Queue de gaussienne

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En provenance du cours de École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

61 notes

École Polytechnique

Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1

61 notes

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

À partir de la leçon

VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (1/3)

Le Cours 3, qui s'étend sur trois semaines, est consacré aux variables aléatoires qui prennent leurs valeurs dans les réels. Une nouvelle rubrique fait son apparition : « Méthodes de simulations et expériences numériques interactives ». Chaque séance du type « Illustration & expérimentation : ... » est accompagnée d'une expérience numérique interactive que vous pouvez manipuler (« A vous de jouer ! »).

Variable aléatoire déterministe3:12

Queue de gaussienne5:12

Domination stochastique6:55

Image d'une variable aléatoire par sa fonction de répartition8:17

Rencontrer les enseignants

Sylvie Méléard
Professeur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René Chazottes
Directeur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham

Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique

[AUDIO_VIDE]

[AUDIO_VIDE] Nous allons faire un exercice sur les queues de gaussienne.

Soit grand X une variable aléatoire de loi gaussienne N (0,1), c'est-à-dire

de densité un sur racine de deux pi exponentiel de moins x deux sur deux.

Nous pouvons à ce moment-là écrire que la probabilité pour que x soit supérieur ou

égal à petit a c'est la même chose que la probabilité pour que grand X soit

strictement plus grand que grand A, c'est un moins la fonction de répartition F

indice grand X de a, et ça s'écrit un sur racine de deux pi intégrale de

a à l'infini de exponentiel de moins x deux sur deux dx, pour tout réel petit a.

Donc nous avons une expression de la fonction de répartition, ou de son

complémentaire par cette intégrale de a à l'infini de e moins x deux sur deux dx.

Evidemment on ne sait pas trouver une primitive de e moins x deux sur deux,

donc on ne peut pas calculer explicitement cette intégrale.

Donc première question, montrer l'encadrement suivant,

la probabilité pour que x soit supérieur ou égal à petit a,

donc un sur racine deux pi intégrale de a à l'infini de e moins x deux sur deux dx,

est strictement plus grand que un sur a moins un sur a au cube le

tout multiplié par un sur racine de deux pi exponentiel de moins a deux sur deux,

et strictement plus petit que un sur

a un sur racine de deux pi exponentiel de moins a deux sur deux.

Donc en particulier pour des grandes, moyennement grandes valeurs de

a nous avons un très bon contrôle de ce qu'on appelle le queue de la gaussienne

des valeurs pour la probabilité de dépasser petit a, l'erreur étant majorée

par un sur a cube fois quelque chose, plus petit que un sur racine de deux pi.

Deuxième question, comment améliorer cet encadrement.

Donc je vais vous laisser réfléchir,

il s'agit de petits calculs d'intégrales qui ne sont pas très difficiles.

Je vais vous donner la solution sur l'exercice sur les queues de gaussienne.

Le fait d'encadrer un sur racine de deux pi intégrale de a à l'infini de

e moins x deux sur deux dx, donc, un graphe dans cette intégrale,

intégrale de a à l'infini sur e moins x deux sur deux dx, nous ne savons pas de

primitiver e moins x deux sur deux, en revanche nous savons que la

dérivée de e moins x deux sur deux c'est moins x fois e moins x deux sur deux.

Donc nous pouvons faire intervenir de force ce terme-là en écrivant que c'est

l'intégrale de a à l'infini de un sur x fois x e moins x deux sur deux dx,

donc nous sommes en place là pour faire une intégration par parties.

Donc ça s'égale, la borne à l'infini ça va faire zéro, la borne en un, je vous

rappelle que pour dériver il y a un moins qui sort donc là comma c'est la borne en

a il y a un autre moins, ça fait un sur a exponentiel de moins a deux sur deux.

Et puis ensuite, pour le terme où on dérive un sur x et on primitive

x moins x deux sur deux, il y a trois signes moins,

et le signe moins de l'intégration par parties, le signe moins de la dérivée de

un sur x qui fait moins un sur x deux, et le signe moins du fait que c'est en

fait moins x moins x deux sur deux qui est la dérivée de moins x deux sur deux.

Donc on obtient que l'intégrale de a à l'infini de e moins x deux sur deux dx par

intégration par parties c'est un sur a e moins a deux sur deux moins intégrale de

a à l'infini de un sur x deux exponentiel de moins x deux sur deux dx.

Cette intégrale étant positive nous obtenons déjà la borne supérieure,

en multipliant par un sur racine deux pi.

Ensuite nous allons évaluer ce terme positif, ce reste si on veut.

Donc l'intégrale de a à l'infini de un sur x deux exponentiel de moins x deux sur

deux dx, maintenant on a compris ce qu'il fallait faire,

il fallait faire intervenir x e moins x deux sur deux, donc on va écrire que c'est

l'intégrale de a à l'infini de un sur x au cube x e moins x deux sur deux dx.

Et donc de même par intégration par parties il y a le terme tout intégré

un sur a cube e moins a deux sur deux, moins l'intégrale de a à l'infini,

il faut dériver un sur x trois ça fait trois sur x quatre,

donc intégrale de a à l'infini de trois sur x quatre e moins x deux sur deux dx

en primitivant x moins ce e moins exponentiel de moins x deux sur deux

donne moins e moins x deux sur deux dans la primitive.

Donc là de nouveau nous avons montré que ce terme là

s'écrit comme étant le un sur a trois exponentiel de

moins a deux sur deux moins iii négatif et donc ça ça nous donne la borne inférieure.

Donc nous avons ainsi démontré l'encadrement qui est au tableau.

La question deux c'est comment améliorer cet encadrement.

Une fois qu'on a compris ça, il s'agit de prendre le reste ici, et de faire la même

chose, de dire que trois sur x quatre c'est trois sur x cinq fois x.

Et ensuite il s'agira de dériver, d'utiliser la primitive de x moins x deux

et de dériver trois sur x cinq et ainsi de suite, donc on peut obtenir

un nombre arbitraire de termes dans l'encadrement où on aura de l'autre

côté moins quelque chose sur a puissance cinq, avec une constante à déterminer,

qui s'obtient en dérivant trois cinquième sans doute, et ainsi de suite.

Donc on peut avoir un encadrement pratiquement infini,

qui des deux côtés de ce qu'on appelle la queue de la gaussienne.

Nous avons ainsi terminé cet exercice sur la queue de la gaussienne.

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