Sur l'indépendance d'événements

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

56 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

56 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

L'ESPACE DE PROBABILITÉ (3/3)

Nous achevons le Cours 1 cette semaine. Nous introduisons deux concepts centraux : le conditionnement et l'indépendance. Nous étudions ensuite un résultat très utilisé : le théorème de Borel-Cantelli. Enfin, nous introduisons un autre concept incontournable : celui de variable aléatoire.

Sur la probabilité de réussite à un examen6:32

Sur l'indépendance d'événements2:57

Évaluation d'un test de dépistage9:24

Recherche dans des tiroirs6:51

Événements indépendants9:30

Produit d'espaces de probabilité13:25

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON] Et maintenant,

nous allons passer au dernier exercice de cette séance, qui est l'illustration de

l'importance de la définition de l'indépendance d'une suite d'événements,

parce que vous avez vu dans le cours 1 séance 6 que la définition d'une suite

d'événements aléatoires indépendants, elle est un petit peu subtile,

on dit que c'est le cas si chaque fois qu'on prend toute suite finie d'indice i1,

iK, si on prend n'importe laquelle, il faut que la probabilité de l'intersection

de ces événements soit le produit des probabilités.

En particulier, il ne suffit absolument pas de vérifier que ça marche 2 à 2.

Si vous prenez juste, que vous vérifiez cette propriété que pour les paires,

c'est insuffisant, et en fait c'est pas évident

de comprendre pourquoi c'est le cas et on va se poser la question suivante

: quel est l'exemple le plus simple, avec 3 événements,

qui ne sont pas indépendants mais tels que chaque fois qu'on en prend 2, ils le sont.

Et donc il y a bien sûr plusieurs manières de construire de

tels exemple et peut-être l'un des plus simples,

c'est le suivant : vous prenez un espace d'état avec 4 éléments,

et on va supposer qu'ils ont tous le même probabilité donc on les note 1, 2, 3, 4.

Chaque élément a la probabilité 1/4, donc c'est équiprobable.

Et on considère ces 3 événements : le premier c'est tout simplement

les éléments {1, 4},le deuxième {2, 4}, et le troisième {3, 4}.

C'est immédiat de voir que la probabilité de chacun de ces événements c'est 1/2.

Puisque tout simplement on compte le nombre d'éléments

et on divise par le nombre total.

Et maintenant, si on regarde la probabilité de l'intersection de 2 d'entre

eux, qui sont donc différents, c'est facile de voir que chaque fois qu'on

en prend 2 l'intersection c'est exactement l'élément 4, on l'a construit comme ça,

c'est donc 1/2 au carré,

qui est bien égal au produit des probabilités des 2 événements.

Ça c'est vrai pour n'importe quelle paire quand ils sont différents.

Le problème maintenant, si on prend l'intersection des 3,

vous voyez que ces 4, par construction, et su vous calculez la

probabilité de cette intersection c'est tout simplement 1/4,

puisque la cardinalité vaut 1 et on divise par la cardinalité totale qui est 4,

et c'est manifestement différent de 1/2 puissance 3 qui serait le produit des

probabilités des 3 événements, chacun ayant la probabilité 1/2.

Voilà donc pour vous mettre en garde sur le fait que la notion d'indépendance

est une notion subtile et donc ça conclut l'exercice du cours.

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