Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Séance 4 (2/2) : PROBABILITÉ UNIFORME SUR UN ESPACE D'ÉTAT FINI
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En provenance du cours de École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
55 notes
À partir de la leçon
L'ESPACE DE PROBABILITÉ (2/3)
Nous poursuivons le Cours 1 avec l'étude des lois de probabilités uniformes sur des espaces d'état finis. Puis nous abordons la définition générale d'une probabilité avec notamment la notion de « tribu ».
Rencontrer les enseignants
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
Nous allons maintenant regarder deux autres exemples.
Alors, un premier exemple qui vous
montre juste que le contexte que nous avons introduit
lié au choix des jurés dans un tribunal est un exemple parmi tant d'autres mais
que ici on regarde un exemple de fabrication en série dans une usine
où l'on s'intéresse au nombre de pièces ratées dans une chaîne de fabrication.
Donc, on suppose qu'une statistique préalable a montré que parmi
grand N pièces usinées, par exemple les pièces usinées dans une journée,
on en a grand M qui sont à mettre au rebut, qui sont des pièces ratées.
Maintenant, on se pose la question,
si on a une chaîne de fabrication et qu'on choisit un échantillon de petit
n pièces simultanément et au hasard sur cette chaîne de production, quelle est
la probabilité que cet échantillon contienne k pièces défectueuses?
Donc, vous voyez que par exemple si effectivement notre tirage d'échantillon
nous donne quelque chose de cohérent avec ce calcul de probabilité, eh bien,
on pourra effectivement conclure que on a bien en gros grand M pièces à mettre
au rebut dès que on a usiné grand N pièces.
Donc dans ce cas-là, bien, vous voyez que en fait, là encore,
on a un modèle de choix d'un échantillon de petit n
pièces simultanées parmi grand N pièces pour lesquelles on souhaite qu'il
y ait petit k pièce défectueuses parmi grand M donc là encore,
notre calcul de probabilités va être un calcul de
probabilités lié à un tirage simultané et donc en
refaisant exactement le même raisonnement que précédemment, dans ce cas-là,
le résultat de l'exemple 1 va être que la probabilité
d'obtenir donc k pièces défectueuses parmi n sera égale à,
au nombre de choix donc de k parmi grand M fois le nombre de choix de n moins k
parmi les grand N moins M pièces non défectueuses divisé par
le nombre de parties à petit n éléments parmi grand N.
Donc, si je vous montre cet exemple,
c'est pour bien vous faire comprendre ici la notion de modèle.
On a fait un modèle général de tirages simultanés pour lequel on a donné une
formule de probabilité et vous voyez qu'ici que ce soit après un problème
concret de choix de jurés dans un tribunal un,
ou un problème de choix de pièces défectueuses sur une chaîne de production,
c'est exactement le même calcul de probabilité.
Hein, donc, on range ça dans ce qu'on appelle
les tirages dans des urnes, hein, les modèles d'urnes.
Vous pouvez aussi imaginer que vos pièces défectueuses sont des pièces rouges,
des boules rouges dans une urne qui contient des boules
de couleur rouge et noir et là encore,
on se pose la question de la probabilité de tirer petit k boules rouges parmi petit
n donc dans une urne qui contient grand N boules et, dont grand M boules rouges.
Bien, alors maintenant, revenons aux exemples.
Et, l'on va s'intéresser à l'exemple 2 et ici, justement, on
va pouvoir comparer les deux probabilités qu'on a introduites précédemment.
Donc, on joue aux cartes avec un jeu de 52 cartes et on tire quatre cartes,
on s'intéresse à la probabilité que dans ces quatre cartes
tirées on ait exactement deux rois.
Donc, on va faire deux expériences.
Dans la première expérience, on va tirer les quatre cartes à la fois et dans la
deuxième expérience, on tire une carte, on regarde son résultat, on remet la carte
dans le jeu et on recommence cette expérience-là quatre fois.
Donc, vous voyez que la première expérience va être un tirage avec remise
et dans le deuxième cas, on va faire un tirage sans remise.
Donc, posons maintenant le calcul que je vous laisserai vérifier par vous même.
Donc, dans cet exemple 2, première expérience,
le tirage sans remise ou simultané.
