Sur la probabilité de réussite à un examen

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

55 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

55 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

L'ESPACE DE PROBABILITÉ (3/3)

Nous achevons le Cours 1 cette semaine. Nous introduisons deux concepts centraux : le conditionnement et l'indépendance. Nous étudions ensuite un résultat très utilisé : le théorème de Borel-Cantelli. Enfin, nous introduisons un autre concept incontournable : celui de variable aléatoire.

Sur la probabilité de réussite à un examen6:32

Sur l'indépendance d'événements2:57

Évaluation d'un test de dépistage9:24

Recherche dans des tiroirs6:51

Événements indépendants9:30

Produit d'espaces de probabilité13:25

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON] [AUDIO_VIDE] Nous allons considérer

le problème suivant, qui va nous faire explorer la notion de conditionnement.

Et j'ai intitulé cet exercice Probabilité de réussite à un examen.

Donc on suppose qu'on a une classe et dans cette classe,

la proportion des étudiants qui ont préparé l'examen vaut p,

qui est un nombre strictement plus grand que 0 et strictement plus petit que 1.

On va supposer que ceux qui n'ont pas préparé l'examen

le réussissent quand même avec une probabilité 1/2, tandis que ceux qui l'ont

préparé réussissent avec une probabilité alpha et on observe dans nos cours,

par exemple, que ce nombre alpha est plus grand ou égal à 99 %.

La question qu'on se pose, c'est si un étudiant échoue à l'examen,

quelle est la probabilité qu'il n'ait pas préparé l'examen.

Donc on va essayer de calculer cette probabilité qui a priori n'est pas simple.

Et donc il va falloir conditionner de façon sans doute plusieurs fois répétée,

pour parvenir à le calculer.

On va introduire deux événements pour résoudre ce problème.

Le premier événement, que je vais appeler T, l'étudiant a travaillé,

et le deuxième étudiant que je vais appeler R, c'est l'étudiant a réussi.

Donc T comme travaillé et R comme réussi, pour qu'on se souvienne.

D'après l'énoncé, on transcrit tout simplement en termes de probabilité.

La probabilité donc de l'événement T, c'est P.

La probabilité de l'événement R, sachant T complémentaire,

c'est-à-dire le fait qu'on ait réussi sachant qu'on n'a pas travaillé,

c'est 1/2, c'est la même probabilité que celle

qui est qu'on ait échoué et qu'on n'ait pas travaillé, et enfin,

la probabilité qu'on ait réussi sachant qu'on a travaillé, c'est donc alpha.

Donc P est de R sachant T.

La probabilité qui nous intéresse,

c'est la probabilité de T complémentaire sachant R complémentaire, qui donc est la

probabilité qu'on n'ait pas travaillé, sachant qu'on n'a pas réussi.

Et donc je peux écrire la définition de cette probabilité conditionnelle,

c'est donc la probabilité de l'intersection de ces deux événements.

Et il faut diviser par la probabilité de

l'événement par rapport auquel on a conditionné.

Maintenant, tout ce que je fais, c'est multiplier en haut et en bas par la

probabilité de T complémentaire, donc la probabilité qu'on n'ait pas travaillé.

Et je reporte donc 1 sur la probabilité qu'on ait échoué, qui est là.

Et grâce à la première fraction, vous reconnaissez la probabilité

qu'on ait échoué sachant qu'on n'a pas travaillé, fois la probabilité qu'on n'ait

pas travaillé, divisé par la probabilité qu'on ait échoué.

Là, j'ai juste manipulé la définition de base.

Le point suivant va être de calculer le dénominateur, puisque le but,

c'est de faire apparaître les quantités qu'on connaît, et donc

on va utiliser la formule des probabilités totales pour réécrire le dénominateur.

Donc la probabilité qu'on ait échoué, on peut la

décomposer comme la probabilité qu'on ait échoué, sachant qu'on n'a pas travaillé,

et c'est un événement qui est disjoint de l'événement on a échoué et on a travaillé,

et la réunion de ces deux événements, c'est tous les possibles.

