[SON] Et maintenant, nous allons passer au dernier exercice de cette séance, qui est l'illustration de l'importance de la définition de l'indépendance d'une suite d'événements, parce que vous avez vu dans le cours 1 séance 6 que la définition d'une suite d'événements aléatoires indépendants, elle est un petit peu subtile, on dit que c'est le cas si chaque fois qu'on prend toute suite finie d'indice i1, iK, si on prend n'importe laquelle, il faut que la probabilité de l'intersection de ces événements soit le produit des probabilités. En particulier, il ne suffit absolument pas de vérifier que ça marche 2 à 2. Si vous prenez juste, que vous vérifiez cette propriété que pour les paires, c'est insuffisant, et en fait c'est pas évident de comprendre pourquoi c'est le cas et on va se poser la question suivante : quel est l'exemple le plus simple, avec 3 événements, qui ne sont pas indépendants mais tels que chaque fois qu'on en prend 2, ils le sont. Et donc il y a bien sûr plusieurs manières de construire de tels exemple et peut-être l'un des plus simples, c'est le suivant : vous prenez un espace d'état avec 4 éléments, et on va supposer qu'ils ont tous le même probabilité donc on les note 1, 2, 3, 4. Chaque élément a la probabilité 1/4, donc c'est équiprobable. Et on considère ces 3 événements : le premier c'est tout simplement les éléments {1, 4},le deuxième {2, 4}, et le troisième {3, 4}. C'est immédiat de voir que la probabilité de chacun de ces événements c'est 1/2. Puisque tout simplement on compte le nombre d'éléments et on divise par le nombre total. Et maintenant, si on regarde la probabilité de l'intersection de 2 d'entre eux, qui sont donc différents, c'est facile de voir que chaque fois qu'on en prend 2 l'intersection c'est exactement l'élément 4, on l'a construit comme ça, c'est donc 1/2 au carré, qui est bien égal au produit des probabilités des 2 événements. Ça c'est vrai pour n'importe quelle paire quand ils sont différents. Le problème maintenant, si on prend l'intersection des 3, vous voyez que ces 4, par construction, et su vous calculez la probabilité de cette intersection c'est tout simplement 1/4, puisque la cardinalité vaut 1 et on divise par la cardinalité totale qui est 4, et c'est manifestement différent de 1/2 puissance 3 qui serait le produit des probabilités des 3 événements, chacun ayant la probabilité 1/2. Voilà donc pour vous mettre en garde sur le fait que la notion d'indépendance est une notion subtile et donc ça conclut l'exercice du cours.