Donc, dans ce cas-là, la probabilité va être égale,
donc toujours la même formule, au nombre de cas
favorables sur le nombre de cas possibles sachant que le nombre de cas favorables,
c'est la manière de tirer 2 rois parmi 4 fois la
manière de tirer 2 cartes parmi les 48 cartes restantes
divisé par le nombre de possibilités de tirer 4 cartes simultanément parmi 52.
Donc, je vous laisse vérifier les calculs, vous avez tous les éléments pour le faire
et vous verrez qu'on trouve une probabilité qui est environ égale à 0,,
pardon, 0 25, un peu plus de 2 %.
Bien. Hein, donc,
ça c'était la première manière de tirer les cartes.
Deuxième possibilité, tirage avec remise.
Donc, dans ce cas-là, on a vu que le bon modèle était la loi binomiale
et dans ce cas-là donc, le résultat du calcul de probabilité est égal,
alors, on choisit donc 2 rois parmi nos
4 tirages fois on a la probabilité de
tirer quatre rois donc on veut deux rois dans notre
tirage donc 4 puissance 2 fois, nous avons 48 cartes qui
restent et on va avoir 2 tirages qui nous permettent d'avoir une
de ces 48 cartes qui restent et divisé par 52 puissance,
donc c'est le nombre de cartes total, puissance 4.
Donc, ce calcul-là, en fait, vous voyez qu'on va remarquer qu'il
a encore la forme du nombre donc de parties de 2 éléments
parmi les parties à 4 éléments fois, je vais diviser ici,
je vais écrire 52 au carré fois 52 au carré au dénominateur et en fait,
je vais pouvoir écrire que 4 sur 52 au carré donc c'est
1 sur 13 au carré fois 12 sur 13 au carré.
Et donc en calculant ici ce que ça vaut, on obtient finalement,
vous le verrez hein, vous vérifierez les calculs,
que ça fait 0,03 donc une probabilité ici dans ce tirage avec remise qui est un peu
plus grande que dans celle du tirage sans remise.
Une dernière remarque que je, que je voudrais faire avec ces jeux de cartes
ou avec ces tirages d'échantillons plus généralement, c'est que maintenant,
on va regarder ce qui se passe dans le cas d'une grande population et grande
population, on va le modéliser par le fait que grand N tend vers plus l'infini.
Pour que ça ait un intérêt, il faut que la proportion donc d'individus de type 1
hein, ceux dans notre modèle de jurés qui pensaient que le suspect était coupable ne
soit pas ridiculement petite par rapport à la taille globale de la population et donc
on va supposer que grand N1 tend aussi vers plus l'infini mais que la proportion
grand N1 sur N de gens de type 1 converge quand grand N tend vers
plus l'infini vers un nombre petit p qui va être compris strictement entre 0 et 1.
Donc, ce qu'on peut montrer dans ce cas-là,
c'est que donc si je fixe les nombres petit n et petit n1, eh bien,
sous les hypothèses donc de convergence que vous voyez écrites ici en bleu,
la probabilité qui est liée à la loi hypergéométrique dans ce cas-là,
la valeur de la, de cette probabilité en fait quand grand N tend vers plus
l'infini dans ces conditions-là va converger vers la probabilité que
nous avions définie pour le tirage avec remise, à savoir la loi binomiale.
Donc, ça veut dire quoi ça?
Bien, vous voyez on est parti de, du calcul de probabilité pour le tirage
simultané et quand la taille de la population sous-jacente donc
de la taille grand N tend vers plus l'infini, dans ces conditions-là,
on voit que cette loi hypergéométrique converge vers la loi binomiale.
Ca veut dire que les tirages en fait,
avec ou sans remise, quand la population est très grande deviennent
des expériences aléatoires qui sont pratiquement identiques.
Alors, ça intuitivement on le comprend bien puisque si la population est très
très grande, même si vous faites un tirage avec remise, vous avez très
très peu de chance de tomber deux fois sur le même individu, hein, ce qui était
un élément qui différenciait le tirage simultané et le tirage avec remise.
Donc, on va finir la séance en montrant ce résultat.