Maintenant, on divise à chaque fois par la probabilité de

respectivement le fait qu'on n'ait pas travaillé, le fait qu'on ait travaillé,

donc il faut compenser en multipliant par les probabilités correspondantes.

Ҫa nous donne donc ces deux probabilités conditionnelles avec les poids

qu'il faut et si on remplace avec les données de l'énoncé, on obtient 1- p,

qui est la probabilité qu'on ait échoué sachant qu'on n'a pas travaillé,

donc la probabilité qu'on ait échoué.

On va prendre cet événement on a échoué et on va

l'intersecter avec l'événement on a travaillé et on n'a pas travaillé.

Ces deux événements font toutes les possibilités,

ça fait une probabilité totale.

Et donc, ça fait cette somme et on va tout simplement introduire

les probabilités conditionnelles à chaque fois.

Donc on va diviser, multiplier/diviser le premier terme par la probabilité qu'on

n'ait pas travaillé, le deuxième par la probabilité qu'on ait travaillé,

pour faire apparaître ces probabilités conditionnelles.

Et donc maintenant, on a des quantités qui sont connues d'après l'énoncé.

La probabilité qu'on n'ait pas travaillé, c'est donc un moins p,

la probabilité qu'on ait échoué sachant qu'on n'a pas travaillé,

c'est 1/2, la probabilité qu'on ait travaillé, c'est p et

la probabilité qu'on ait échoué sachant qu'on a travaillé, c'est 1 moins alpha.

Là, j'ai juste remplacé par les valeurs qu'on connaît par hypothèse.

Maintenant, si on remet tout ensemble, donc on avait la formule précédente,

le numérateur, d'après l'énoncé, c'est 1/2 fois 1 mois p,

le dénominateur, on vient de le calculer, donc je remplace par les valeurs.

On obtient cette formule : 1 moins p divisé par 2,

le tout divisé par 1 moins p divisé par deux plus 1 moins alpha p.

Et si on simplifie les deux,

en multipliant par 2 en haut et en bas, on obtient cette formule.

On aurait pu directement, en fait, appliquer la formule que vous avez vue

dans le cours de Bayes, dans le cours 1, séance 6, et en fait,

nous avons tout simplement redémontré cette formule dans ce cas particulier.

Donc c'est un exercice que vous pouvez faire, de l'appliquer directement.

L'autre remarque que je voulais faire,

c'est que cette formule qu'on vient d'obtenir n'est pas très simple,

donc il est bon de vérifier deux cas spéciaux pour tester si elle n'est pas

fausse dans des cas particuliers qu'on peut facilement dominer.

En particulier, si vous prenez la cas particulier où p vaut 1, dans l'énoncé,

on a pris strictement plus petit que 1, mais vous pouvez très bien

prendre p égal à 1, c'est le cas limite où tous les élèves ont travaillé,

il est clair que l'événement il n'y en a aucun qui ait travaillé,

donc probabilité nulle, c'est l'événement impossible,

et donc la probabilité qu'ils n'aient pas travaillé et qu'ils aient échoué vaut 0.

Et vous vérifierez bien que dans la formule, c'est le cas.

Quand on prend p égal 1, on trouve bien 0.

L'autre cas, un petit peu moins intuitif mais auquel on peut s'attendre,

cas limite, c'est si alpha vaut exactement 1/2,

et à ce moment-là, la probabilité qu'on a calculée devrait valoir 1 moins p.

En fait, on vérifie que c'est le cas.

Voilà en ce qui concerne cet exercice de conditionnement.

On peut avoir toutes sortes de variantes

qui reviennent à faire ce genre de manipulations et en particulier,

on peut soit le faire à la main, soit essayer d'appliquer la formule de Bayes.

Dans les deux cas, ça marche.

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