles-là.
Nous allons donner un tableau où figurent ces parties.
Donc, ces parties figurent dans le tableau ici.
Donc pour k = 2, il y a juste le singleton {1, 1}.
Pour k = 3, il y a le singleton, il y a le couple, donc il y a {1, 2} et {2, 1}.
Pour k = 4, il y a {1, 3}, {2, 2}, {3, 1}.
5, {1, 4}, {2, 3}, {3, 2}, {4, 1}. 6, {1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}.
On peut les dénombrer tous facilement.
7 c'est le nombre maximal.
{1, 6}. {2. 5}.
{3. 4}, {4, 3}, {5, 2}, {6, 1}.
Et puis, il y a une symétrie qui fait qu'on décroît.
8, c'est {2, 6}, etc, jusqu'à {6, 2}.
9, {3, 6} jusqu'à {6, 3}.
10, {4, 6} jusqu'à {6, 4}.
11, c'est {5, 6} et {6, 5}, et 12 c'est {6, 6}.
Donc, par exemple, si on observe que la somme des deux dés vaut 5,
on sait que les tirages ont été soit {1, 4} soit {2, 3}, soit {3, 2}, soit {4, 1}.
On n'en sait pas plus.
C'est ce que code la tribu engendrée par grand X.
Donc, si on calcule la loi qui a été calculée en cours, enfin là une fois qu'on
a fait ce travail-ci, c'est très facile de calculer la loi, donc on va le refaire.
Donc, le cardinal de grand oméga, c'est 6 au carré, 36.
Et grâce au tableau, avec un dénombrement très très simple
et la symétrie, on voit que P (X = 2), ou de (X = 12), c'est 1 / 36.
X = 3 ou 11, c'est 2 / 36.
4 ou 10, c'est 3 / 36.
X = 5 ou P (X = 9), c'est 4 / 36.
P (X = 6) ou P (X = 8), c'est 5 / 36.
Et P (X = 7), c'est 6 / 36.
Donc, cela a été vu en cours.
C'est un petit dénombrement, mais avec la tableau,
il suffit de savoir compter le nombre de termes dans chaque ligne.
Donc ici, nous avons terminé
l'exercice sur les tribus et les lois des variables aléatoires.
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