Mais vous voyez que juste avant de conclure la séance par la preuve,
je voulais insister sur cette difficulté et cette réflexion qu'on doit avoir sur le
soin d'un échantillon et ça c'est un problème qu'on retrouve de manière
systématique quand on construit une étude statistique où il faut se poser
la question du choix de l'échantillon et ce qu'on a vu, c'est que ici hein, donc,
hormis dans le cas où la taille de population est très grande, eh bien,
la manière de choisir l'échantillon va changer l'espace de probabilité,
va changer de l'expérience aléatoire sur laquelle on travaille,
et donc les calculs de probabilités.
Bien.
Donc, on finit maintenant par la preuve de cette proposition, qui nous dit donc
que la loi hypergéométrique va converger vers la loi binomiale.
Donc, ce qu'on regarde, c'est la quantité qui est liée à la loi hypergéométrique.
Donc, je l'écris.
Donc les coefficients, le produit des deux coefficients binomiaux
correspondant à nos sous-parties,
divisé par le coefficient binomial des parties à petit n éléments parmi grand N,
et on va être obligé, donc je vais écrire assez petit, d'écrire ce que cela vaut.
Donc, eh bien, on y va.
(Grand N 1 !) / ((petit n 1 !) * ((grand N 1- petit n 1) !)).
Alors je vais mettre une grande barre de fraction.
Fois ((grand N- grand N 1) !) / ((petit n- n 1) !) puis par (grand N- grand N 1-
(petit n- n
1) !).
Et ensuite, on divise ici par (N !) et on multiplie
par (petit n !) * ((N- petit n) !).
Bien.
Alors, on va un peu arranger cela, en mettant déjà (petit n !) sur
(petit n 1 !) et ((n- n 1) !) en facteur.
Ici, on va reconnaître le coefficient du binôme des parties
à (petit n 1) éléments parmi grand N éléments.
Et, on va arranger les choses.
Alors, ici on a un (n 1 !) au numérateur divisé
par un ((grand N 1- petit n 1) !) au dénominateur.
Donc, de cela, il va rester (grand N 1) * ((grand N 1)- 1), etc,
facteur de ((grand N 1)- (n 1) + 1).
Bien, je vais mettre le même type d'opération pour simplifier
le rapport entre factorielle de grand N- N 1 et
factorielle de grand N moins N 1, moins petit n, moins petit n 1 factorielle.
Donc, cela va nous donner, par définition des factorielles, (grand N- grand N
1) * (grand N- (grand N 1)- 1), etc,
jusqu'à (grand N- (grand N 1)- (n- n 1) + 1).
Et tout ceci va être divisé donc par
factorielle N divisé par factorielle N moins petit n,
qui, que je vais écrire de la manière suivante.
Grand N * (grand N- 1), etc, jusqu'à
((grand N- (n 1) + 1) * (grand N- n 1),
et je continue jusqu'à (grand N- (petit n) + 1).
Je peux écrire les choses comme cela,
puisqu'on sait que petit n 1 est plus petit que n.
Et vous voyez qu'ici, je vais couper ici, je vois que pour cette première partie,
au numérateur, je vais encadrer cela en rouge, enfin je vais souligner en rouge,
cette partie-là a (petit n 1) éléments.
Et celle-ci aussi.
Et le rapport des deux, rappelez-vous que (grand N 1) / (grand N) tend vers petit p,
toute cette quantité-là, ici maintenant, va tendre vers
petit p puissance (n 1),
car grand N sur, grand N 1 pardon, sur grand N, tend vers petit p.
Petit p.
Donc, je vous laisse faire le calcul.
Mais vous remarquerez que je me suis en fait trompé en soulignant.
Ici, cela doit s'arrêter là,
donc je vais changer de couleur pour la suite du calcul.
Et en fait, vous pouvez remarquer ici que si vous considérez maintenant
cette fraction-là, que je vais entourer en vert,
donc ce paquet de nombres là, eh bien,
ici vous allez avoir petit n 1, moins (petit n 1) termes,
Et en simplifiant, deux à deux, chaque terme, vous allez montrer que cela
converge vers (1- p) puissance (n- (n 1)).
Et donc, finalement, on a montré le résultat qu'on voulait,
à savoir que la loi hypergéométrique converge,
donc quand (grand N 1) / (grand N) tend vers petit p, vers cette loi,
qu'on appelle la loi binomiale de paramètre petit n et p.
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