Recherche dans des tiroirs

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

55 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

55 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

L'ESPACE DE PROBABILITÉ (3/3)

Nous achevons le Cours 1 cette semaine. Nous introduisons deux concepts centraux : le conditionnement et l'indépendance. Nous étudions ensuite un résultat très utilisé : le théorème de Borel-Cantelli. Enfin, nous introduisons un autre concept incontournable : celui de variable aléatoire.

Sur la probabilité de réussite à un examen6:32

Sur l'indépendance d'événements2:57

Évaluation d'un test de dépistage9:24

Recherche dans des tiroirs6:51

Événements indépendants9:30

Produit d'espaces de probabilité13:25

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[SON]

Bonjour.

C'est le cours d'aléatoire de l'École Polytechnique, le cours Coursera.

Nous faisons la séance d'exercice 4 du premier cours.

Nous allons traiter essentiellement de conditionnement.

Évidemment il y a aura un peu d'indépendance qui va aussi intervenir.

Nous commençons par un petit exercice, Recherche dans des tiroirs.

Un individu cherche une clé qu'il a égarée.

Cette clé peut être dans n tiroirs qui sont numérotés de i allant de 1 à n.

Une étude statistique préalable l'individu a déjà perdu ses clés et

on a fait une étude sur les pertes des clés de l'individu,

montre que la clé est dans le tiroir petit i avec probabilité c i

positive ou nulle, la somme des c i valant 1.

Autrement dit il ne l'a pas perdue autrement que dans les tiroirs.

La probabilité que l'individu trouve la clé dans le tiroir i en y fouillant

si la clé y est est de t i, qui est inclus entre 0 et 1.

On peut espérer qu'elle est strictement supérieure à 0.

Première question : l'individu choisit de fouiller le tiroir i avec probabilité f i.

f i étant positive et la somme des f i valant 1,

quelle est la probabilité qu'il trouve la clé?

Deuxième question : l'individu décide de fouiller le tiroir i.

Il n'y trouve pas la clé.

Calculer la probabilité que la clé se trouve dans le tiroir j

et cela pour j allant de 1 à n.

Donc c'est une exercice typique de conditionnement et la première chose à

faire c'est de faire des notations et de voir quelles sont les données

que l'énoncé nous donne.

Donc on va noter grand C i l'évènement la clé dans le tiroir i,

grand F i l'événement on fouille dans le tiroir i, l'individu décide de

fouiller le tiroir i, et T i l'événement on trouve dans le tiroir i.

Donc l'énoncé nous donne le fait que la probabilité de grand Ci la probabilité que

la clé soit dans le tiroir i est de petit c i, et que la probabilité de fouiller le

tiroir i, probabilité de F i est petit f i, et aussi le fait que la

probabilité de T i de trouver de trouver dans le tiroir i conditionnellement à C i,

évidemment conditionnellement au fait que la clé est dans le tiroir i,

sinon on pourrait pas la trouver, ça vaut petit t i.

Sous-entendu, lorsque dans l'énoncé, c'est la probabilité conditionnelle de trouver

la clé dans le tiroir sachant que la clé s'y trouve que l'on donne comme étant t i

et par ailleurs de façon évidente, faut dire que c'est sous-entendu dans l'énoncé,

la probabilité de trouver la clé dans le tiroir i,

la probabilité de t i sachant c j, est nulle si j est différent de i.

Si la clé est dans le tiroir j et que i est une autre tiroir on ne la trouvera pas

en fouillant dans le tiroir.

Donc ça c'est des données que donne l'exercice

une question se pose automatiquement c'est quelle est la probabilité de T i, hein,

la probabilité de trouver la clé dans le tiroir i.

Donc nous avons montré que P(T i) = C i,

T i, de ce fait la probabilité de l'événement qui nous intéresse qui est de

trouver la clé par additivité des mesures de probabilité et par

indépendance sous-entendue entre le fait de fouiller un tiroir et de les trouver,

c'est la somme de i allant de 1 à n des probabilités de grand F i, la probabilité

de fouiller le tiroir i, multiplié, par indépendance, par la probabilité de T i.

Donc c'est la somme de i allant de 1 à n des f i, c i, t i.

L'énoncé ne pose pas explicitement le fait de trouver la probabilité de T i mais on

est obligé de la trouver pour trouver la probabilité globale de trouver la clé.

Cette formule se trouve évidemment très facilement, dès qu'on a l'habitude

de faire des probabilités, c'est la somme de toutes les éventualités de fouiller le

tiroir i, pondéré par f i, la probabilité de fouiller le tiroir i, c i, t i,

la probabilité de le trouver dans le tiroir i.

Ceci résout le premièrement.

Donc dans la question 2,

on disait que l'individu fouillait le tiroir i ne trouvait pas la clé,

et on demandait la probabilité pour que la clé se trouve dans le tiroir j.

Donc ce qu'on cherche à calculer, c'est la probabilité conditionnelle de c j,

trouver la clé dans le tiroir j, sachant, T i complémentaire,

sachant qu'on ne l'a pas trouvée dans i.

Donc dans les données de l'énoncé les probabilités conditionnelles étaient dans

l'autre sens, entre guillemets, donc là on est en train de remonter dans l'autre

sens, l'énoncé nous donne la probabilité conditionnelle de T i sachant C i,

et nous on le veut dans l'autre sens.

Donc comme toujours, la probabilité conditionnelle de grand C j sachant

T i complémentaire,m par définition c'est la probabilité de l'intersection

grand C j intersection avec T i complémentaire divisé par la probabilité

de T i complémentaire, et en utilisant de nouveau la définition des probabilités

conditionnelles c'est la probabilité de T i complémentaire sachant C j multiplié

par la probabilité de C j, divisé toujours par probabilité de T i complémentaire.

Donc cette formule c'est la formule qui permet de passer des probabilités que l'on

connaît, en particulier de la probabilité conditionnelle de T i complémentaire

sachant C j, à la probabilité que l'on cherche,

la probabilité complémentaire de C j sachant T i complémentaire.

En définitive, nous allons écrire tout en fonction des données,

la probabilité conditionnelle de C j sachant T i complémentaire c'est

donc 1 moins la probabilité conditionnelle de T i sachant C j, ça c'est pour

dire la la probabilité conditionnelle de T i complémentaire sachant C j,

multiplié par la probabilité de C j, et divisé par 1 moins la probabilité de T i,

puisque c'est la probabilité de T i complémentaire.

Là nous avons une formule qui fait intervenir les termes que l'on connaît.

Nous allons exploiter cette formule.

Il y a 2 cas.

le cas j différent de i.

Cette formule, dans le cas j différent de i, comme la probabilité de trouver la clé

dans le tiroir i sachant qu'elle est dans C j est nulle,

P de conditionnelle de T i sachant C j est nulle en fait on se retrouve

en définitive à avoir petit c j sur 1- c i, t i.

Donc nous avons donné le résultat pour j différent de i.

Il y a le cas particulier j étant égal à i.

Donc là nous nous intéressons à la probabilité

de grand C i conditionnellement à T i complémentaire.

La probabilité que la clé se trouve dans le tiroir i sachant que l'on a fouillé et

qu'on ne l'a pas trouvée, on applique la formule et donc on obtient comme résultat

le produit de (1- t i)c i, (1- t i) c'est la probabilité de ne pas avoir trouvé en

fouillant, c i c'est la probabilité que la clé s'y trouve, divisé par 1- c i, t i.

Donc on a 2 formules différentes selon que j = i ou pas.

Nous avons ainsi résolu le deuxièmement et fini l'exercice.

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